SLIDES DE AULA 04

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Unidade IV 
 
 
 
 
CÁLCULO COM GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 
 
 
 
Profa. Isabel Espinosa 
Integral 
Queremos determinar uma função conhecendo a sua derivada. 
Primitiva de f(x) é uma função F(x) tal que F’(x) = f(x) 
 
Exemplos: 
a)f(x) = 2 x + 1 
Algumas primitivas: F1(x) = x2 + x 
 F2(x) = x2 + x + 1 
 F3(x) = x2 + x - 5 
 F(x) = x2 + x + c, (c = constante) 
 
 
Integral 
b) f(x) = cos x 
 
Algumas primitivas: F1(x) = senx 
 F2(x) = senx + 10 
 F3(x) = senx - 2 
 F(x) = senx + c, (c = constante) 
 
 
Integral indefinida 
Integral indefinida 
 
 
 
 
 
 
 
Lê-se: a integral de f(x) dx é F(x) 
 
 
 
 
∫ f(x) dx = F(x) + c 
Integrando primitiva de f 
Integral indefinida 
Integrais imediatas (utilizando tabela de integrais) 
∫ 5 dx 1) 
 ∫ K dx = K x + c 
∫ 5 dx = 5 x + c 
Integral 
2) ∫ - dx 1 3 
 ∫ k dx = k x + c 
∫ - dx = - x + c 1 3 
1 
3 
Integral 
3) ∫ x5 dx 
∫ x5 dx = + c = + c x
5+1 
5+1 
x6 
6 
 ∫ xn dx = + c, n ≠ -1 x
n+1 
n+1 
Integral 
 
4) 
Inicialmente pela propriedade de potência 
 
 = a- n, temos: 1 
an 
∫ dx 1 x4 
∫ dx = 1 x4 x- 4 dx ∫ 
Integral 
Utilizando 
∫ x- 4 dx = + c = + c x
- 4 +1 
- 4+1 
x- 3 
-3 
∫ x- 4 dx = + c -1 3 x3 
∫ dx = 1 x4 x- 4 dx 
 ∫ xn dx = + c, n ≠ -1 x
n+1 
n+1 
Integral 
5) 
 
Inicialmente pelas propriedades de potência podemos 
escrever: 
∫ x √ x dx 
∫ x √ x dx = x . x1/2 dx = x3/2 dx ∫ ∫ 
Integral 
Utilizando: ∫ xn dx = + c, n ≠ -1 x
n+1 
n+1 
∫ x √ x dx = x3/2 dx ∫ 
∫ x3/2 dx = + c = + c x3/2 +1 3/2 +1 
x3/2 +1 
3/2 +1 
∫ x3/2 dx = + c = + c x
5/2 
5/2 
2 x5/2 
 5 
Integral 
6) ∫ + 6x dx 1 x 
f(x) 
g(x) 
 ∫ f(x) + g(x) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx 
∫ + 6x dx = 1 x ∫ dx + ∫ 6
x dx 1 
x 
Integral 
Resolvendo cada uma das integrais temos: 
 
 ∫ dx = Ln |x| + c 1 x 
 ∫ ax dx = + c a
x 
Ln a 
∫ 6x dx = + c 6
x 
Ln 6 
Integral 
Logo 
∫ + 6x dx = 1 x 
= Ln |x| + + c 6
x 
Ln 6 
Interatividade 
O valor de é: 
 
∫ 5 x3 - ex dx 
a) 5x4 - ex + c 
4 
5x4 + ex + c 
4 
b) 
5x3 + ex + c 
3 
c) 
5x3 - ex + c 
3 
d) 
- 5x3 - ex + c 
 3 
e) 
Resposta 
O valor de é: 
 
 
 
∫ 5 x3 - ex dx 
a) 5x4 - ex + c 
4 
5x4 + ex + c 
4 
b) 
5x3 + ex + c 
3 
c) 
5x3 - ex + c 
3 
d) 
- 5x3 - ex + c 
 3 
e) 
Integral indefinida 
Integrais por substituição 
∫ 3 e3x dx 1) 
 ∫ ex dx = ex + c 
u 
u = 3x 
du 
dx = 3 , ou , 
du 
 3 dx = 
Integral indefinida 
 Substituindo na integral 
 
 
 
Voltando à variável do enunciado 
 
∫ e3x dx = e3x + c 
du 
 3 ∫ 3 e
3x dx = 3 eu = eu + c ∫ 
Integral indefinida 
 2) ∫ dx 2 1+2x 
u 
u = 1 + 2x 
du 
dx = 2 , isto é, 
du 
 2 dx = 
Integral indefinida 
 Substituindo na integral 
 
 
 
 voltando à variável do enunciado 
 
 
∫ dx = = Ln | u | + c 2 1+2x ∫ 
 2 
 u 
du 
 2 
∫ dx = Ln | 1 + 2x | + c 2 1+2x 
Integral indefinida 
 
 
Separando as integrais: 
 
 
∫ cos(3x) + x2 dx 3) 
∫ x2 dx (imediata) (2ª parte) 
∫ cos(3x) dx (substituição) (1ª parte) 
Integral indefinida 
 (1ª parte) (substituição) 
 
 
 
 substituindo na integral 
 
 
 
 
 
 
 
 
u = 3x 
du 
dx = 3 , isto é, 
du 
 3 dx = 
∫ cos(3x) dx 
∫ cos(3x) dx = cosu = senu + c ∫ du 3 
 1 
 3 
∫ cos(3x) dx = sen(3x) + c 1 3 
Integral indefinida 
 (2ª parte) 
 
 
 
 Logo: 
 
 
∫ x2 dx = + c x
3 
 3 
∫ cos(3x) + x2 dx = sen(3x) + + c 1 3 
 x3 
 3 
Integral indefinida 
4) 
 
 
 
 
 
 substituindo no enunciado 
∫ (x3 + 2x)3 . (3x2 + 2) dx 
u 
u = x3 + 2x 
du 
dx = 3x
2 + 2 , isto é, du (3x2 + 2) dx = 
Integral indefinida 
 
 
 
 
 Voltando à variável do enunciado 
 
∫ (x3 + 2x)3 . (3x2 + 2) dx = 
∫ u3 . (3x2 + 2) = u3 du = + c ∫ u
4 
 4 
 du 
(3x2 + 2) 
∫ (x3 + 2x)3 . (3x2 + 2) dx = + c (x
3 + 2x)4 
 4 
Integral indefinida 
 Integrais por partes 
 
 
 Exemplos: 
 
 
 f . g dx = u dv = u . v - v du ∫ ∫ ∫ 
1) ∫ x . e2x dx 
u dv 
Integral indefinida 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ x . e2x dx 
u = x 
du 
dx 
 
du = dx 
= 1 
∫ e2x dx ∫ dv = 
 e2x dx = dv 
v = e2x 1 
2 
Integral indefinida 
 substituindo na fórmula: 
 
= x . e2x - ∫ e2x dx = 
 u . v - ∫ v du 
1 
2 
= x . e2x - e2x dx = 1 
2 
1 
2 ∫ 
 x . e2x dx = ∫ 
Integral indefinida 
 
 
 
 
 logo, 
x . e2x - . e2x + c 1 
2 
1 
2 
 ∫ x . e2x dx = 1 
2 
 - + c x.e2x 
 2 
 ∫ x . e2x dx = e2x 
4 
Interatividade 
Resolvendo a integral temos: 
 
a) x2 + c 
b) x2 – 4 x + c 
c) x2 – 4 + c 
d) x + c 
e) 2x + c 
 
 
 
∫ (2x - 4) dx 
Resposta 
Resolvendo a integral temos: 
 
a) x2 + c 
b) x2 – 4 x + c 
c) x2 – 4 + c 
d) x + c 
e) 2x + c 
 
 
 
∫ (2x - 4) dx 
Integral indefinida 
2) 
 
 
 
 
 
 
 
u = x 
du 
dx 
 
du = 1 dx 
= 1 
∫ senx dx ∫ dv = 
 senx dx = dv 
v = - cosx 
∫ x . senx dx 
u dv 
Integral indefinida 
 Substituindo na fórmula: 
 
= x . (- cosx) - ∫ (-cosx) . 1 dx = 
 u . v - ∫ v du 
 x . senx dx = ∫ 
- x . cosx + senx + c ∫ x . senx dx = 
Integral definida 
 Integral de a até b de f(x) dx 
 
 
 
 
 f(x) dx 
b 
a ∫ 
Limite inferior 
Limite superior 
Integral definida 
Teorema fundamental do cálculo integral 
 
 
 
 
 
 
onde F(x) é a primitiva de f(x) 
 
 
b 
a 
∫ f(x) dx = F(x) b 
a 
 
 
b 
∫ 
a 
f(x) dx = F(b) – F(a) 
Integral definida 
 Exemplos: 
1) Calcular a integral definida 
 
 
 
 
 
 2 x dx 
2 
- 1 
∫ 
Integral definida 
 
 
 
 
F(x) = x2, pois F ’(x) = 2x 
F(-1) = (-1)2 = 1 
F(2) = 22 = 4 
Integral definida 
 
 
 
 
 2x dx = F(2) – F(-1) = 4 – 1 = 3 
2 
-1 ∫ 
 2x dx = 3 
2 
-1 
∫ 
Integral definida 
 2) Calcular a integral definida 
 -3 x dx 
3 
 1 
∫ 
Integral definida 
 
 
 
 
 - 24 
 2 
F(x) = - 3 x2 
 2 
F(1) = - 3 12 = - 3 
 2 2 
F(3) = - 3 32 = - 27 
 2 2 
 - 3x dx = F(3) – F(1) = - = = - 12 3 
1 
∫ - 27 2 - 3
 
 2 
Integral definida 
3) Calcular a integral definida 
 x2 - 2 x dx 
4 
2 
∫ 
Integral definida 
 f(x)
= x2 – 2x 
 
 
 
 
 
 
Logo, 
 
F(x) = - x2 x3 
 3 
F(2) = - 22 = - 4 2
3 
 3 
 8 
 3 
F(4) = - 42 = - 16 4
3 
 3 
 64 
 3 
 x2 - 2 x dx = F(3) - F(2) = 3 
2 
∫ 20 3 
Integral definida 
4) Calcular a integral definida 
 - cos x dx 
π/2 
0 
∫ 
Integral definida 
 
 
 
 
 
 
 Logo, 
 
 
 
 
 
 - cos x dx = - senx 
π/2 
0 
∫ π/2 
0 
 - sen π/2 = - 1 
- sen 0 = 0 
 - cos x dx = -1 + 0 = - 1 
π/2 
0 
∫ 
Interatividade 
 O valor da integral definida 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 1,5 
b) 0 
c) 0,25 
d) 0,5 
e) 1 
 (x - 5)3 dx é: 
6 
5 
∫ 
Resposta 
 O valor da integral definida 
a) 1,5 
b) 0 
c) 0,25 
d) 0,5 
e) 1 
 (x - 5)3 dx é: 
6 
5 
∫ 
6 
∫ 5 
(x - 5)4 
 4 (x – 5)
3 dx = = ¼ - 0 = 0,25 
6 
5 
Aplicação de integral 
 Cálculo de área 
 
f(x) ≥ 0 
a b x 
y 
A 
 f(x) dx 
b 
a 
∫ A = 
Aplicação de integral 
 Exemplo: 
1.Determinar a área da região marcada 
f(x) = - x + 5 
5 
5 
Aplicação de integral 
 
A = f(x) dx 
 
b 
∫ 
a 
5 
A = f(x) dx 
0 
∫ 
5 
 = (- x + 5) dx = 
 0 
∫ 
= + 5 x = 
- x2 
 2 
0 
5 
Aplicação de integral 
 
= + 5 . 5 - + 5 . 0 = - 5
2 
 2 
- 02 
 2 
= + 25 = - 25
 
 2 
- 25 + 50 
 2 
25 
2 = u . a. 
Aplicação de integral 
2) Determinar a área da região marcada 
f(x) = x 
4 
 
 
 
 
1 
 1 4 
A 
Aplicação de integral 
 
A = f(x) dx 
 
b 
∫ 
a 
4 
A = f(x) dx 
1 
∫ 
4 
 = x dx = 
 1 
∫ 
= = - = 7,5 u.a. 
- x2 
 2 
1 
4 
 42 
 2 
 12 
 2 
Aplicação de integral 
 
A 
a b x 
y 
 f(x) ≤ 0 
A = - f(x) dx 
 
b 
∫ 
a 
Aplicação de integral 
 Exemplos: 
1. Determinar a área da região marcada 
f(x) = - x 
- 3 
3 x 
y 
Aplicação de integral 
 
A = - f(x) dx 
 
b 
∫ 
a 
3 
A = - f(x) dx 
0 
∫ 
3 
 = - - x dx = 
 0 
∫ 
= = - = 4,5 u.a. 
 x2 
 2 
0 
3 
 32 
 2 
 02 
 2 
Aplicação de integral 
 2. Determinar a área da região marcada 
f(x) = - x2 
- 4 
2 x 
y 
Aplicação de integral 
 
A = - f(x) dx 
 
b 
∫ 
a 
2 
A = - f(x) dx 
0 
∫ 
2 
 = - - x2 dx = 
 0 
∫ 
= = - = u.a. 
 x3 
 3 
0 
2 
 22 
 3 
 02 
 3 
 8 
 3 
Interatividade 
Determinar a área da região marcada 
 
a) 1/3 
b) -1/3 
c) 3 
d) -3 
e) 0 
 
 
 
 
 
 
1 x 
y 
1 
f(x) = x2 
Resposta 
Determinar a área da região marcada 
 
a) 1/3 
b) -1/3 
c) 3 
d) -3 
e) 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 x 
y 
1 
f(x) = x2 
A = 
1 
 x2 dx = = u.a. 
 0 
∫ x
3 
 3 
0 
1 
1 
3 
 
 
 
 
 
ATÉ A PRÓXIMA! 
 
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	Integral 
	Integral
	Integral indefinida
	Integral indefinida
	Integral
	Integral
	Integral
	Integral
	Integral
	Integral
	Integral
	Integral
	Integral
	Interatividade
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	Integral indefinida
	Integral indefinida
	Integral indefinida
	Integral indefinida
	Integral indefinida
	Integral indefinida
	Integral indefinida
	Integral indefinida
	Integral indefinida
	Integral indefinida
	Integral indefinida
	Integral indefinida
	Integral indefinida
	Interatividade
	Resposta
	Integral indefinida
	Integral indefinida
	Integral definida
	Integral definida
	Integral definida
	Integral definida
	Integral definida
	Integral definida
	Integral definida
	Integral definida
	Integral definida
	Integral definida
	Integral definida
	Interatividade
	Resposta
	Aplicação de integral
	Aplicação de integral
	Aplicação de integral
	Aplicação de integral
	Aplicação de integral
	Aplicação de integral
	Aplicação de integral
	Aplicação de integral
	Aplicação de integral
	Aplicação de integral
	Aplicação de integral
	Interatividade
	Resposta
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