Aula 07 (Cálculo II Semestre 2015.1)

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Cálculo II – Prof. Marcus V. S. Rodrigues (Semestre 2015.1) 
1 
AULA 07 – Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2) 
Teorema 1 (Teorema Fundamental do Cálculo - 2ª parte). Se 
f
 for uma função contínua 
em um intervalo 
I
, então 
f
 apresenta uma primitiva em 
I
. Em particular, se 
a
 for um ponto 
qualquer em 
I
, então a função 
F
 definida por 
   
x
a
F x f t dt
 (1a) 
é uma primitiva de 
f
 em 
I
; isto é, 
   F x f x 
 para todo 
x I
, ou ainda em outra notação 
   
x
a
d
f x dx f x
dx
 
  
 
 

 (1b) 
Prova. Sendo 
 F x
 definida para todo 
x I
, então, deve-se mostrar que 
   F x f x 
. Se 
x
 
não for nenhum dos extremos em 
I
 e 
 x,x h I 
, então a partir da definição de derivada 
tem-se 
 
   
h 0
F x h F x
F x lim
h
 
 
 (2) 
Como 
   
x
a
F x f t dt
, então, é possível escrever 
     
x h x
h 0
a a
1
F x lim f t dt f t dt
h


 
   
 
 
 
 (3a) 
ou, como 
   
x a
a x
f t dt f t dt  
, 
 
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   
x h
h 0
x
1
F x lim f t dt
h


 
  
 
 

 (3b) 
No intervalo 
 x, x h
 a função 
f
 é contínua, então pelo Teorema do Valor 
Médio para Integrais, existe um 
t
 em 
 x, x h
 tal que 
   
x h
x
f t dt f t h


 (4) 
Assim, a equação (3b) pode ser escrita da seguinte forma 
   
h 0
F x lim f t

 
 (5) 
Como 
t
 está compreendido entre 
x
 e 
x h
, tem-se que 
t x
 quando 
h 0
. 
Assim, 
   f t f x 
 quando 
h 0
, o que implica em 
     
h 0
F x lim f t f x

  
 (6) 
completando, então, a prova. 
 
Exemplo 1. Seja 
 
x
2
0
arctgt
f x dt
t 1



, então, determine 
 f x
. 
 
Solução. A função derivada é dada por 
 
x
2 2
0
d arctgt arctgx
f x dt
dx t 1 x 1
 
   
   

 
 
 
 
 
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Definição 1. O logaritmo natural de 
x
, denotado por 
ln x
, é definido pela seguinte integral 
x
1
1
ln x dt
t

 (7) 
para 
x 0
. 
 
Assim, de acordo com a definição o logaritmo natural de um número positivo 
pode ser interpretado pela área da região acima da curva 
1
y
x

 e abaixo pelo eixo das 
abscissas, no intervalo 
 1, x
, conforme ilustrado na figura 1. 
 
Figura 1 – Representação gráfica do lnx 
 
 
De acordo com a figura 1, tem-se que o logaritmo natural de 
x
, é numericamente 
igual à área da região em azul. Isto é, 
ln x S
. 
 
 
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Exemplo 2. Seja 
 
0
2
x
t 1
F x 1 dt
t 3

 

 para 
x 
. Ache os valores de 
x
 onde 
F
 atinge 
seu valor mínimo. 
 
Solução. Se a função tiver um extremo no intervalo 
 , 
, então ele deve ocorrer em um 
ponto crítico de 
F
, isto é, em um ponto tal que 
 F x 0 
 ou não exista derivada. A função 
derivada é dada por 
 
0 x
2 2 2
x 0
d t 1 d t 1 x 1
F x 1 dt dt
dx dxt 3 t 3 x 3
 
       
   
 
 
 
A função não possui pontos de não diferenciabilidade, portanto, os pontos críticos 
da função são do tipo estacionário, isto é, 
 F x 0 
. Então, resolvendo a equação
 F x 0 
, 
isto é, 
2
x 1
0
x 3



 
obtém-se 
x 1
. Como para 
x 1
 tem-se 
 F x 0 
 e para 
x 1
 tem-se 
 F x 0 
, então, pode-
se concluir que a função assume um mínimo em 
x 1
. 
 
Exemplo 3. Calcule o limite. 
x
2x 2x 0
0
1 1
lim dt
e 1 1 t
 
 
  
 

 
 
Solução. O limite pode ser escrito como um quociente, da seguinte forma 
x
2
0
2xx 0
1
dt
1 t
lim
e 1



 
 
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Como o limite acima é uma forma indeterminada 
0 0
, então, pode-se usar a regra 
de L’Hopital, dada por 
 
xx
22
2
00
2x 2xx 0 x 0 x 02x
d 11
dtdt 1
dx 1 t1 t
1 xlim lim lim
de 1 2ee 1
dx
  
 
   
        
  
  

 
Assim, 
 
2
2x 2x 2x 0 x 0
1
1 11 xlim lim
22e 2e 1 x 
 
      
  
   
 
 
Exemplo 4. Calcule a integra definida. 
 
2
1
1 x dx


 
 
Solução. A função do integrando pode ser escrita da seguinte forma 
1 x para 0 x 2
1 x
1 x para 1 x 0
  
 
   
 
Logo, a integral 
 
2
1
1 x dx


 pode ser decomposta da seguinte forma 
     
2 0 2
1 1 0
1 x dx 1 x dx 1 x dx
 
      
 
Calculando as integrais acima separadamente, é possível obter os seguintes 
resultados 
 
00
2
11
x 3
1 x dx x
2 2

 
     
 

 
 
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 
22
2
00
x
1 x dx x 4
2
 
     
 

 
Assim, pode-se concluir que 
 
2
1
3 11
1 x dx 4
2 2

   
 
 
Exemplo 5. Seja a função 
 
2x x 2 se x 1
h x
2x 3 se x 1
   

 
. Calcule 
 
1
2
h x dx


. 
 
Solução. A integral 
 
1
2
h x dx


, pode ser decomposta da seguinte forma, 
         
1 1 1 1 1
2
2 2 1 2 1
h x dx h x dx h x dx x x 2 dx 2x 3 dx
 
    
          
 
Calculando, separadamente, cada uma das integrais acima, obtém-se os seguintes 
resultados 
 
1 1
2 3 2
2
2
1 1 65
x x 2 dx x x 2x
3 2 6
 


 
      
 
 
   
1
1
2
1
1
2x 3 dx x 3x 6


   
 
Assim, pode-se concluir que 
 
1
2
65 101
h x dx 6
6 6

  