TESTE DE CONHECIMENTO 2

Prévia do material em texto

FUNDAMENTOS DE ANÁLISE
AULA 2: TESTE DE CONHECIMENTO
	
		1
		Verifique se a seguinte série converge e ache sua soma: 2 + 23 + 232 + ... + 23n-1 + ...
	
	
	
	 
	A série converge com r = 13 < 1. A soma S = 3.
	
	 
	A série converge com r = 3 > 1. A soma S = 5.
	
	
	A série diverge com r = 13 < 1.
	
	
	A série diverge com r = 53 > 1.
	
	
	A série converge com r = 12 < 1. A soma S = 4.
	
	
		2
		Marque a alternativa que prova corretamente por indução que ∀ a ∈N, a > 0, temos que Lnan = nLna.
	
	
	
	
	Seja P(n): Lnan = nLna . P(1) é verdadeira, pois Lna = 1Lna , portanto, vale P(1). 
   Etapa Indutiva: Vamos mostrar que vale P(k+1). Temos que Lnak+1 = Ln(aka).
Lnak+1 = Ln(aka) = Lnak + Lna = kLna + Lna = (k + 1)Lna.  Mostramos que a propriedade foi verificada.
	
	 
	Seja P(n): Lnan = nLna. P(1) é verdadeira, pois Lna = 1Lna , portanto, vale P(1). 
 Hipótese de Indução: Supondo que vale P(k): Lnak = kLna
 Etapa Indutiva: Vamos mostrar que vale P(k+1). Temos que Lnak+1 = Ln(aka).
Lnak+1 = Ln(aka) = Lnak + Lna = kLna + Lna = (k + 1)Lna.   Mostramos que a propriedade foi verificada.
	
	
	Seja P(n): Lnan = nLna.   Hipótese de Indução: Supondo que vale P(k): Lnak = kLna
   Etapa Indutiva: Vamos mostrar que vale P(k+1). Temos que Lnak+1 = Ln(aka).
Lnak+1 = Ln(aka) = Lnak + Lna = kLna + Lna = (k + 1)Lna
	
	
	 Seja P(n): Lnan = nLna.  Etapa Indutiva: Vamos mostrar que vale P(k+1). Temos que Lnak+1 = Ln(aka).  Lnak+1 = Ln(aka) = Lnak + Lna = kLna + Lna = (k + 1)Lna. Mostramos que a propriedade foi verificada.
	
	
	Seja P(n): Lnan = nLna. P(1) é verdadeira, pois Lna = 1Lna , portanto, vale P(1). 
 Hipótese de Indução: Supondo que vale P(k): Lnak = kLna. Mostramos que a propriedade     foi verificada.
	
	
		3
		Para provarmos propriedades dos números naturais, podemos também formular o Principio da Indução como:
Se P é uma propriedade dos números naturais tal que:
i)  P é válida para um número natural n0 ∈ N.
ii) A validade de P para n ∈ N  implica na validade de P para o sucessor n + 1 ∈ N.
Então, a propriedade P vale para todos os números naturais n ∈N tais que:
	
	
	
	
	
	n < n0
	
	
	n > n0
	
	
	n ≤ n0
	
	 
	n ≥ n0
	
	
	n ≠ n0
	
		4
		Dada a série ∑n=1∞(1n2), marque a alternativa que indica o limite superior  da série e indica
se ela é convergente ou divergente.
	
	
	
	A série é  limitada superiormente por 1 e a série converge
	
	
	A série é  limitada superiormente por 3 e a série converge.
	
	
	A série não é  limitada superiormente.
	
	
	A série é  limitada superiormente por 1/2 e a série converge.
	
	 
	A série é  limitada superiormente por 2 e a série converge.
	
	
		5
		Analise a convergência da ∑n=1∞(1n).
Determine qual o limite superior e  se a série é convergente ou divergente.
	
	
	
	
	A integral terá como resultado 2, portanto a série é divergente.
	
	
	A integral terá resultado 3, portanto a série é convergente.
	
	
	A integral terá resultado 2, portanto a série é convergente.
	
	 
	A integral terá como resultado infinito, portanto a série é divergente.
	
	 
	A integral terá resultado 1/2, portanto a série é convergente.
	
	
		6
		O conjunto dos números racionais é:
	
	
	
	 
	enumerável e infinito.
	
	
	enumerável e finito.
	
	
	não enumerável e finito.
	
	 
	subconjunto dos naturais
	
	
	não enumerável e infinito.
	
	
		7
		Seja a  série   ∑n=1∞(k-1k2k).
Mostre se a serie é convergente ou divergente e determine o método utilizado para essa demonstração
	
	
	
	A série não converge e podemos demonstrar utilizando a série geométrica.
	
	
	A série converge e podemos demonstrar utilizando a série-p.
	
	
	A série diverge e podemos demonstrar utilizando a série alternada.
	
	
	A série converge e podemos demonstrar utilizando a série alternada.
	
	 
	A série converge e podemos demonstrar utilizando a série geométrica.
	
	
		8
		Considere as seguintes afirmações sobre as séries infinitas:
(I) Cada Sn é a soma parcial de ordem n.
(II) Se não existe Limn→∞(Sn) = s,
o número real s é chamado de soma da série.
(III) Uma série ∑(an) é convergente se a sua sequência de somas parciais {Sn} converge.
 Podemos afirmar que:
	
	
	
	
	Somente a afirmativa I está correta.
	
	 
	Somente as afirmativas I  e III estão corretas.
	
	
	Somente as afirmativas II e III estão corretas.
	
	
	Somente as afirmativas I  e II  estão corretas.
	
	
	Somente a afirmativa II está correta.