Prova reposicao 1 AV

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
CENTRO DE CIEˆNCIAS E TECNOLOGIA
UNIDADE ACADEˆMICA DE MATEMA´TICA
Professor(a):
Comp. Curricular: A´lgebra Vetorial e Geometria Anal´ıtica Turno: Manha˜
Aluno(a): Matr´ıcula:
Curso: Data: 25 / 07 / 2017
Reposic¸a˜o do primeiro esta´gio
1. (2,0 pontos) Seja ABC um triaˆngulo cujos pontos me´dios dos segmentos AB, AC e BC
sa˜o M, N e P , respectivamente. Mostre que o quadrila´tero AMPN e´ um paralelogramo.
2. (2,0 pontos) Dados os pontos A(1, 0,−1), B(4, 2, 1) e C(1, 2, 0). Determine :
(a) o valor de n para que o vetor ~u = n
(−→
AC +
−−→
BC
)
seja um versor;
(b) um vetor ~u de mo´dulo 4, paralelo a ~v, mas com sentido oposto ao de ~v.
3. (2,0 pontos) Se |~u| = 4, |~v| = 2 e 120◦ e´ o aˆngulo entre os vetores ~u e ~v, determine o
aˆngulo entre ~u+ ~v e ~u− ~v.
4. (2,0 pontos) Sejam A(2, 1, 3), B(m, 3, 5) e C(0, 4, 1) ve´rtices de um triaˆngulo:
(a) determine o valor de m para que o triaˆngulo ABC seja retaˆngulo;
(b) calcule a medida da projec¸a˜o do cateto AB sobre a hipotenusa BC.
5. (2,0 pontos) Considere os vetores ~u = (1,−2, 1) e ~v = (−1, 1, 0). Determine o mo´dulo
do vetor ~w = proj~u~v + senθ(~u× ~v), onde θ e´ o aˆngulo entre ~u e ~v.
Boa prova!
UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
CENTRO DE CIEˆNCIAS E TECNOLOGIA
UNIDADE ACADEˆMICA DE MATEMA´TICA
Professor(a):
Comp. Curricular: A´lgebra Vetorial e Geometria Anal´ıtica Turno: Tarde
Aluno(a): Matr´ıcula:
Curso: Data: 25 / 07 / 2017
Reposic¸a˜o do primeiro esta´gio
1. (2,0 pontos) Mostre que o segmento cujos extremos sa˜o os pontos me´dios de dois lados
de um triaˆngulo e´ paralelo ao terceiro lado e igual a sua metade.
2. (2,0 pontos) Determine:
(a) o(s) valor(es) de n para que o vetor ~v = (−2n, n,−2n) seja um versor;
(b) um vetor ~u de mo´dulo 7 que tem como versor o vetor ~v.
3. (2,0 pontos) Determine |~u+ ~v|, |~u− ~v| e (~u+ ~v) · (~u− ~v), sabendo que |~u| = 4, |~v| = 3
e o aˆngulo entre ~u e ~v e´ de 60◦.
4. (2,0 pontos)
(a) Sabendo que a a´rea do paralelogramo constru´ıdo sobre os vetores ~u e ~v e´ igual a
48 u.a., calcule a a´rea do paralelogramo constru´ıdo sobre os vetores ~u+ ~v e ~u− ~v.
(b) Se ~u−~v = (4,−2, 4), calcule a altura paralelogramo constru´ıdo sobre os vetores ~u+~v
e ~u− ~v, relativa a` base definida pelo vetor ~u− ~v.
5. Os pontos me´dios dos lados do triaˆngulo ABC sa˜o M(0, 1, 3), N(3,−2, 2) e P (1, 0, 2).
Determine a a´rea do triaˆngulo ABC. (Dica: use produto vetorial).
Boa prova!