AulaTeorica 1 Funções

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Funções Reais de 
Variável Real 
 
Prof. Victor Simões Barbosa 
 
 
Universidade Federal de Santa Catarina 
 
Centro Tecnológico de Joinville 
2 
Conteúdos da Aula 
 Definição de função; 
 Definição de gráfico de função; 
 Operações; 
 Funções especiais. 
 
5 
O conceito de função refere-se essencialmente à 
correspondência entre conjuntos. 
Uma função associa elementos de um conjunto a 
elementos de outro conjunto. 
Em nosso estudo, os conjuntos envolvidos sempre serão 
subconjuntos de ℝ, as funções neles definidas são 
chamadas funções reais de variável real. 
Função 
6 
Definição de função 
 Sejam A e B subconjuntos de IR. 
 Uma função f : A → B é uma lei ou regra que a cada 
elemento de A se faz corresponder um único 
elemento de B. 
 O conjunto A é chamado domínio de f e é denotado 
por D(f). 
 B é chamado de contra-domínio ou campo de 
valores de f. 
 Notação: 
 ou 
f : A → B 
 x → f(x) 
y = f(x) 
7 
Exemplos 
São funções 
8 
Exemplos 
Não são funções 
9 
Definição 
 Seja f : A → B uma função. 
 
(i) Dado x  A, o elemento f(x)  B é chamado valor da 
função f no ponto x ou imagem de x por f. 
 
(ii) O conjunto de todos os valores assumidos pela 
função é chamado conjunto imagem de f e é 
denotado por Im(f). 
10 
Exemplo 1: 
Seja 𝐴 = *1, 2, 3, 4, 5}, 𝐵 = ℤ (conjunto dos inteiros) e 
𝑓: 𝐴 → 𝐵 definida pela regra que associa cada elemento 
de A ao seu dobro. 
Apresente a regra, a imagem do elemento 1, o domínio 
e a imagem de 𝑓. 
- A regra que define 𝑓 é 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 2𝑥; 
- A imagem do elemento 1 é 2, ou seja, 𝑓 1 = 2; 
- O domínio de 𝑓 é 𝐷 𝑓 = 𝐴; 
- A imagem de 𝑓 é I𝑚 𝑓 = 2, 4, 6, 8, 10 . 
11 
Exemplo 2: 
Seja 𝑓: 𝐼𝑅 → 𝐼𝑅, definida pela regra 𝑥 → 𝑥2. 
Apresente o domínio e a imagem de 𝑓. 
 
Solução: 𝐷 𝑓 = IR, 𝐼𝑚 𝑓 = 0,+∞ . 
 
OBSERVAÇÃO: 
Quando trabalhamos com subconjuntos de IR, é usual 
caracterizar a função apenas pela fórmula ou regra que a 
define. Neste caso, entende-se que o domínio de 𝑓 é o 
conjunto de todos os números reais para os quais a função 
está definida. 
EXEMPLO 3: 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
 
 𝐷(𝑓) = IR-{0}. 
 
12 
Igualdade de Funções 
 
Pergunta: 
Dadas duas funções 𝑓 e 𝑔. Quando 𝑓 = 𝑔? 
Resposta: 
Dizemos que duas funções são iguais, ou seja, 𝑓 = 𝑔, se 
𝐷 𝑓 = 𝐷(𝑔) e 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 para todo 𝑥 ∈ 𝐷 𝑓 =
𝐷 𝑔 . 
Exemplo 1: Seja 𝑓: 𝐼𝑅 → 𝐼𝑅, definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥2. 
 
 
 
Observe: 
13 
Definição de gráfico de função 
 Seja f uma função. O gráfico de f é o conjunto de todos 
os pontos (x, f(x)) de um plano coordenado, onde x 
pertence ao domínio de f. 
𝐷 𝑓 = 𝐼𝑅; 𝐼𝑚 𝑓 = 0,+∞ . 
14 
xxf )(






,4
,2
,2
)(xf
se x  -2 
se -2  x  2 
se x  2. 
D(f) = IR 
Im(f) = IR 
Exemplo 2: Exemplo 3: 
D(f) = IR 
Im(f) = *−2, 2, 4+ 
15 
Exemplo 4: 𝑓 𝑥 = 𝑥 . Exemplo 5: 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
. 
𝐷(𝑓) = IR 
I𝑚(𝑓) = ,0,+∞) 
𝐷(𝑓) = IR − *0+ 
𝐼𝑚(𝑓) = IR − *0+ 
16 
PERGUNTA: 
Dada uma curva C no plano xy, ela 
sempre representa o gráfico de uma 
função? 
Não 
17 
Operações 
 Dadas as funções f e g, definimos: 
.
)(
)(
))(/()(
);().())(.()(
);()())(()(
);()())(()(
xg
xf
xgfiv
xgxfxgfiii
xgxfxgfii
xgxfxgfi




Domínios? 
O domínio das funções 
definidas em (𝑖), (𝑖𝑖) e (𝑖𝑖𝑖) é 
a interseção dos domínios das 
funções f e g. 
O domínio da função f/g é a 
interseção dos domínios das 
funções f e g excluindo-se os 
pontos onde 𝑔(𝑥) = 0. 
18 
Operações 
).())(( xkfxkf 
 Se f é uma função e k é um número real, definimos: 
 O domínio de 𝑘𝑓 coincide com o domínio de f. 
 Dadas duas funções f e g, a função composta de g com 
f, denotada por g0𝑓, é definida por: 
)).(())(( 0 xfgxfg 
 O domínio g0f é o conjunto de todos os pontos x no 
domínio de f tais que f(x) está no domínio de g. 
 
𝐷 𝑔0𝑓 = *𝑥 ∈ 𝐷 𝑓 ; 𝑓(𝑥) ∈ 𝐷(𝑔)+ 
19 
Diagrama: 
20 
Exemplo 1: 
Se 𝑓 𝑥 = 5 − 𝑥 e 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 3. 
Então: 
Como 𝐷 𝑓 = −∞, 5 e 𝐷 𝑔 = 3,+∞ , então o domínio de 
𝑓 + 𝑔, 𝑓 − 𝑔 e 𝑓. 𝑔 é 3,5 . 
 
O domínio de 
𝑓
𝑔 é 3,5 , o ponto 3 é excluído pois 𝑔 3 = 0. 
 
Domínios? 
(Quadro) 
21 
Exemplo 2: Seja 𝑓 𝑥 = 1 + 𝑥 − 2 e 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 3. 
Determine: 
(i) 𝑕 = (𝑓 + 𝑔) 
(ii) 𝑕 = 𝑓 − 𝑔 
(iii) 𝑕 = 𝑓𝑔 
(iv) 𝑕 =
𝑓
𝑔
 
(v) 𝑕 = (7𝑓) 
(vi) 𝑕 = 𝑓𝑜𝑔 
(vii)𝑕 = (𝑔𝑜𝑓) 
 
Também determine os domínios em cada um dos itens acima. 
 
 𝑕 x = 𝑥 − 2 + 𝑥 − 2, 𝐷 𝑕 = ,2,+∞) 
 𝑕 x = 4 − 𝑥 + 𝑥 − 2, 𝐷 𝑕 = ,2,+∞) 
 𝑕 x = 1 + 𝑥 − 2 𝑥 − 3 ,𝐷 𝑕 = ,2,+∞) 
 𝑕 x =
1+ 𝑥−2
𝑥−3
, 𝐷 𝑕 = 2,+∞ − *3+ 
 𝑕 x = 7 + 7 𝑥 − 2, 𝐷 𝑕 = ,2,+∞) 
 𝑕 x = 1 + 𝑥 − 5, 𝐷 𝑕 = ,5,+∞) 
 𝑕 x = −2 + 𝑥 − 2, 𝐷 𝑕 = ,2,+∞) 
 
22 
Função constante 
 É toda função do tipo f(x) = k, que associa a qualquer 
número real x um mesmo número real k. 
(i) O domínio da função 𝑓(𝑥) = 𝑘 é 𝐷(𝑓) = IR. 
(ii) O conjunto imagem é o conjunto unitário 𝐼𝑚(𝑓) = *𝑘+. 
23 
Função identidade 
 É a função f: IR → IR definida por f(x) = x. 
(i) O domínio da função 𝑓(𝑥) = 𝑥 é 𝐷(𝑓) = IR. 
(ii) O conjunto imagem é 𝐼𝑚(𝑓) = IR. 
24 
Função do 1o grau 
 É toda função que associa a cada número real x o 
número real ax + b, a  0. Os números reais a e b são 
chamados, respectivamente, de coeficiente angular e 
linear. 
 
(i) O domínio da função f(x) = ax + b é 𝐷 f = IR. 
 
(ii) O conjunto imagem é 𝐼𝑚(f) = IR. 
25 
Exemplos: 
Crescente Decrescente 
26 
Função módulo 





.-x, se x
;x, se x
xxf
0
0
)(
 A função definida por: 
(i) O domínio é o conjunto 𝐷(𝑓) = IR. 
(ii) O conjunto imagem é 𝐼𝑚(𝑓) = ,0, +). 
27 
Função quadrática 
 É a função f: IR → IR definida por: 
 
 f(x) = ax2 + bx +c, com a  0. 
 
O domínio da função é 𝐷(𝑓) = IR. 
 
Vamos analisar os possíveis gráficos e respectivas 
imagens da função quadrática: 
 
28 
 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄, 𝒂 ≠ 𝟎 
29 
:como escritaser pode
,142por dada parábolaA :Exemplo 2  xxy
Dada uma função quadrática qualquer 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 +
𝑐, com a  0 usando a técnica de completar os quadrados podemos 
escrevê-la na forma: 
 
,)( 2 vv yxxay  parábola. da vértice),( vv yx
    312
2
3
2122
2
1
1122
2
1
22
22
22




















xxx
xxxxy parábola. da vértice)3,1( 
30 
𝐷 𝑓 = IR 
𝐼𝑚 𝑓 = ,−3,+∞) 
31 
Função polinomial 
 É a função f: IR → IR definida por: 
 f(x) = a0x
n + a1x
n-1 + ... + an-1x + an, onde 
 a0, a1, ..., an, a0  0, são números reais chamados 
coeficientes e o inteiro não negativo 𝑛, determina o 
grau da função. 
 
 O domínio da função é D(f) = IR. 
32 
f(x) = a0x
n + a1x
n-1 + ... + an-1x + an 
Exemplos: 
(i) A função constante 𝑓 𝑥 = 𝐾 é uma função polinomial de 
grau zero. 
(ii) A função 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑎 ≠ 0, é uma função polinomial 
de 1º grau. 
(iii) A função quadrática 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 ≠ 0, é uma 
função polinomial de 2º grau. 
(iv) A função 𝑓 𝑥 = 𝑥3, é uma função polinomial de 3º grau, 
ou função cúbica. 
(v) A função 𝑓 𝑥 = 5𝑥5 − 6𝑥 + 7é uma função polinomial de 
grau 5. 
33 
 
OBSERVAÇÃO: 
Polinômios de grau par tendem ao mesmo limite à medida que 
o valor de x aumenta em valor absoluto. Por isso, as 
"extremidades" do gráfico de um polinômio de grau par são 
voltadas para um mesmo lado: ambas para cima ou ambas para 
baixo, dependendo do sinal de ao. 
Polinômios de grau ímpar crescem sem limite à medida que os 
valores de x crescem e decrescem sem limite à medida que os 
valores de x diminuem, ou vice versa, dependendo do sinal 
de ao. 
f(x) = a0x
n + a1x
n-1 + ... + an-1x + an 
34 
Função racional 
 É a função definida como o quociente de duas 
funções polinomiais, isto é, 
 
 𝑓(𝑥) =
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)
, 𝑜𝑛𝑑𝑒 
 
 p(x) e q(x) são polinômios e q(x)  0. 
 
 O domínio da função é: 
 𝐷(𝑓) = IR − *𝑥 ∈ 𝐼𝑅; 𝑞(𝑥) = 0+. 
35 
1
1
)(



x
x
xf
  
  312
943
)(
2
22



xxx
xxx
xf
𝐷(𝑓) = IR − *−1+ 𝐷(𝑓) = IR − *−4,−3, 3+ 
  
  
.3,3,4 para
,1
312
943
2
22




x
x
xxx
xxx
Quadro 
36 
Funções pares e ímpares 
 Uma função f(x) é par se, para todo x no domínio de 
f, 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥). 
 Uma função f(x) é ímpar se, para todo x no domínio 
de f, 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥). 
 
 
Observação: 
O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo dos y. 
O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação a origem. 
37 
ímpar. é nem epar é nem4)(
ímpar.)()()()()(
)(
par.)()()(
3
353535
35
22




xxf
xfxxxxxxxf
xxxf
xfxxxf
Exemplo. Verifique a paridade das seguintes funções: 
𝑓 𝑥 = 𝑥2, 𝑓 𝑥 = 𝑥5 + 𝑥3, 𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 4 
(Quadro) 
Função Par Função Ímpar 
38 
Funções periódicas 
 Uma função f(x) é periódica se existe um número 
real p  0 tal que f(x + p) = f(x) para todo x  D(f). 
Observação: 
O número p é chamado período da função. 
O gráfico da função se repete a cada intervalo de comprimento |p|. 
39 
Exemplos: 
As funções seno e cosseno são funções periódicas de 
período 2𝜋. 
𝑠𝑒𝑛 𝑥 
cos 𝑥 
40 
Função inversa 
Definição: Uma função f é chamada função injetora se ela nunca 
assume o mesmo valor duas vezes, isto é, se 
 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) ⟹ 𝑥1 = 𝑥2 . 
Teste da reta horizontal: Uma função é injetora se nenhuma reta 
horizontal intercepta seu gráfico em mais de um ponto. 
 
Definição: Uma função f:𝐴 → 𝐵 é chamada função sobrejetora 
se 𝐼𝑚 𝑓 = 𝐵. 
41 
Definição: Seja 𝒇: 𝑨 → 𝑩 uma função bijetora com 
𝐷 𝑓 = 𝐴 e 𝐼𝑚 𝑓 = 𝐵. Então sua função inversa, f -1 tem 
domínio B e imagem A, sendo definida por 
 f -1(y) = x  f(x) = y para todo 𝒚 ∈ 𝑩. 
Definição: 
Se f é injetora e sobrejetora então dizemos que f é 
bijetora. 
42 
Exemplo 1: A função 𝑓: 0, +∞ → 0,+∞ , definida por 
𝑓(𝑥) = 𝑥2, tem como inversa a função 
𝑓−1: 0, +∞ → 0,+∞ definida por 𝑓−1(𝑥) = 𝑥 . 
43 
Exemplo 2: A função 𝑓: 𝐼𝑅 → 𝐼𝑅, dada por 𝑓(𝑥) = 𝑥3, tem 
como inversa a função 𝑓−1: 𝐼𝑅 → 𝐼𝑅 definida 
por 𝑓−1(𝑥) = 𝑥3 .