AP1 C2 2016 1 Gabarito

Prévia do material em texto

Fundação CECIERJ 
AP1- CÁLCULO II
�
���������	��
����
����������������	�
��	��	�����
�
�
�
��������
���	����� �	� �����	� �� ������ ��� ��������
��
���
���	����������� 1R e 2R �������	����	����������	�
���	�
��	�������	�������	��������	��� �������	�
����
�	��
����� x :�
1 2( ) (R ) ( )A R A A R= + =
1
0
1[ ( ]∫
 
1
0
[ ]∫
 
Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância
CÁLCULO II-2016/1 GABARITO 
����������	�
��	��	�����
����������	�	��
�
�
���	����� �	� �����	� �� ������ ��� ��������
�� ( )1,1 ��	�� ����	�� 2y x= ��� 1 ( 1)
2
y x= + .
�������	����	����������	�
���	�
��	�������	�������	��������	��� �������	�
����
21[ ( ]
2
1) x dxx ++ −∫ 2
2
1
1 ( 1)
2
][ x dxx − +∫
21 1[ ]
2 2
x x dx++ −∫ 2
2
1
1 1
2 2
][ x dxx − −∫
Vice Presidência de Educação Superior a Distância 
( 1) .� � ����
�� � R ��	�	� �� 	�
�������	����	����������	�
���	�
��	�������	�������	��������	��� �������	�
����
( 1)]dx 
dx 
!
������""� #$%�&	�	����� '($)*$ 
 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
 =
2 3 3 21 2
0 1
1 1 1 1
2 2 2 3 3 2 2 2
x x x x
x x
        + − − −           
+ 1 1 1 8 1 1 1( 1 1) ( )
4 2 3 3 3 4 2
     = + − + − − − − −       
 
5 13 3
12 12 2
= + = ����	�������
��	+ 
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,�
�������������
����
������ �-�� ( )H x′ ������ 2
4
(2 )
4
( ) ( )
 log
x
H x sen t dt
x
= ∫ ��
�
� (1, )x ∈ +∞ + 
.��+/�.��0������������������������	�
������	����1���	�����	���4 ����0�������2x .��
�
���������
������2�����������	���� ( )2( ) senf t t= �����	�����
������3��	��	�	��������4�������	�.��
5��
�������	������	�� H ������������
������	�	� 1x > 
#����������	����
( 2 ) ( 2 )
4 4
4 4
2 2 2
log log
( ) ( ) ( )( )
x xa
x x a
sen t dt sen t dt sen t dtH x += =∫ ∫ ∫ ���
�����
( 2 )
4log 4
2 2
 
( ) ( )( )
xx
a a
H sen t dt sen t dtx += − ∫ ∫ �
 ������������	����	��$6�����	����78!����	�����	��	��	���	������	�	��	����	����������
�
( ) ( )2 (2 ) 2 (2 )4 4sen (log ) sen (4 )[log ] [4 ]( ) x xx xH x − +′ ′=′ �
.����9	�
� � ( ) ( )2 (4 ) (2 )4 1sen (log ) sen 4 2 ln 4ln 4[ ] [4 ]( ) x xx xH x − +=′ 
 ����
� � ( ) ( )
2
4(2 ) (4 ) sen (log )(ln 2) sen 4
ln 4
4 4( ) x x x
x
H x −=′ . 
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,��
�
������������
	����
�����!	������	����������������	�����������
4 2 4x x
x
e e dx
e
 + +
 
 
∫ � �
����������
� 
4
32 4 ( 2 4 )
x x
x x
x
e e dx e e dx
e
−
 + +
= + + 
 
∫ ∫
31 2 4
3
x xe x e C−= + − + 
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,�
�
������������
	���
�����!	������	����������������	������
����
3
0
| 1|x dt−∫ ��
!
������""� #$%�&	�	����� '($)*$ 
 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
�
�
�
��
�
	
�
�
�
�
��
�
	
�
��������
�� .�������2���
1 se 1 0 1 se 1
( 1) se 1 0 1 se 1| 1|
x x x x
x x x x
x
− − ≥ − ≥ 
= 
− − − < − < 
− =
 
� ������
�
3
0
| 1|x dx−∫ =
1
0
| 1|x dx−∫ +
3
1
| 1|x dx−∫
1
0
(1 )x dx= −∫
3
1
( 1)x dx+ −∫ 
 
1 32 2
0 1
1 9 1 51 3 1
2 2 2 2 2 2
x x
x x
       
= − + − = − + − − − =      
      
 
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,�
������������
	�����
������:�	����	�������	������������������	�������
10(2 3)x x dx+∫ . 
��������
8	�	�	�����������
����������
2
2 3
2
2
2 3
3
x
x u
dudu dx dx
u
u
x




= −

= ⇒ =
= + ⇒
−
⇒ =
�
 
12 11
10 10 11 101 3 1 1(2 3) ( ) ( 3 ) ( 3 )
2 2 4 4 12 11
u u u
x x dx u du u u du C−+ = = − = − +∫ ∫ ∫ 
 
12 111 (2 3) (2 3)3
4 12 11
x x C
 + +
= − + 
 
�
________________________________________________________________________________ 
������������
	�����
��;�:�	����	�������	�����
���������������������	����� arccos x dx∫ . 
��������
8	�	�
21
arccos x
x
dx
u du
−
= ⇒ = −
 
�� xdv dx v= ⇒ = �
 �����������������������
2
1
arccos
1
arccos x x
x
x dx x dx+
−
=∫ ∫ �
<	�������������	�������	������	����
� {
2
1 2
1 2
2
1
2
1 1 ( )12 221
2
w x
dw xdx
x dx dw w
w dw C
wx
−
= −
=−
= − = − = − +
−
∫ ∫ ∫
 
21w C x C= − + = − − + �
#����	��� 
2arccos 1arccos x x x Cx dx − − +=∫ .�
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,�
!
������""� #$%�&	�	����� '($)*$ 
 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
�
�
�
��
�
�
�
�
�
��
�
�
�
������������
	���
��;�:�	����	�������	������� 
!��������������������
�"��������
��#���!���
�	�����
3 2sen cosx x dx∫ . 
��������
 
3 2sen cosx x dx =∫
22 2 2
sen (1 cos ) cossen sen cos x x dxx x x dx x−= ∫∫ �
� 
8	�	�	�����������
������� sencos xu x du dx= ⇒ = − �
 
 ���� 
3 2sen cosx x dx =∫
2 2 2 4(1 ) ( )u u du u u du− − = − −∫ ∫ 
3 5 3 5
cos cos
3 5 3 5
u u x xC C= − + + = − + + . � 
���������������������������������������
5 3
coscos
5 3
x x C= − + �