Questão_resolvida_I

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Questão da Lista 4 do Prof. Duílio 
 
1)Determine a equação do plano que passa pelos pontos: 
 A(1,1,0); B(0,-1,1); C(-2,2,4). 
 
Resolução: 
Bom galera, essa é uma questão praticamente certa de cair em provas, 
me lembro quando fiz a disciplina, e algo do tipo foi cobrado. 
Podemos atacar o problema de duas formas: 
• Através dos vetores diretores, formado pelos pontos. Ex.: AB e AC 
• Através do vetor normal ao plano, encontrado pelo produto vetorial. 
Ex.: AB x AC 
 
 
Primeira forma: 
 
AB é encontrado assim: (ponto final – inicial) 
(B-A) = (0,-1,1) – (1,1,0) = (-1,-2, 1) 
AB = (-1,-2, 1) 
 
AC é encontrado assim: (ponto final – inicial) 
(C-A) = (-2,2,4) – (1,1,0) = (-3,-1, 4) 
AC = (-3,-1, 4) 
 
Nós sabemos que estes vetores, são paralelos aos vetores diretores do plano, como os 
vetores u e v (figura 1) 
Desta forma, podemos achar 
as equações paramétricas do plano, 
sabendo que AB e AC são coeficientes 
dos parâmetros t e s, e contém o ponto 
A(1,1,0); por exemplo. 
assim: 
 
x=1 -1t - 3s 
y=1 -2t + 1s 
z=0 +1t + 4s 
 
 
 
 figura 1 
 AB=u ; AC=v 
Segunda forma: 
Já calculamos: 
AB = (-1,-2, 1) 
AC = (-3,-1, 4) 
o vetor normal “n” será encontrado pelo produto vetoria ABxAC 
 i j k 
 AB x AC = -1 -2 1 
 -3 -1 4 
= (-9,1,-7) 
a equação cartesiana do plano é dada pela fórmula: 
a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=D 
 
sendo a,b,c coordenadas de n(a,b,c) 
e x0,y0,z0 componentes do ponto A(x0,y0,z0 ), por exemplo. 
apartir daí encontraremos D: 
 
teremos: 
-9(x-1) +1(y-1) -7(z-0)=D 
 
-9x+9+y-1-7z=D 
substituindo algum ponto conhecido: 
A(1,1,0); B(0,-1,1); C(-2,2,4) 
Concluimos que D=0 
 
assim a equação cartesiana do plano será; 
-9(x-1) +1(y-1) -7(z-0)=0 
 ou 
9x +1y -7z=8 
 
 
Lembrando que tanto a forma cartesiana como a paramétrica, conferem com o mesmo 
plano procurado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se houver algum erro, peço por gentileza que me avisem, que dentro do possível eu 
tento consertar. 
 
 
 
João Maurício Maia de Oliveira 
Graduando Engenharia Química 
Monitor de Álgebra Linear II - UFRRJ 
maia.ufrrj@gmail.com