Aula 62 Fórmulas de arco duplo

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Prof. Diego Viug 
sen (2 x 30 ) 2 x sen 30   
Será que numa função trigonométrica do tipo y = sen x as 
medidas dos arcos são diretamente proporcionais aos 
valores dos senos? 
 
Veja que sen 60º = enquanto que sen 30º = , dessa 
forma, constatamos que: 
 
3
2
1
2
De modo geral, sen (kx)  k x senx. 
 
A não proporcionalidade entre as medidas de arcos e os 
correspondentes valores da função é uma característica 
comum a todas as funções trigonométricas. 
 
Por isso para cada uma delas é necessário o estudo dos arcos 
múltiplos. 
 
𝒔𝒆𝒏 𝜶 + 𝜷 = 𝒔𝒆𝒏 𝜶 𝐜𝐨𝐬 𝜷 + 𝒔𝒆𝒏𝜷 𝐜𝐨𝐬 𝜶 
Exemplo: 
Sendo 𝒔𝒆𝒏 𝒙 = 
𝟏
𝟑
 e 
𝝅
𝟐
< 𝒙 < 𝝅, calcule sen 2x. 
 
Sabemos que 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙 = 𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙, logo, precisamos do valor do cos x. 
 
 
 
Pela relação fundamental, temos: 
 
 
 
 
Assim, concluímos que: 
𝟏
𝟑
𝟐
+ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 = 𝟏 
𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 = 𝟏 −
𝟏
𝟗
=
𝟖
𝟗
 
𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 = −
𝟐 𝟐
𝟑
 
𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙 = 𝟐
𝟏
𝟑
−𝟐 𝟐
𝟑
=
−𝟒 𝟐
𝟗
 
𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 = 
𝒄𝒐𝒔 𝜶 + 𝜷 = 𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝒄𝒐𝒔 𝜷 − 𝒔𝒆𝒏 𝜶 𝒔𝒆𝒏 𝜷 
Exemplo: 
Dado que 𝐜𝐨𝐬 𝒙 =
−𝟐
𝟕
, calcule 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙. 
 
Sabemos que 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 − 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙, logo, precisamos do valor do sen² x. 
 
 
 
Pela relação fundamental, temos: 
 
 
 
Aplicando na fórmula de 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙, temos: 
 
𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 +
−𝟐
𝟕
𝟐
= 𝟏 
𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 = 𝟏 −
𝟒
𝟒𝟗
=
𝟒𝟓
𝟒𝟗
 
𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 =
𝟒
𝟒𝟗
−
𝟒𝟓
𝟒𝟗
= −
𝟒𝟏
𝟒𝟗
 
𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙 − 𝒔𝒆𝒏𝒙𝒔𝒆𝒏𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 − 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 
𝒕𝒈 𝜶 + 𝜷 =
𝒕𝒈 𝜶 + 𝒕𝒈 𝜷
𝟏 − 𝒕𝒈 𝜶. 𝒕𝒈 𝜷
 
Exemplo: 
Dado que 𝒕𝒈 𝒙 = 𝟔 calcular 𝒕𝒈 𝟐𝒙. 
 
 
Aplicando a fórmula do arco duplo, temos: 
𝟐. 𝒕𝒈 𝒙
𝟏 − 𝒕𝒈𝟐𝒙 
 𝒕𝒈 𝟐𝒙 = 𝒕𝒈 𝒙 + 𝒙 = 
𝒕𝒈 𝒙 + 𝒕𝒈 𝒙
𝟏 − 𝒕𝒈 𝒙. 𝒕𝒈 𝒙
= 
𝟐. 𝒕𝒈 𝒙
𝟏 − 𝒕𝒈𝟐𝒙 
= 𝒕𝒈 𝟐𝒙 = 
𝟐. 𝟔
𝟏 − 𝟔²
= 
𝟏𝟐
𝟏 − 𝟑𝟔
= 
−𝟏𝟐
𝟑𝟓