Aula 19 - Resposta ao Impulso, ao Degrau e à Excitação Arbitrária

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Resposta ao Impuls, ao Degrau e à Excitação Arbitrária
1
1 INTRODUÇÃO
Estudamos, até agora, a resposta de sistemas dinâmicos às excitações harmônicas e periódicas, sendo que
essas últimas foram transformadas, através de uma série de Fourier, em excitações harmônicas. A
questão que naturalmente surge é: como obtemos a resposta quando a excitação é arbitrária? É de se
esperar, aliás, que a excitação arbitrária seja a mais comum, na prática. 
Antes de discutirmos a resposta à excitação arbitrária, vamos considerar a resposta a dois tipos
especiais de forçamento, as funções impulso e degrau unitários.
Vamos utilizar como modelo, em nosso estudo, sistemas mecânicos de 1a e 2a ordens. Obviamente, os
resultados obtidos se aplicam aos demais tipos de sistemas físicos análogos.
2 RESPOSTA AO IMPULSO 
O impulso unitário (ou função Delta de Dirac) é definido como sendo a função δ(t), tal que
(1a) δ(t - a) = 0 t ≠ a
(1b) ∫
+∞
∞−
=−δ 1dt)at( 
conforme ilustra a fig. 1:
 
 Fig. 1
A transformada de Laplace do impulso unitário é dada por
(2) ∆(s) = e-as
É muito comum, na prática, que o impulso ocorra no instante a = 0. Nesse caso:
(3) ∆(s) = 1
19 Resposta ao Impulso, ao Degrau e
à Excitação Arbitrária
Resposta ao Impuls, ao Degrau e à Excitação Arbitrária
2
Resposta ao impulso: é definida como sendo a resposta de um sistema ao impulso unitário aplicado no
instante t = 0, com condições iniciais nulas (sistema inicialmente em repouso). Evidentemente, se o
impulso unitário for aplicado num instante de tempo posterior, t = a, a resposta será obtida deslocando-a
para a direita, ao longo do eixo do tempo, de um intervalo t = a.
RESPOSTA DE SISTEMAS DE 1a ORDEM
 O modelo matemático para um sistema de 1a ordem ilustrado na fig. 2 foi obtido anteriormente como
sendo
 Fig. 2
(4) )t(f)t(kx)t(xc
.
=+
Substituindo f(t) por δ(t) e tomando a transformada de Laplace para condições iniciais nulas:
 (cs + k)X(s) = ∆(s)
Isolando X(s) e tendo em conta a eq. (3):
(5) 
kcs
1)s(X
+
=
Tendo em vista a definição de constante de tempo de um sistema mecânico de 1a ordem, dada por
(6) τ = c/k
podemos rescrever a eq. (5) como 
τ+τ
=
+τ
= 1s
1
k
1
ksk
1)s(X
Voltando ao domínio do tempo, obtemos a resposta de um sistema de 1a ordem ao impulso unitário:
 
(7) )t(ue
c
1)t(ue
k
1)t(x
tt
τ−τ−
δ =τ
=
onde xδ(t) simboliza a resposta ao impulso e u(t) é o degrau unitário, o qual multiplica a resposta porque
ela deve ser nula para t < 0.
 
Por outro lado, a resposta de um sistema de 1a ordem submetido a uma condição inicial x(0) = x0 é dada,
conforme já vimos, por:
(8) x(t) = x0 e-t/τ
Resposta ao Impuls, ao Degrau e à Excitação Arbitrária
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Portanto, comparando as eqs. (7) e (8), concluímos que a resposta ao impulso de um sistema de 1a
ordem equivale à resposta do mesmo a uma condição inicial. No presente caso, a condição inicial é o
deslocamento inicial dado por x(0) = 1/c.
RESPOSTA DE SISTEMAS DE 2a ORDEM
O modelo matemático para um sistema de 2a ordem como o ilustrado na fig. 3 é dado por
 
 Fig. 3
(9) )t(f)t(kx)t(xc)t(xm
...
=++
Substituindo f(t) por δ(t) e tomando a transformada de Laplace para condições iniciais nulas:
 (ms2 + cs + k)X(s) = ∆(s)
Isolando X(s) e tendo em conta a eq. (3):
(10) 
kcsms
1)s(X 2 ++
=
Considerando o sistema subamortecido e levando em conta que 
m
k
n =ω e que 
nm2
c
ω
=ς , podemos
rescrever a eq. (10) como
(11) 
)s2s(m
1)s(X 2
nn
2 ω+ςω+
=
Para obter a transformada inversa de Laplace, é conveniente expandir o membro direito da eq. (11) em
frações parciais. Deixamos a cargo do aluno mostrar que:
(12) 





−
−
−−
=
2121 ss
1
ss
1
)ss(m
1)s(X
onde s1 e s2 são as raízes da equação s2 + 2ζωns + 02n =ω , dadas por
(13) s1,2 = -ζωn ± iωd
e onde ωd é a freqüência angular amortecida
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(14) 2nd 1 ζ−ω=ω
Podemos, então, voltar ao domínio do tempo achando as transformadas inversas da eq. (12), obtendo
 ( )tsts
21
21 ee
)ss(m
1)t(x −
−
=
Substituindo s1 e s2 dadas pela eq. (13) na equação acima, obtemos a resposta de um sistema de 2a ordem
ao impulso:
(15) )t(tusene
m
1)t(x d
t
d
n ω
ω
= ςω−δ 
onde xδ(t) simboliza a resposta ao impulso e u(t) é o degrau unitário. Notemos que a resposta foi
multiplicada por u(t) tendo em vista que ela deve ser nula para t < 0. 
Por outro lado, a resposta de um sistema de 2a ordem submetido às condições iniciais x(0) = 0 e
0
..
x)0(x = é dada conforme já vimos, por:
(16) tsenextsenxxtcosxe)t(x d
t
d
0
.
d
d
0
.
0n
d0
t nn ω
ω
=








ω
ω
+ςω
+ω= ςω−ςω−
Portanto, comparando as eqs. (15) e (16), concluímos que a resposta ao impulso de um sistema de 2a
ordem é equivalente à resposta do mesmo a uma condição inicial. No presente caso, a condição inicial
é a velocidade inicial dada por 0
..
x)0(x = = 1/m.
3 RESPOSTA AO DEGRAU 
O degrau unitário, ilustrado na fig. 4, é definido matematicamente como
(17) u(t - a) = 



>
<
a t para 1
a t para 0
 Fig. 4
A transformada de Laplace do degrau unitário é dada por
(18) U(s) = e-as/s
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É muito comum, na prática, que o degrau unitário ocorra no instante a = 0. Nesse caso:
(19) U(s) = 1/s
Resposta ao degrau: é definida como sendo a resposta de um sistema ao degrau unitário aplicado no
instante t = 0, com condições iniciais nulas (sistema inicialmente em repouso). Evidentemente, se o degrau
unitário for aplicado num instante de tempo posterior, t = a, a resposta será obtida deslocando-a para a
direita, ao longo do eixo dos tempos, de um intervalo t = a.
Vamos estudar, a seguir, a resposta de sistemas de 1a e 2a ordens.
RESPOSTA DE SISTEMAS DE 1a ORDEM
Conforme já vimos, o modelo matemático é dado pela eq. (4), aqui repetida:
(4) )t(f)t(kx)t(xc
.
=+
Substituindo f(t) por u(t) e tomando a transformada de Laplace para condições iniciais nulas:
 (cs + k)X(s) = U(s)
Isolando X(s) e tendo em conta a eq. (19):
(20) 
kcs
1
s
1)s(X
+
=
Tendo em vista a definição de constante de tempo de um sistema de 1a ordem, dada pela eq. (6), podemos
substituir na eq. (20) e expandir a mesma em frações parciais, obtendo:
(21)







τ+
−= 1s
1
s
1
k
1)s(X
Voltando ao domínio do tempo, obtemos a resposta ao degrau:
(22) )t(ue1
k
1)t(x
t
u 


 −= τ−
onde xu(t) simboliza a resposta ao degrau e u(t) é o degrau unitário. Notemos que a resposta foi
multiplicada por u(t) tendo em vista que ela deve ser nula para t < 0.
O gráfico da eq. (22) está ilustrado na fig. 5:
Resposta ao Impuls, ao Degrau e à Excitação Arbitrária
6
 
 Fig. 5
RESPOSTA DE SISTEMAS DE 2a ORDEM
Comparando as eqs. (3) e (19), concluímos que o degrau unitário é a integral do impulso unitário. Se o
sistema é linear, podemos aplicar o Princípio da Superposição e estabelecer que a resposta ao degrau
unitário é a integral da resposta ao impulso unitário, ou, simbolicamente:
(23) ξξ= ∫ ∞− δ
t
u d)(x)t(x
onde ξ é uma variável muda. Aplicando a propriedade acima, simplesmente substituímos xδ(t), dada pela
eq. (15), na eq. (23):
 ξξξω
ω
= ∫ ∞−
ξςω−t
d
d
u d)(usenm
1)t(x n
Tendo em conta a definição de degrau unitário, podemos rescrever a equação acima como
(24) ξξω
ω
= ∫ ξςω−
t
0 dd
u dsenem
1)t(x n
Usando a fórmula de Euler 
i2
eesen
dd ii
d
ξω−ξω −
=ξω 
na eq. (24), e realizando a integração, chegamos, após algum trabalho algébrico, à resposta ao degrau
(25) )t(utsentcose1
k
1)t(x d
d
n
d
t
u
n
















ω
ω
ςω
+ω−= ςω−
cujo gráfico está ilustrado na fig. 6, para ωn = 2 rad/s e ζ = 0,1.
Resposta ao Impuls, ao Degrau e à Excitação Arbitrária
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 Fig. 6
donde concluímos que a resposta ao degrau unitário é uma oscilação amortecida que ocorre em torno de
1/k, sendo k a rigidez do sistema.
4 RESPOSTA À EXCITAÇÃO ARBITRÁRIA. INTEGRAL DE CONVOLUÇÃO
Vamos, agora, considerar o caso de uma excitação arbitrária (qualquer). Para achar a resposta a uma
excitação dessa natureza, utilizaremos o Método da Convolução, também conhecido como Método da
Integral de Duhamel. Esse método se destaca por sua ampla aplicabilidade, servindo para qualquer tipo
de excitação, inclusive para aquelas já estudadas anteriormente. Entretanto, apresenta uma desvantagem
considerável pois, para funções complicadas, ele se torna de difícil aplicação, devido às integrações
trabalhosas que surgem.
Seja um sistema massa-mola-amortecedor, como o da fig. 3, em que a função de forçamento f(t) é
genérica, como a ilustrada na fig. 7 
 
 Fig. 7
onde é usada a variável muda τ para o tempo.
Resposta ao Impuls, ao Degrau e à Excitação Arbitrária
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Consideremos que, durante um intervalo de tempo infinitesimal dτ, começando no instante t = τ, a função
f(t), naquele ponto, consista de um impulso infinitesimal de magnitude f(τ)dτ, mostrado na área hachurada
da figura. A função f(t) pode ser considerada, no intervalo de tempo finito que vai de 0 até t, como sendo
constituída por uma série desses impulsos infinitesimais, cada um deles provocando uma variação
infinitesimal na quantidade de movimento da massa m:
 f(τ) dτ = m d
.
x
 
(26) ττ= d
m
)(fxd
.
Por outro lado, a resposta a cada impulso isoladamente é devida à aplicação das condições iniciais de
deslocamento inicial nulo e velocidade inicial d
.
x . Para descrever essa situação, já temos a eq. (16), aqui
repetida:
(16) tsenex)t(x d
t
d
0
.
n ω
ω
= ςω−
Adaptando para a simbologia atual e considerando que a resposta ao impulso tem início após a aplicação do
mesmo, ou seja, após o instante t = τ, podemos rescrever a eq. (16) como
 )t(senedx)t(dx d
)t(
d
.
n τ−ω
ω
= τ−ςω−
Levando em conta a eq. (26), obtemos
 ττ−ω
ω
τ
= τ−ςω− d)t(sene
m
)(f)t(dx d
)t(
d
n
Devido à condição de sistema linear, podemos aplicar o Princípio da Superposição e afirmar que a resposta
total à série de impulsos infinitesimais ocorrendo de t = 0 até t = τ, é dada pela integral da equação
acima, o que constitui a chamada Integral de Duhamel:
(27) ∫ ττ−ωτω=
τ−ςω−t
0 d
)t(
d
d)t(sene)(f
m
1)t(x n
O método que acabamos de descrever também recebe o nome de Método da Convolução porque a eq. (27)
é uma forma especial da integral de convolução
 (28) )t(g*)t(fd)t(g)(f)t(x
t
0
=ττ−τ= ∫
Resposta ao Impuls, ao Degrau e à Excitação Arbitrária
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onde 
(29) )t(sene
m
1)t(g d
)t(
d
n τ−ω
ω
=τ− τ−ςω−
Na eq. (28), a expressão f(t)*g(t) é lida como “convolução de f(t) e g(t)” ou “f(t) convolução g(t)”.
Teorema de Borel: estabelece que a convolução de duas funções é igual à transformada inversa de
Laplace do produto de suas transformadas de Laplace, ou seja
(30) x(t) = f(t)*g(t) = £-1[f(s).g(s)] 
Esse teorema é de extrema importância prática, porque permite usar a transformação de Laplace para
solucionar problemas de transientes.
Exemplo ilustrativo 1
Um sistema massa-mola encontra-se inicialmente em repouso e é submetido a um pulso retangular de
magnitude constante f0 durante t1 segundos. Achar a resposta transiente usando o Método da Convolução.
Solução:
Como não existe amortecimento, ζ = 0. Levando na eq. (27):
 ∫∫ ττ−ωω=ττ−ωτω=
1t
0 n0n
t
0 nn
d)t(senf
m
1d)t(sen)(f
m
1)t(x
Tendo em vista que t não depende de τ, t pode ser considerado constante no processo de integração:
 [ ] 1t0n2
n
0 )t(cos
m
f)t(x τ−ω−
ω
−=
de onde chegamos finalmente a
 [ ]tcos)tt(cos
m
f)t(x n1n2
n
0 ω−−ω
ω
=
Resposta ao Impuls, ao Degrau e à Excitação Arbitrária
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Exemplo ilustrativo 2
Um sistema massa-mola encontra-se inicialmente em repouso quando é submetido ao pulso triangular 
da figura 8. Achar a resposta no tempo x(t).
 
Solução
Equação da excitação: f(τ)= 200800
n
+τ
τ
−
Integral de Duhamel: ∫ ττ−ωτω=
τ−ςω−t
0 d
)t(
d
d)t(sene)(f
m
1)t(x n
Como não há amortecimento, ζ = 0 e ωd = ωn, logo
 ∫
τ
ττ−ω+τ
τ
−
ω
=
4/
0 nnn
n d)t(sen)200800(
m
1)t(x
Realizando o trabalho de integração e tendo em conta que mωn2 = k e que ωnτn = 2π, a expressão acima
simplifica para:
 [ ]tcos)2(tsen2
k
200)t(x nn ωπ−+ωπ
=
Fig. 8
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EXERCÍCIOS
1 Deduzir a eq. (11).
2 Deduzir a eq. (12).
3 Demonstrar a eq. (15).
4 Deduzir a eq. (21).
5 Deduzir a eq. (25).
6 Usando o VisSim, pedem-se:
(a) plotar a resposta do exemplo ilustrativo 2, ou seja, [ ]tcos)2(tsen2
k
200)t(x nn ωπ−+ωπ
= ;
(b) resolver a EDOL do exemplo ilustrativo 2;
(c) comparar os gráficos obtidos nos itens (a) e (b).
7 Um sistema massa-mola encontra-se inicialmente em repouso quando é submetido à excitação da
figura. Determinar a resposta no tempo x(t).
Resp.: 




 ω
π
−= tsen21
k
F)t(x n
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8 Usando o VisSim, pedem-se:(a) plotar a resposta do exercício 7, ou seja, 




 ω
π
−= tsen21
k
F)t(x n ;
(b) resolver a EDOL do exercício 7;
(c) comparar os gráficos obtidos nos itens (a) e (b).
9 O sistema da figura é submetido a uma força impulsiva f(t) = f0 δ(t) onde f0 é o módulo do
impulso. Usando o VisSim, plotar o deslocamento da massa m em função do tempo, resolvendo
numericamente a equação diferencial.
Dados: m = 1 kg; c = 10 N.s/m; f0 = 100 N.