CAL 4 2016.1 REAV AB2

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
Campus do Serta˜o
Ca´lculo 4: Reavaliac¸a˜o - AB2
Data: 21/10/2016 In´ıcio: 10:10hs/ Te´rmino: 12:50hs
Professor: Rodrigo Fernandes de Moura Melo
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Nota
Aluno(a): Curso:
(1) (4,0 pts)
(a) Parametrize o gra´fico da func¸a˜o f : D ⊂ R2 → R, f(x, y) = y3 + lnx, onde D e´ o triaˆngulo delimitado pela reta
2x+ y = 3 e pelos eixos coordenados.
(b) Encontre as intersec¸o˜es do plano tangente a` superf´ıcie S no ponto P = (4,−2, 1) com os eixos coordenados, onde
S e´ a superf´ıcie de parametrizac¸a˜o
α(u, v) = (v2,−uv, u2), 0 ≤ u ≤ 3, −3 ≤ v ≤ 3.
(2) (4,0 pts)
(a) Calcule
∫
C
F · dα, onde F = (x, y, z) = (1, x+ yz, xy −√z) e C e´ o triaˆngulo ABC de ve´rtices
A =
(1
3
, 0, 0
)
, B =
(
0,
1
2
, 0
)
e C =
(
0, 0, 1
)
.
(b) Calcule
∫∫
S
F · dS, onde F (x, y, z) = (x2yz, xy2z, xyz2) e S e´ a superf´ıcie da caixa delimitada pelos planos
x = 0, x = a, y = 0, y = b, z = 0, z = c, onde a, b e c sa˜o nu´meros positivos.
(3) (2,0 pts) Seja L um nu´mero real na˜o nulo. Considere o problema de contorno
y′′ + λy = 0, y(0) = y(L) = 0.
Determine todos os valores de λ > 0 para os quais este problema tenha uma soluc¸a˜o na˜o trivial e deˆ a soluc¸a˜o
correspondente.