Hipérbole: Elementos e Equações

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Curso de Geometria Analítica Profª Mara Freire 
 
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13.5- HIPÉRBOLE 
 
Def.: É o lugar geométrico dos pontos de um plano para os quais a diferença, em valor absoluto, das 
distâncias a dois pontos fixos desse plano, F1 e F2, é uma constante 2a (menor que a distância 𝐹1𝐹2̅̅ ̅̅ ̅̅ ). 
 
P  hipérbole  |𝑃𝐹1̅̅ ̅̅ ̅| – |𝑃𝐹2̅̅ ̅̅ ̅|= 2a 
 
 
 11.5.1- Elementos da Hipérbole 
 
Focos: São dados por F1 e F2. 
 
Distância Focal: É a distância entre F1 e F2 que é igual a 2c. 
 
 Vértices da Hipérbole: São os pontos dados por A1 e A2. 
 
 Eixo real ou eixo transverso: É o segmento dado por 𝐴1𝐴2̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ de comprimento 2a. 
 
 Eixo imaginário ou eixo conjugado: É o segmento dado por 𝐵1𝐵2̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ de comprimento 2b. 
 
Eixo normal: É a reta perpendicular ao eixo focal que passa pelo centro da hipérbole. 
 
Centro da Hipérbole (C): É o ponto médio do eixo real, ou seja, do segmento 𝐹1𝐹2̅̅ ̅̅ ̅̅ . 
 
 Excentricidade: É o número e =
a
c
 (e > 1) 
 
 Corda: É um segmento que une dois pontos da hipérbole. 
 
 Corda Focal: É uma corda que passa por um dos focos. 
 
 Diâmetro da hipérbole: É qualquer corda que passe pelo centro. 
 
Diretrizes da hipérbole: São duas retas r e r’ perpendiculares ao eixo focal, distando a/e do 
centro da elipse. 
 
 Relação entre a, b, e c: c2 = a2 + b2 
 
 
 13.5.2- A Equação da Hipérbole 
 
 A equação da hipérbole de centro na origem do sistema cartesiano e eixo real no eixo dos x é 
dada da seguinte forma: 
 
 Sendo F1 = (-c, 0) e F2 = (c, 0) 
 
 Um ponto P(x, y) está na curva se, e somente se, d(P, F1) – d(P, F2) =  2a 
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  22 ycx 
– 
  22 ycx 
 =  2a 
 
 
2
22




  ycx
=
  
2
222 



  ycxa
 
 
x2 + 2cx + c2 + y2 = 4a2  4a
  22 ycx 
 + x2 – 2cx + c2 + y2 
 
  4a
  22 ycx 
= 4a2 – 4cx 
 
 ( a
  22 ycx 
)2 = (a2 – cx)2 
 
 a2[x2 – 2cx + c2 + y2] = a4 – 2a2cx + c2x2 
 
 a2x2 – 2a2cx + a2c2 + a2y2 = a4 – 2a2cx + c2x2 
 
 (a2 – c2)x2 + a2y2 = a2(a2 – c2) 
 
 Dividindo por a2(a2 – c2) fica 
 
 
1
22
2
2
2



ca
y
a
x
 
 
 Fazendo a2 – c2 = – b2, temos então a equação da hipérbole dada por 
 
1
2
2
2
2

b
y
a
x
 
 Observações: 
 
 1: a2 – c2 = – b2 < 0 
 
2: Caso o centro seja na origem do sistema cartesiano e o eixo real no eixo dos y, temos a 
equação 
1
2
2
22
2

 a
y
ca
x
 ou 
1
2
2
2
2

a
y
b
x
 
 
3: Caso a hipérbole tenha os seus eixos de simetria paralelos aos eixos coordenados, e centro 
no ponto C = (x0, y0), temos as equações: 
 
1
)()(
2
2
0
2
2
0 



b
yy
a
xx e 
1
)()(
2
2
0
2
2
0 




a
yy
b
xx 
 eixo real // eixo x eixo real // eixo y 
Exemplos: 
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1- Dar a equação da hipérbole de focos F1(5, 0) e F2(-5, 0) e eixo real igual a 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2- Determinar a equação da hipérbole cujo centro é a origem e eixo focal no eixo dos x, sendo a 
distância focal igual a 10 e o eixo imaginário igual a 8. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3- Determinar a equação da hipérbole cujo centro é a origem e eixo focal no eixo dos x, sendo o 
eixo real igual a 16 e a excentricidade igual a 5/4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4- Determinar a equação da hipérbole de focos F(3, 1) e F’(7, 1) e que passa pelo ponto A(6, 1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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13.5.3- Assíntotas da Hipérbole 
 
Def.: Se para uma dada curva existe uma reta tal que a medida que um ponto sobre a curva se 
afasta infinitamente da origem, à distância do referido ponto à reta diminui continuamente e 
tende a zero, então a reta é denominada assíntota da curva. 
 
 Dada a hipérbole 
1
2
2
2
2

b
y
a
x
, temos que 
2
2
2
2
1
a
x
b
y

 
 
1
2
2
2
2

a
x
b
y
 
 
222222 baxbya 
 
 
)( 22
2
2
2 ax
a
b
y 
 
 







2
2
2
2
2
2 1
x
a
x
a
b
y
 
 
2
2
1
x
a
x
a
b
y 
 
 
 Fazendo 
0lim
2
2

 x
a
x
, 
 
 temos que as retas 
x
a
b
y 
 são chamadas assíntotas da hipérbole. 
 
Exemplo: 
 
1- Dada a hipérbole de equação 9x2 – 7y2 – 63 = 0, determinar: (a) a medida dos semi-eixos; (b) os 
vértices; (c) os focos; (d) a excentricidade; (e) as equações das assíntotas e (f) fazer um esboço do 
gráfico. 
 
 
 
 
 
 
 
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13.5.4- Hipérbole Equilátera 
 
Def.: Se na equação da hipérbole temos a = b, nesse caso dizemos que a hipérbole é eqüilátera, 
cujas assíntotas são dadas por 
 
y = x e y = -x 
 
 
 13.5.5- Hipérboles Conjugadas 
 
Def.: Se duas hipérboles são tais que o eixo real de uma é idêntico ao eixo transverso da outra, 
então o par de hipérboles é denominado hipérboles conjugadas. 
 
 Logo, se 
1
2
2
2
2

b
y
a
x
, então o semi-eixo transverso é a e o semi-eixo conjugado é b. 
 
se 
1
2
2
2
2

a
y
b
x
, então o semi-eixo transverso é b e o semi-eixo conjugado é a. 
 
 
Exemplo: Dê o valor do semi-eixo transverso e do semi-eixo conjugado das hipérboles abaixo: 
 
a) 
1
49
22

yx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
1
94
22

xy
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios 
 
1- Dar a equação da hipérbole de focos F(0, 6) e F’(0, -6) e que passa pelo ponto A(0, 4). 
 
2- Determinar a distância focal e a excentricidade das hipérboles: 
 
a) x2 – y2 = 1 b) 5x2 – 4y2 = 20 
 
3- Dar a equação da hipérbole de focos F(0, 3) e F’(8, 3) e eixo real 2a = 6. 
 
4- Dada a elipse x2/25 + y2/16 = 1, determinar a equação da hipérbole cujos vértices são os focos da 
elipse e cujos focos são os vértices da elipse. 
 
5- Determinar os pontos de intersecção da elipse x2/4 + y2/3 = 1 com a hipérbole 3x2 – 4y2 – 6 = 0. 
 
6- Dada a hipérbole de equação 16x2 – 25y2 = 400, pede-se: 
 
a) a equação canônica; 
b) a excentricidade; 
c) as coordenadas dos focos; 
d) as coordenadas dos vértices; 
e) o gráfico. 
 
7- Determinara distância focal da hipérbole 9x2 – 16y2 = 144: 
 
8- Determinar as assíntotas da hipérbole 5x2 – 9y2 = 45: 
 
9- Obter a equação da hipérbole abaixo: 
 
 
 
RESPOSTAS 
 
1- -x2/20 + y2/16 = 1. 2- a) 2c = 2√2, e = √2 ; b) 2c = 6, e = 3/2. 3- a) (x – 4)2/9 - (y - 3)2/7 = 1. 4- x2/9 - y2/16 = 1. 
5- (√3/2, √3/2). 6- a) (x2/25) – (y2/16) =1; b) 
41
/5; c) F1= (-
41
,0) e F2= (
41
,0) d) A1 = (-5,0), A2 = (5,0), 
B1 = (0,-4) e B2 = (0,4). 7- 10. 8- √5x/3. 9- (x2/7) – (y2/9) =1.