Transforma es Lineares 16 05

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TRANSFORMAÇÕES LINEARES
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• Seja T um operador linear sobre um espaço vetorial V
(transformação linear de V em V) e seja B = {u1, u2, . . . , un}
uma base de V. Os vetores T(u1) , T(u2), . . . , T(un ) estão em
V e, portanto, cada um deles é uma combinação linear dos
vetores da base B, ou seja:
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MATRIZ DE UM OPERADOR LINEAR
T(u1) = a11u1 + a21u2 + . . . + an1un
T(u2) = a12u1 + a22u2 + . . . + an2un
...............................................
T(un ) = a1nu1 + a2nu2 + . . . + annun
Ex1: Encontre a representação matricial do operador T sobre R2
definido por T(x, y) = (2x, 2x - y) em relação às bases:
a) B = {u1 = (1, 1) , u2 = (1, 2)}.
b) B = { u1 = (1, 0) , u2 = (0, 1)}.
18
1
2
) ( , ) (2 ,2 )
2
( ) (1,1) (2,3) (1,1) (1,2) 1, 1
2 3
2
( ) (1,2) (2,4) (1,1) (1,2) 0, 2
2 4
1 1 1 0
[ ] [ ] [ ]
0 2 1 2
t t
B B B
a T x y x x y
a b
T u T a b a b
a b
c d
T u T c d c d
c d
a b
T T T
c d
 
 
       
 
 
       
 
     
         
     
19
1
2
) ( , ) (2 ,2 )
2
( ) (1,0) (2,2) (1,0) (0,1)
2
0
( ) (0,2) (0,1) (1,0) (0,1) 0, 1
1
2 2 2 0
[ ] [ ] [ ]
0 1 2 1
t t
B B B
b T x y x x y
a
T e T a b
b
c
T e T c d c d
d
a b
T T T
c d
 

     


       

     
         
     
Ex2. Encontre a representação matricial do operador T sobre R2
definido por T(x, y) = (2y, 3x - y) em relação às bases:
a) B = {(1,3), (2,5)}
b) B = { (1,0),(0,1)}
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Operadores Lineares
Se em uma Transformação Linear (TL) o espaço vetorial de saída
é o mesmo de chegada, essa TL é chamada Operador Linear.
Definição: Seja T um operador Linear e V um espaço vetorial
é um autovetor ou vetor próprio do operador T, se
existe denominado autovalor ou valor próprio, onde:
S . Dependendo
do valor de tem-se que:
; 0v V v 
  2 3 V= e v têm a mesma direçãoV ou A 
 
Ax x
) 1 
) 1 
) 0 
) 0 
a T dilata v
b T contrai v
c T anula v
d T inverte o sentido de v




 
 
 
 
Ex1) Seja , 
verifique se v = (5,2) é um autovetor de T.
Logo: v é um autovetor, 
6 é um autovalor associado a v.
2 2: com ( , ) (4 5 ,2 )T T x y x y x y   
(5,2) (5,2) (4 5 5 2,2 5 2) (5,2)
5 30 6
(30,12) (5,2)
2 12 6
T v v T x x x  
   
      
  
  
  
6 1 dilatação   
1. Definição: seja A uma matriz quadrada um escalar é um
autovalor ou valor característico de A se existe um vetor x não
nulo tal que:
O vetor x é chamado autovetor ou vetor característico associado a
matriz A.

Ax x
23
Autovalores e Autovetores
t
t
4 -2
.1) Considere a matriz A= e x =(2,1) , determine
1 1
Os autovalores de A
4 -2 2 2 6 2
Ax= x 3
1 1 1 1 3
3 é um autovalor da matriz A, e x =(2,1) é um autovetor
ass
Ex

  


 
 
 
         
              
         

ociado a matriz A.
4 -2 4
Ex.2) A= ,
1 1 2
4 -2 4 4 12 4
3
1 1 2 2 6 2
A eq. pode ser colocada na forma: ( - ) 0,
onde é um autovalor de A se e somente se a eq. ( - ) 
x
Ax x
Ax x A I x
A I x

  

 
 
   
   
   
         
               
         
 
 0
tem solução não-trivial.
A eq. ( - ) 0 terá uma solução não-trivial se e somente
se - é singular ou equivalente a det( - ) 0.
O polinômio encontrado em det( - ) 0 chama-se POLINÔMIO 
CARACTERÍ
A I x
A I A I
A I

 




STICO P( ) e a eq. P( ) = 0 chama-se 
EQ. CARACTERISTICA para a matriz A.
As raízes de P( ) = 0 são os autovalores de A.
 

24
2
1 2
polinômio característico autovalores de A
3 2 3 2 1 0 3 2
.3) A=
3 2 3 2 0 1 3 2
3 2 3 2
det 12 0 4 e 3
3 2 3 2
Ex A I

 

 
   
 
       
                     
  
             
25
1
1
2
1 21
2 1 1 1 1
2 1 2
Calculando os autovetores associados a cada autovalor:
3 2 1 0 0
Para -3 ( ) 0 3
3 2 0 1 0
3 06 2 0
3 ( , 3 ) (
3 1 0 3 0
t
x
A I x
x
x xx
x x x x x x x
x x x
 
        
                     
     
                     autovetor 
1
1
2
1 21
1 2 2 2 2
2 1 2 autovetor 
1, 3)
3 2 1 0 0
Para 4 ( ) 0 4
3 2 0 1 0
2 01 2 0
2 (2 , ) (2,1)
3 6 0 2 0
t
tt
x
A I x
x
x xx
x x x x x x x
x x x
 

        
                     
      
                  
2
polinômio característico
1 2
autovalores
5 -18 5 -18 1 0 5- -18
b)A=
1 -1 1 -1 0 1 1 -1-
5- -18 5- -18
det 0 0 4 13 0
1 -1- 1 -1-
2 3 e 2 3
A I
i i

 

 
 
 
 
       
           
       
 
       
 
   
26
1 n nxn
1 k 1 k
nxn
 Se ,..., são os autovalores distintos de uma matriz A
com autovetores associados x ,..., , então x ,..., são LI.
Uma matriz A é dita diagonalizável, se existirem: uma 
matriz X invertível 
x x
 
-1
e uma matriz diagonal D satisfazendo:
 X
Neste caso, dizemos que X diagonaliza A.
AX D
Diagonalização
2
1 2
polinômio característico autovalores
2 -3
Ex: A=
2 -3
1) Calculando os autovalores de A.
2 -3 1 0 2- -3
- 0 -
2 -3 0 1 2 -5-
2- -3
0 3 4 0 4, 1
2 -5-
A I A I

  


   

 
 
 
     
         
     
        
27
 1
1 1
2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
2) Calculando os autovetores associados
Para 4 - 0
2 -3 1 0 6 -3 0 6 -3 0
- 4
2 -5 0 1 2 -1 0 2 -1 0
6 -3 6 - 3 00
2 - 2 - 00
A I x
x x
A I
x x
x x x x
x x x x
 

   
              
                   
              
   
        
2 1 1 1 1
autovetor
2 ( ,2 ) (1,2)tx x x x x x x     

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-1 -1
matriz diadonal D
3) Calculando a matriz diagonal
3 1 2 -1
X= X = , X
1 2 -1 3
2 -1 2 -3 3 1 2 -1 3 1 5 0 1 01
-1 3 2 -5 1 2 4 -12 1 2 0 -20 0 -45
observe que a diagonal p
AX D
   
    
   
             
               
             
rincipal é formada pelos autovalores de A