Calc3 Aula10

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Cálculo	
  3	
  
Aula	
  10	
  
Integrais	
  duplas	
  sobre	
  regiões	
  genéricas	
  Na	
  aula	
  anterior,	
  vimos	
  integrais	
  duplas	
  sobre	
  retângulos.	
  Porém,	
  às	
  vezes	
  queremos	
  integrar	
  a	
  função	
  f	
  não	
  somente	
  sobre	
  regiões	
  retangulares,	
  como	
  também	
  sobre	
  regiões	
  mais	
  genéricas,	
  que	
  chamaremos	
  D.	
  Essas	
  regiões	
  podem	
  estar	
  contidas	
  entre	
  o	
  gráFico	
  de	
  duas	
  funções	
  contínuas	
  de	
  x	
  (tipo	
  I),	
  ou	
  podem	
  estar	
  contidas	
  entre	
  o	
  gráFico	
  de	
  duas	
  funções	
  contínuas	
  de	
  y	
  (tipo	
  II).	
  	
  	
  
Regiões	
  tipo	
  I	
  
f (x, y)dA = f (x, y)dy dx
g1( x )
g2 ( x )
∫
a
b
∫
D
∫∫
Regiões	
  tipo	
  II	
  
f (x, y)dA = f (x, y)dxdy
h1( y )
h2 ( y )
∫
c
d
∫
D
∫∫
Exemplos	
  
1)  	
  Calcule 	
   	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  ,	
  onde	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  e	
  D	
  	
  é	
  o	
  triângulo	
  limitado	
  pelas	
  retas	
  	
  2)  Calcule	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  onde	
  D	
  é	
  a	
  região	
  limitada	
  pelas	
  parábolas	
  
3)  Calcule	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  onde	
  D	
  é	
  a	
  região	
  limitada	
  pela	
  reta	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  
e	
  pela	
  parábola	
  
(x+ 2y)dA
D
∫∫
y = 2x2 e y =1+ x2.
f (x, y)dA
D
∫∫ f (x, y) = x2 + 2xy
y = 2x, y = 2 e x = 3.
(xy)dA
D
∫∫ y = x −1
y2 = 2x+6. 
Exercícios	
  
1.  	
  Determine	
  o	
  volume	
  do	
  sólido	
  que	
  está	
  contido	
  abaixo	
  do	
  paraboloide	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  e	
  acima	
  da	
  região	
  D	
  do	
  plano	
  
xy	
  limitada	
  pela	
  reta	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  e	
  pela	
  parábola	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  (216/35)	
  	
  
2.  Esboce	
  a	
  região	
  de	
  integração	
  e	
  inverta	
  a	
  ordem	
  de	
  integração.	
  Calcule	
  a	
  integral.	
  
a.  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  b.	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  c.	
  
Resp:	
  a)	
  6	
  	
  	
  	
  b)	
  32/3	
  	
  	
  	
  	
  c)	
  166/21	
  	
  
z = x2 + y2
y = 2x y = x22.
x2 + y( )
0
y−1
∫
1
3
∫ dxdy xy( )
y2
4
∫
0
2
∫ dxdy xy2( )
x
2
∫
1
4
∫ dydx