Matrizes e Vetores

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MATRIZES E VETORES 
CONCEITOS BÁSICOS 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
2.1 ÁLGEBRA MATRICIAL 
 
 Três das quantidades mais comumente utilizadas em engenharia: escalares, vetores e tensores. 
 
i. Uma quantidade escalar é aquela que pode ser completamente definida por sua magnitude 
somente. 
 Exemplos: temperatura, comprimento, energia. 
 
 
ii. Um vetor é uma quantidade que tem direção e magnitude. Um vetor necessita de três 
quantidades para sua completa definição, por exemplo as três componentes do vetor ao longo 
dos eixos X, Y e Z, 
 Exemplos: força, velocidade, aceleração, distância. 
 
 
iii. Um tensor é uma quantidade mais geral que um vetor, já que necessita mais do que três 
componentes para sua definição completa. Para o tensor de tensão, seis componentes devem 
ser conhecidas para que a tensão seja definida especificamente. Três desses valores são 
quantidades vetoriais, direção e magnitude, e os outros três são as componentes necessárias 
para definir um plano de referência ao qual a tensão é referida. 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
2.1.1 MATRIZES 
 
 (a) Uma matriz retangular com m linhas e n colunas é representada: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Os valores aij são denominados coeficientes ou elementos da matriz. Se m=n, a matriz é dita 
quadrada de ordem n. 
 













mn3m2m1m
n2232211
n1131211
a...aaa
...............
a...aaa
a...aaa
nmAA
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 A matriz pode consistir de somente uma linha, denominada vetor linha: 
 
 
 
 
 
 
 ou somente uma coluna, denominada vetor coluna: 
 
 
 
 n11312111 a...aaanA



















1m
21
11
1m
a
.
.
.
a
a
A
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 Simbolicamente, uma matriz pode ser escrita na forma: 
 
Aij i = 1, m ; j=1,n 
 
 
 A notação aij refere-se ao elemento que ocupa a posição referente à linha i e à coluna j na 
matriz A. 
 
 
 
 Por exemplo, na matriz o elemento a23 é igual a 7. 
 
 










265
743
921
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 
 (b) Os elementos aii de uma matriz quadrada são os elementos da diagonal principal da 
matriz. Se todos os elementos, com exceção daqueles da diagonal principal, são nulos, a 
matriz é denominada matriz diagonal. 
 
 
 
 Por exemplo, a matriz é uma matriz diagonal. 
 
 
 
 Uma matriz diagonal em que todos os elementos da diagonal principal são iguais é 
denominada matriz escalar, isto é, aii=a para todos os valores que i tomar. 
 
 
 Por exemplo, a matriz é uma matriz escalar. 










100
040
002












3000
0300
0030
0003
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 Uma matriz escalar em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 é 
denominada matriz unitária, isto é, aii=1 para todos os valores que i tomar. Uma matriz 
unitária é geralmente denominada como In, em que o subscrito n é a ordem da matriz. 
 
 
 
 Por exemplo, a matriz é uma matriz unitária. 
 
 
 











100
010
001
3I
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 
 Se todos os elementos de uma matriz são nulos (a matriz pode ou não ser quadrada), isto é, 
se todos os elementos aii=0, a matriz é denominada nula. 
 
 
 
 Por exemplo, a matriz é uma matriz nula. 
 
 
 
 Se duas matrizes A e B têm o mesmo número de linhas e de colunas, então: 
 
 
A  B = [aij  bij] 
 











000
000
000
O
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 
 Por exemplo, se e então: 
 
 
 
 
 
 
 
 Duas matrizes são ditas iguais se A - B = 0, em que as matrizes A e B e a matriz nula O têm o 
mesmo número de linhas e de colunas. 
 
 A multiplicação escalar de matrizes pode ser entendida como sucessivas adições de elementos. 
 
 Por exemplo, 
 
 
 







43
21
A







76
53
B















33
32
119
74
BABA






















9183
6150
306
361
250
102
3
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 (c) A transposta de uma matriz A, escrita AT, é obtida trocando linhas por colunas em A. Isto é, se 
em A=[aij], então em A
T=[aji]. 
 
 
 Se [aij] = [aji], a matriz em A é denominada matriz simétrica, isto é, a matriz é idêntica à sua 
transposta. 
 
 
 Por exemplo, a matriz 
 
 
 Se [aij] = [-aji], ou seja, se A
T = -A, a matriz é denominada matriz anti-simétrica. Nesse caso, aii=0. 
 
 
 Por exemplo, a matriz é uma matriz antissimétrica. 
 













524
261
413
A













024
202
420
D
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 (d) O produto C de duas matrizes A e B é possível somente quando o número de colunas de 
A iguala o número de linhas de B na expressão: 
 
C = A B 
 
 
 Os elementos cij na matriz C são: 
 
 
 
 
 
 
 É evidente que a matriz C terá o mesmo número de linhas de A e o mesmo número de 
colunas de B. Um elemento de C, por exemplo, o elemento cij, é obtido pela soma dos 
produtos dos elementos correspondentes da linha aik e da coluna bkj. 
 



n
1k
jkkiji bac
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









23
22
12
b
b
b
Por exemplo, c22 é definido de modo que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[a21 a22 a23] [c22] 
32232222122122 bababac 
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 Deve-se observar que a multiplicação de matrizes não é, em geral, comutativa. Isto é, A B é 
geralmente diferente de B A. 
 
 Entretanto, a multiplicação é associativa e distributiva, então: 
 
 
 não comutativa 
 
 
 associativa 
 
 
 distributiva 
 
 
 
ABBA 
CBACBA )()( 
CABACBA  )(
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 (e) Pode-se mostrar que a transposta do produto de duas matrizes é o produto de suas 
transpostas na ordem reversa, isto é: 
 
 
 
 Por exemplo: 
 
 
TTT)( ABBA 



















4333
1915
76
53
43
21
BA







4319
3315
)( TBA







4319
3315T TAB
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2.1.3 VETORES 
 
 (a) Um vetor a, como mostrado na figura, 
pode ser expresso na seguinte equação: 
 
 
 
 
 
 As quantidades a1, a2 e a3 são escalares 
(denominados componentes de a), e i, j, k 
são vetores unitários nas direções dos eixos 
coordenados x, y e z, respectivamente. O 
comprimento ou magnitude do vetor a é: 
 
 
 
 
 
 
 
 Se |a| 0, a razão define um vetor 
 
 unitário (que tem magnitude unitária) na 
direção do vetor a. 
 
 Notação alternativa para o cosseno diretor 
entre dois vetores, a e b: cos (a,b). 
 
 
kjia 321 aaa 
  2/1222
31
aaaa kjia
2

a3 k 
a2 j 
a1 i 
a 
x 
y 
z 
O 
|a|
a
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 O cosseno do ângulo que um vetor, com 
origem na origem dos eixos coordenados x, 
y, z, faz com outro vetor é denominado 
cosseno diretor dos vetores. 
 
 Na figura, cos, cos e cos são os cossenos 
diretores do vetor r com referência ao 
sistema coordenado x, y, z. 
 
 Observa-se que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e, portanto: 
 
 
 
 
 Uma notação alternativa para o cosseno 
diretor entre dois vetores, a e b, é cos (a,b). 
 
 
 
 
r
x
cos 
r
y
cos 
r
z
cos 
2/1222 )zyx(|| r
1coscoscos 222 
r 
x 
y 
z 
O 
 
 
 
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 (b) O produto interno ou produto escalar de dois vetores a e b é definido por: 
 
 
 
 
 
 a e b são as magnitudes de a e b e  é o ângulo entre eles. 
 
 O produto interno fornece um escalar e a multiplicação é comutativa, ou seja, a b = b a. 
 
 O produto escalar é também associativo e distributivo. 
 
 Considerando os vetores unitários i, j, k: 
 
i . i = j . j = k . k = 1 
 
i . j = i . k = j . k = 0 
 
 
 
 cosbaba
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 Portanto, se: 
 
 
 
 
 então: 
 
 
 
 
 
 Se 
 
 
 conclui-se que: 
kjibkjia 321321 bbbeaaa 
332211 bababa ba
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222
321
aaa aa
  2/1a.aa
 
 Por exemplo, determinar o ângulo entre os vetores e 
 
 
 Módulos de a e de b 
 
 
 
 
 
 
 Então, 
 
kjia 32  kjib  43
  14)3()2()1(a 2/1222 a   26)1()4()3(a 2/1222 b
2)1(.)3()4(.)2()3(.)1( ba
2614cos2 ba
096e1045,0
2614
2
ba
cos 




ba
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