Fundamentos de Análise Aula 03

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Fundamentos de Análise
Aula 3
CONTEÚDO DA AULA 3
Números pares e ímpares
Números racionais e irracionais
Propriedades de ordem
Axiomas de Ordem
Principais teoremas
NÚMEROS PARES E ÍMPARES
O inteiro p é par se é da forma 2n, com n pertencente ao conjunto dos números inteiros;
O inteiro que não é par é denominado ímpar e tem a forma 2n + 1, com n também pertencente ao conjunto dos inteiros.
RESULTADO 1
Se a é um número inteiro tal que a² é par, então a é par. Prova: Obs: A proposição condicional é equivalente à sua contra positiva: 
 p -> q
~q ->~p
Assim, vamos provar que se a é ímpar, então a² também é ímpar.
Supondo que a é ímpar.
Então ele assume a forma a = 2n + 1, n em Z
Considerando a hipótese a² temos que:
a² = (2n+1)² = 4n²+4n+1 = 2(2n²+2n) + 1
Fazendo w = 2n² + 2n, temos que a² = 2w + 1, w em Z
Note que a² = 2w + 1 é um número ímpar. 
Conseguimos provar então que a é ímpar, então a2 é ímpar. 
Que, por sua vez, é equivalente dizer que:
Se a é um número inteiro tal que a2 é par, então a é par. 
RESULTADO 2
Mostrar que a soma de dois números pares é par. Prova:
Escrevemos a = 2n e b = 2m, com m,n em Z
Somando, temos que:
a + b = 2n + 2m = 2(n + m)
Como n e m são inteiros, temos que n + m também é inteiro;
Fazendo (n + m) = k, então:
a + b = 2k
Logo, a soma é par.
Geometricamente, todo número racional pode ser representado em uma reta.
A distância entre dois pontos no plano nem sempre poderá ser expressa por um número racional. Assim, percebemos a limitação do conjunto dos números racionais.
Vamos ao exemplo do comprimento da diagonal de um quadrado de lado 1:
Teorema: Mostrar que √2 não é racional.
Suponhamos, por absurdo que √2 é racional. Se é racional, ele pode ser escrito sob a forma p/q, com p e q primos entre si.
 Elevando ao quadrado, temos que:
2 = p²/q²
Ou ainda: p² = 2q². Isso nos mostra que p² é par.
Mas se p² é par, p também é par (já demonstrado). Então, podemos escrever que p = 2n.
Então:
(2n)² = 2q² -> 4n² = 2q² -> q² = 2n²
Então, chegamos à conclusão que p² é par. Logo, p é par.
Assim, concluímos que p e q são pares, o que é um absurdo, pois p e q são primos entre si.
Logo, √2 é irracional.
 
Atividade