Linha Elástica

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1 
Capítulo 5 - EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA LINHA ELÁSTICA 
 
 Para uma viga constituída de material homogêneo, prismática e simétrica em relação ao 
eixo xy, na qual as cargas transversais atuam no plano axial de simetria e na direção y, a 
deformação desta viga se dará neste mesmo plano (viga submetida à flexão simples reta no 
plano xy). 
 A figura abaixo representa, de forma exagerada, a deformada de uma viga com as 
características descritas anteriormente. 
y
O
d

x
1m
ds
m 2
x
y(x)
l
dx
x
P
 
Figura 5.1 – Deformada de uma viga engastada e livre 
Denotam-se por: 
 y(x) - deslocamento transversal de um ponto genérico do eixo longitudinal da viga, 
também chamado de elástica da viga; 
 (x) - ângulo que a reta tangente, num ponto genérico, à deformada da viga faz com o 
eixo x; 
 Com o objetivo de obter a expressão de y(x), considera-se o trecho situado entre os 
pontos m1 e m2 da figura 6.1. Neste trecho de comprimento infinitesimal pode-se admitir 
que o raio de curvatura  seja constante e, neste caso, seu comprimento ds pode ser escrito 
como: 
 
 dds
 
donde se conclui que a curvatura  do eixo longitudinal da viga é 
 2 
ds
d



1
 (1) 
convencionada como positiva quando a concavidade da curva for voltada para baixo. 
 Sendo a deformada da viga o gráfico de uma função y(x), pode-se dizer que a 
inclinação da reta tangente à deformada da viga, num determinado ponto, dado pela 
tg((x)), é igual à derivada de y(x) em relação a x avaliada nesse mesmo ponto. Assim, 
dx
dy
tg 
 (2) 
 Da figura 6.1 tem-se, ainda, 


cos
dx
ds
 (3) 
 No caso de pequenas rotações (linearidade geométrica), valem as aproximações 
 
1cos 
 (4) 
tg
 (5) 
 Em virtude de (4), a equação (3) se escreve 
 
dxds 
 
e, conseqüentemente, a equação (1) se torna 
dx
d



1
 (6) 
 Em virtude de (5), a equação (2) se torna 
 
dx
dy
x 
 (7) 
 Derivando ambos os membros da equação (7) em relação a x, vem 








dx
dy
dx
d
dx
d
 
ou 
2
2
dx
yd
dx
d


 (8) 
 De (6) e (8) vem 
2
21
dx
yd
dx
d





 (9) 
 3 
Esta equação, deduzida a partir da geometria da deformada da viga, vale qualquer que seja 
o comportamento do material. 
 No caso de o material da viga ser linearmente elástico, obedecendo à lei de Hooke, a 
curvatura é 
z
z
EI
M



1
 (10) 
sendo Mz o momento fletor de EIz a rigidez à flexão (em torno do eixo z) da viga. 
 O sinal negativo que aparece na equação ocorre devido à curvatura da viga 
2
21
dx
yd


 
ser matematicamente negativa para um momento positivo, conforme ilustra a figura a 
seguir. 
x
y
-
Mz > 0
y " < 0
 
x
y
+
Mz < 0
y " > 0
 
Figura 5.2 – Análise do sinal da curvatura da curva com o momento fletor 
 De (9) e (10) vem 
z
z
EI
M
dx
yd
dx
d





2
21
 (11) 
e 
z
z
EI
M
dx
yd

2
2 (12) 
é a equação diferencial da linha elástica (deformada de uma viga constituída de material 
linearmente elástico) de 2ª ordem. 
 Lembrando das relações 
y
z Q
dx
dM

 (13) 
e 
 4 
y
y
q
dx
dQ

 (14) 
podem-se deduzir alternativas para a equação (12). 
 Derivando-se ambos os membros da equação (12) em relação a x e lembrando que EIz é 
constante, vem 
dx
dM
EIdx
yd
dx
d z
z
1
2
2





 
ou, usando a relação (13), obtém-se 
z
y
EI
Q
dx
yd

3
3 (15) 
que é a equação diferencial da linha elástica de 3ª ordem, sendo Vy o esforço cortante numa 
seção de abscissa x. 
 Derivando-se ambos o membros da equação (15) em relação a x e lembrando que EIz é 
constante, vem 
dx
dQ
EIdx
yd
dx
d y
z
1
3
3









 
ou, usando a relação (14), obtém-se 
 
y
z
q
EIdx
yd

1
4
4 
ou ainda 
z
y
EI
q
dx
yd

4
4 (16) 
que é a equação diferencial da linha elástica de 4ª ordem, sendo qy a taxa de carga 
distribuída perpendicular ao eixo da viga numa seção de abscissa x. 
 A expressão de y(x) pode ser obtida por integrações sucessivas de qualquer das 
equações alternativas (12), (15) ou (16). O número de integrações sucessivas a serem 
realizadas é igual à ordem da equação diferencial. Na expressão de y aparecem constantes 
de integração em número igual ao das integrações necessárias. 
 As constantes de integração são avaliadas a partir das condições de contorno da viga. 
 5 
As condições são ditas geométricas quando referentes à prescrição de deslocamentos e 
mecânicas quando referentes à prescrição de cargas (referentes ao valor dos esforços 
internos nas seções correspondentes ao contorno da viga). 
 Quando utilizamos a equação de segunda ordem somente as condições de contorno 
geométricas são requeridas. Ao utilizar as equações de terceira e quarta ordem é necessário 
também lançar mão das condições de contorno mecânicas. 
 As condições de contorno mais usuais em vigas são ilustradas a seguir: 
 engaste 
 
 
 






geométrica
geométrica
 
00
0
dx
dy
y

 
 
 apoio simples 
ou
 
 
 mecânica
geométrica
 
000
0
2
2
2
2












dx
yd
dx
yd
EIM
y
zz
 M0
ou
M0
 
 
 mecânica
geométrica
 
0
0
2
2
02
2
0












z
zz
EI
M
dx
yd
M
dx
yd
EIMM
y 
 
 extremidade livre 
 
 
 mecânica
mecânica
 
000
000
3
3
3
3
2
2
2
2









dx
yd
dx
yd
EIV
dx
yd
dx
yd
EIM
zy
zz 
P
M0
 
 
 mecânica
mecânica
 
3
3
3
3
0
2
2
02
2
0









EI
P
dx
yd
P
dx
yd
EIPV
EI
M
dx
yd
M
dx
yd
EIMM
zy
zz 
 6 
 Vale salientar uma vez mais que as equações diferenciais descritas anteriormente são 
válidas somente no âmbito da análise linear física e geométrica. 
Exemplos de aplicação: 
1 - Obter a equação da elástica para as duas vigas em balanço abaixo, sendo EIz = constante. 
y
l
q
x
A B
 
F
l
x
y
A B
 
Figura 5.3 – Exemplo de aplicação 1 
- Viga com carregamento distribuído: 






 22
2
2
222
22222
)( x
q
qlxl
q
dx
yd
EIx
q
qlxl
q
x
q
xRMxM zAAz
 
1
32
2
622
Cx
q
x
ql
x
ql
dx
dy
EI z 
 
  21
432
2
2464
CxCx
q
x
ql
x
ql
xyEI z 
 
Condições de contorno geométricas: 







0
0
0
dx
dy
y
x
 
Assim: 
000
6
0
2
0
2
0 11
32
2
 CC
qqlql
dx
dy
 
  00000
24
0
4
0
4
0 22
432
2
 CC
qqlql
xy
 
 7 
Com isso, a equação da elástica será: 
  





 432
2
24
1
64
xx
l
x
l
EI
q
xy
z
 






 32
2
6
1
22
xx
l
x
l
EI
q
dx
dy
z
 
- Viga com carregamento concentrado: 
 lxF
dx
yd
EIFxFlxRMxM zAAz  2
2
)(
 
1
2
2
1
ClxxF
dx
dy
EI z 






 
  21
2326
1
CxCx
l
xFxyEI z 






 
 
 
Condições de contorno geométricas: 







0
0
0
dx
dy
y
x
 
Assim: 
 
0000
2
1
0 11
2 





 CClF
dx
dy
 
  00000
2
1
0
6
1
0 22
23 





 CCFxy
 
Com isso: 
 8 
  





 23
26
1
x
l
x
EI
F
xy
z
 






 lxx
EI
F
dx
dy
z
2
2
1
 
2 - Obter a equação da elástica para a viga simplesmente apoiada a seguir, sendo EIz = 
constante. 
A
B
q
l
y
x
 
Figura 5.4 – Exemplo de aplicação 2 






 2
2
2
22
22222
)( x
q
x
ql
dx
yd
EIx
q
x
ql
x
q
xRxM zAz
 
1
32
64
Cx
q
x
ql
dx
dy
EIz 
 
  21
43
2412
CxCx
q
x
ql
xyEIz 
 
Condições de contorno geométricas: 
00  yx
 
0 ylx
 
Assim: 
  0000
24
0
12
00 221
43  CCC
qql
y
 
 
24
00
2412
0
3
11
43 qlClCl
q
l
ql
ly 
 
 9 
Com isso, a equação da elástica será: 
  






 x
l
xx
l
EI
q
xy
z 2424
1
12
3
43
 









246
1
4
3
32 lxx
l
EI
q
dx
dy
z
 
3 - Obter a equação da elástica para a viga simplesmente apoiada a seguir, sendo EIz = 
constante. 
P
A B
l
y
x
a
 
Figura 5.5 – Exemplo de aplicação 3 
 Neste caso, o momento fletor é descrito por duas equações distintas: uma válida para 
ax 
 
e outra para 
ax 
. A linha elástica também será descrita por duas equações. Cada uma destas 
equações apresentará duas constantes de integração. Para a equação válida em 
ax 
, aplicamos a 
condição de contorno em 
0x
 e para a equação válida em 
ax 
, aplicamos a condição de 
contorno em 
lx 
. As duas condições de contorno restantes são encontradas através da condição de 
continuidade da linha elástica e da sua derivada (ângulo de “encurvamento”). Fisicamente, estas 
condições são necessárias para que a viga não se parta. Matematicamente falando, sendo o 
momento fletor 









2
2
dx
yd
EIz
uma função obrigatoriamente contínua por partes (ou seja, que 
apresenta descontinuidade em um número finito de pontos), as funções que são suas integrais 






 C
dx
dy
EIz
 são contínuas; e a integral de uma função contínua, é também obrigatoriamente 
contínua, neste caso 
  1CCxxyEIz 
. 
 10 
As condições de continuidade fornecem 
       axax xyxy
 e 
   
 

axax
x
dx
dy
x
dx
dy
. 
Para 
ax 0
: 
   





 


 x
l
alP
dx
yd
EIx
l
alP
xRxM zAz 2
2
)(
 
 
1
2
2
Cx
l
alP
dx
dy
EIz 


 
    21
3
6
CxCx
l
alP
xyEIz 


 
Condição de contorno geométrica, válida no domínio 
ax 0
: 
00  yx
 
Assim: 
    0000
6
00 221
3 

 CCC
l
alP
y
 
    xCx
l
alP
xyEIz 1
3
6



 
Para 
lxa 
: 
  











 11)(
2
2
l
x
Pa
dx
yd
EI
l
x
PaaxPxRxM zAz
 
3
2
2
Cx
l
x
Pa
dx
dy
EIz 








 
  43
23
26
CxC
x
l
x
PaxyEIz 








 
Condição de contorno geométrica, válida no domínio 
lxa 
: 
 11 
0 ylx
 
Assim: 
  lCPalCClCl
l
l
Paly 3
2
443
23
3
0
26
0 








 
      0
3266
2
3
23
1
3 










Pal
lxC
x
l
x
PaxCx
l
alP
xyEIz
 
A aplicação das condições de contorno fornece então: 
 























lxa
Pal
lxC
Pax
l
Pax
EI
axxC
Px
l
Pax
EI
xy
z
z
 ;
326
1
0 ;
66
1
)(
2
3
23
1
33
 
 
   1 
33
326
1
66
1
 Em
2
3
3
1
2
3
23
1
33
Pal
laC
Pa
aC
Pal
laC
aPa
l
aPa
EI
aC
aP
l
aPa
EI
ax
zz
























 


























lxaCPax
l
Pax
EI
axC
Px
l
Pax
EI
x
dx
dy
z
z
 ;
2
1
0 ;
22
1
)(
3
2
1
22
 
 2 
2
2
1
22
1
 Em
3
2
1
3
2
1
22
C
Pa
C
CaPa
l
aPa
EI
C
aP
l
aPa
EI
ax
zz
























 
Fazendo 
   221 
: 
 
36323
3
33
2
3
33 Pal
l
Pa
CaC
Pal
laC
PaPa

 
 12 
3262
23
1
2
31
PalPa
l
Pa
C
Pa
CC 
 
Com isso, a equação da elástica será: 
 











































lxa
Pal
lx
Pal
l
PaPax
l
Pax
EI
axx
PalPa
l
PaPx
l
Pax
EI
xy
z
z
 ;
33626
1
0 ;
32666
1
)(
2323
2333
 


























lxa
Pal
l
Pa
Pax
l
Pax
EI
ax
PalPa
l
PaPx
l
Pax
EI
x
dx
dy
z
z
 ;
362
1
0 ;
32622
1
)(
32
2322
 
4 - Obter as reações de apoio e equação da elástica para a viga hiperestática a seguir, sendo EIz = 
constante. 
A
B
x
y
l
q
 
Figura 5.6 – Exemplo de aplicação 4 
Pelo equilíbrio estático obtém-se; 
2
0 0
0 0
2 2
A B A B
A A B A B
Fy R ql R R ql R
l ql
M M ql l R M l R
         
 
 
           
 
 
AR
 e 
AM
 em função de 
BR
 
A função geral do momento fletor pode ser escrita, em função de
BR
, na seguinte forma: 
 13 
 
2
2 2
2
2
( ) ( )
2 2 2
( )
2 2
A A B B
B B
q ql q
M x R x M x M x qlx R x l R x
q ql
M x x ql R x l R
           

      
 
A equação diferencial da elástica apresenta, então, a seguinte redação: 
 







22
1 22
2
2
2
2 ql
lRxRqlxx
q
EIdx
yd
EI
xM
dx
yd
BB
zz
 
Desenvolvendo-se duas integrais sucessivas resulta, para o caso particular de EIZ 
constante: 
1
2
223
2226
Cx
ql
lxRx
R
x
ql
x
q
dx
dy
EI B
B
z 
 
  21
2
2
2334
426624
CxCx
ql
lx
R
x
R
x
ql
x
q
xyEI BBz 
 
Na expressão geral de y(x) há três constantes a determinar: C1, C2 e RB. Da mesma forma 
há três condições de contorno geométricas que podem ser utilizadas: 
  00  Ayy
, 
  00  A
dx
dy

 
e 
  0 Byly
. 
Aplicando-se essas três condições de contorno obtém-se: 
0 (0) 0Ax y y   
 e 
  00  A
dx
dy

 
1 1
2 2
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0A
dy
C C
dx
y C C
       
        
 
( ) 0Bx l y l y  
 
 
8
3
426624
0 2
2
2334 qlRl
ql
l
lR
l
R
l
ql
l
q
ly B
BB 
 
Com o valor de RB fica fácil determinar as outras reações utilizando-se as equações de 
equilíbrio da estática. Isso já foi feito anteriormente, obtendo-se as seguintes expressões: 
 14 
2 2 2 2
3 5
8 8
3
2 2 8 8
A B A A
A B A A
ql ql
R ql R R ql R
ql ql ql ql
M l R M M
      
       
 
A linha elástica resulta em: 
  






 2
2
2334
416
3
16624
1
x
ql
lx
ql
x
ql
x
ql
x
q
EI
xy
z
 
  






 2
2
34
1648
5
24
1
x
ql
x
ql
x
q
EI
xy
z
 








 x
ql
lx
ql
x
ql
x
ql
x
q
EIdx
dy
z 28
3
16
3
26
1 2223
 








 x
ql
x
ql
x
q
EIdx
dy
z 816
5
6
1 223