LINHA ELÁSTICA

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LINHA ELÁSTICA - REMA II
Professor M.Sc. Eder Chaveiro Alves
LINHA ELÁSTICA
 As cargas transversais que atuam nas vigas causam deformações, curvando seu eixo longitudinal que passa a tomar o formato da chamada linha elástica . 
 Consideremos a viga simplesmente apoiada AB, antes da aplicação da carga P, o eixo longitudinal da viga é reto, tornando-se curvo após a flexão. 
 
 Supondo-se que xy seja um plano de simetria e que todas as cargas estejam nesse plano, a curva ABC, denominada linha elástica , situa-se também nesse plano.
LINHA ELÁSTICA
 Para deduzir a equação diferencial da linha elástica, utiliza-se a relação entre a curvatura k e o momento fletor M. 
 A convenção de sinais para a curvatura da viga fletida relaciona-se com o sentido dado aos eixos coordenados. Assim, a viga representada na figura anterior tem curvatura negativa. 
 
LINHA ELÁSTICA
 Sabendo-se que momento fletor positivo produz compressão na fibra superior e tração na fibra inferior, conclui-se que M positivo produz curvatura negativa na superfície neutra da viga. Então:
LINHA ELÁSTICA
 Para estabelecer a relação entre a curvatura k e a equação da elástica, consideram-se dois pontos, m1 e m2, distantes ds um do outro. Em cada um desses pontos, traça-se uma normal à tangente da curva que irão se encontrar no centro de curvatura O.
LINHA ELÁSTICA
 Admitindo-se que a tangente à linha elástica no ponto m1 faça um ângulo θ com o eixo x , então no ponto m2 o ângulo correspondente será θ θ d − , onde θd é o ângulo entre as normais Om1 e Om2. 
LINHA ELÁSTICA
 
 A curvatura k é igual à taxa de variação do ângulo θ em relação à distância s , medida ao longo da linha elástica:
LINHA ELÁSTICA
 Na maioria das aplicações práticas ocorrem apenas pequenas deflexões nas vigas.
LINHA ELÁSTICA
 
 que é a equação diferencial de 2a ordem que rege o comportamento da linha elástica de uma viga. Essa equação deve ser integrada em cada caso particular para se ter a deflexão y . 
LINHA ELÁSTICA
Vigas Simplesmente Apoiadas
 
A equação da linha elástica é: 
Vigas Simplesmente Apoiadas
 Integrando, obtém-se:
Onde C1 é uma constante de integração.
 
 
Vigas Simplesmente Apoiadas
 Pela simetria, a inclinação da curva elástica no meio do vão é nula. Tem-se, então, a condição:
Vigas Simplesmente Apoiadas
 Entrando com esta condição chega-se a:
Vigas Simplesmente Apoiadas
Integrando novamente, chega-se a: 
Sabendo que y = 0 quando x = 0, tem-se:
Vigas Simplesmente Apoiadas
A flecha máxima ocorre no meio do vão e é igual a: 
A rotação máxima ocorre nas extremidades da viga e é igual a: 
Vigas Simplesmente Apoiadas
Consideremos `a viga simplesmente apoiada com carga concentrada P.
Vigas Simplesmente Apoiadas
 Existem duas expressões para o momento fletor: uma para a parte à esquerda da carga e outra para a parte à direita.
Vigas Simplesmente Apoiadas
 Assim, pode-se escrever a equação diferencial de 2a ordem da linha elástica para cada parte da viga, tal que:
Vigas Simplesmente Apoiadas
 Integrando duas vezes as duas expressões, os resultados incluirão quatro constantes arbitrárias que serão determinadas a partir das condições de contorno:
a) em x = a, as inclinações das duas partes da viga são iguais; 
b) em x = a, as flechas das duas partes são iguais; 
c) em x = 0, a flecha é nula; 
d) em x = L, a flecha é nula. 
Vigas Simplesmente Apoiadas
As expressões da linha elástica para as partes da viga à esquerda e à direita da carga P são:
Vigas Simplesmente Apoiadas
As rotações das duas partes da viga são:
Vigas Simplesmente Apoiadas
As rotações nas extremidades da viga são:
Vigas Simplesmente Apoiadas
A flecha máxima é:
Vigas Simplesmente Apoiadas
A simetria de uma viga biapoiada com carga concentrada no meio do vão permite evitar que se enfrente a dificuldade de se ter duas equações para M(x) . Assim, pode-se escrever a equação diferencial de 2a ordem da linha elástica para cada parte da viga, tal que:
Vigas Simplesmente Apoiadas
Integrando, obtém-se:
Vigas Simplesmente Apoiadas
Integrando novamente a expressão, obtém-se:
Como a flecha é nula em x = 0, a constante C2 é nula. 
Vigas Simplesmente Apoiadas
As equações que definem a rotação e a flecha numa seção distante x da extremidade da viga são:
Vigas Simplesmente Apoiadas
A rotação no apoio é:
A flecha máxima no meio do vão é: 
Vigas Simplesmente Apoiadas
Vigas em Balanço
A equação diferencial de 2a ordem da linha elástica é:
A primeira integração desta equação fornece:
Vigas em Balanço
A equação diferencial de 2a ordem da linha elástica é:
A primeira integração desta equação fornece:
Vigas em Balanço
No apoio A (engaste), a rotação da viga é nula, então:
A expressão da rotação em uma seção distante x do apoio é:
Vigas em Balanço
Integrando novamente a expressão anterior, obtém-se:
Como a flecha no apoio é nula, então C2 = 0. Logo:
Vigas em Balanço
O ângulo de rotação e a flecha na extremidade livre da viga são:
Vigas em Balanço
 As vigas cujas reações são em maior número do que as equações de equilíbrio estático denominam-se estaticamente indeterminadas e sua análise exige que se leve em conta as deformações.
Vigas Estaticamente Indeterminadas
Vigas Estaticamente Indeterminadas
Vigas Estaticamente Indeterminadas
 Como existem três equações de equilíbrio para as vigas, não é possível calcular as reações apenas por meio da Estática. Ao excesso de reações sobre o número de equações de equilíbrio estático dá-se o grau de indeterminação estática.
Vigas Estaticamente Indeterminadas
Vigas Estaticamente Indeterminadas
As reações em excesso sobre o número necessário para suportar a estrutura estaticamente determinada são denominadas redundantes e são necessariamente iguais ao grau de indeterminação da estrutura.
Equação diferencial da linha elástica
As vigas estaticamente indeterminadas podem ser estudadas pela solução da 
equação diferencial da linha elástica. 
Equação diferencial da linha elástica
O processo é essencialmente o mesmo que já foi visto para as vigas estaticamente determinadas e consiste em estabelecer a equação diferencial, achar sua solução geral e, analisando as condições-limite, determinar as constantes de integração.
Equação diferencial da linha elástica
Este processo só é prático para casos relativamente simples de carregamento e para vigas de um só vão.
Equação diferencial da linha elástica
Equação diferencial da linha elástica
Equação diferencial da linha elástica
Duas integrações sucessivas dão:
Equação diferencial da linha elástica
Para as três quantidades desconhecidas (
C1, C2 e RB), há três condições-limite:
Equação diferencial da linha elástica
Aplicando-se essas condições às equações precedentes, tem-se, 0 C 1 = 0 e 0 C2 = 0 e:
Equação diferencial da linha elástica
Achado o valor da redundante, determinam-se facilmente os valores das outras reações:
Método da Superposição
Este método pode ser usado em diferentes tipos de estruturas, tais como vigas, 
treliças e quadros.
Método da Superposição
O primeiro passo consiste em identificar as redundantes estáticas. Em seguida, 
removem-se os vínculos, deixando a estrutura primária estaticamente determinada. Logo depois, as reações redundantes são aplicadas na estrutura primária..
Método da Superposição
Pelo princípio da superposição, sabe-se que as deformações finais decorrentes da ação simultânea das cargas reais e das redundantes devem ser iguais à soma algébrica das deformações calculadas separadamente.
Método da Superposição
Método da Superposição
Selecionando a reação RB como redundante e suprimindo o vínculo correspondente, obtém-se como estrutura primária uma viga em balanço. A flecha dessa viga, no ponto B da estrutura original, obtida pela superposição das flechas e deve ser nula, o que leva a:
Método da Superposição
As equações de superposição que exprimem as condições impostas às deformações são denominadas equações de compatibilidade.