NIVELAMENTO_MAT_UNIDADE_III

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UNIVERSIDADE DE ITAÚNA 
Nivelamento em Matemática 
Prof. Tarcísio Valério Diniz 1
UNIDADE III – RAZÃO E PROPORÇÃO 
I-) RAZÃO 
Você já deve ter ouvido expressões como: “ quatro de cada cinco estudantes têm acesso 
à INTERNET” 
Esta frase pode ser representada em matemática por: 
5
4
 ou 54 ÷ .O nome desta 
expressão é razão . Dizemos então: a razão de estudantes que têm acesso à INTERNET 
é de quatro para cinco. 
De um modo geral, quando temos uma razão 
b
a
 dizemos que “a” é chamado antecedente 
e “b”, conseqüente. 
O conseqüente de uma razão não pode ser o número zero. 
Quando o conseqüente de uma razão é 100, denominamos razão “por cento” e 
representamos com o símbolo %. 
Exemplo: %23
100
23
= . 
Normalmente quando trabalhamos com razões “por cento”, dividimos o antecedente pelo 
conseqüente e trabalhamos com o número decimal encontrado, que é chamado “índice” . 
Assim, 23,0%23
100
23
== 
II-) PROPORÇÃO 
Quando temos duas razões iguais, formamos uma proporção . 
Exemplo: “quatro de cada cinco estudantes têm acesso à INTERNET” poderia também 
ser dito “ oito de cada dez estudantes têm acesso à INTERNET” pois teria o mesmo 
significado. 
Escrevemos: 
10
8
5
4
= 
De um modo geral, uma proporção pode ser indicada como 
d
c
b
a
= onde os números “a” e 
“d” são chamados extremos e os números “b” e “c” meios da proporção. 
As proporções possuem propriedades importantes que citaremos a seguir e serão muito 
úteis na resolução de problemas: 
1-) Em toda proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. 
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 Assim, se cbda
d
c
b
a
×=×⇒= 
 Exemplo: 127214
21
12
7
4
×=×⇒= 
Em uma proporção podemos inverter os meios ou os extremos que ela continua a ser 
uma proporção verdadeira. 
Assim, 
a
b
c
d
d
b
c
a
a
c
b
d
d
c
b
a
=⇒=⇒=⇒= 
 
2-) Se 
d
dc
b
ba
ou
c
dc
a
ba
d
c
b
a +
=
++
=
+
⇒= 
 Exemplo: 
12
33
4
11
12
2112
4
74
21
12
7
4
=⇒
+
=
+
⇒= 
 ou: 
21
33
7
11
21
2112
7
74
21
12
7
4
=⇒
+
=
+
⇒= 
3-) Se 
d
c
b
a
db
ca
d
c
b
a
==
+
+
⇒= 
 Exemplo: 
7
4
28
16
7
4
217
124
21
12
7
4
=⇒=
+
+
⇒= 
 ou: 
21
12
28
16
21
12
217
124
21
12
7
4
=⇒=
+
+
⇒= 
4-) Se 
2
2
2
2
d
c
b
a
db
ca
d
c
b
a
==
×
×
⇒= 
 Exemplo: 
49
16
147
48
49
16
217
124
21
12
7
4
=⇒=
×
×
⇒= 
 ou: 
441
144
147
48
441
144
217
124
21
12
7
4
=⇒=
×
×
⇒= 
Veja um exemplo em que podemos aplicar as propriedades na resolução de problemas. 
A soma dos quadrados de dois números positivos é 208 e eles são proporcionais aos 
números 2 e 3. Determine esses números. 
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Teremos: 
64
13
832208413
413
208
4943232
222
2222
2
2
2
2
=⇒=⇒×=⇒=⇒=
+
+
⇒=⇒= xxx
xxyxyxyx
 
Portanto, 864 ==x . Para determinarmos o 2º número: 12242
32
8
=⇒=⇒= yy
y
. 
III-) NÚMEROS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 
Uma sequência de números ( )naaaa ..,..........,,, 321 é diretamente proporcional a outra 
sequência ( )nbbbb ..,..........,,, 321 se e somente se: 
 k
b
a
b
a
b
a
b
a
n
n
===== ............
3
3
2
2
1
1
 
O número k é chamado coeficiente de proporcionalidade. 
Exemplo: A sequência ( )22,18,14,10,6 é diretamente proporcional à sequência 
( )11,9,7,5,3 , pois 2
11
22
7
14
5
10
3
6
==== onde 2 é o coeficiente de proporcionalidade. 
IV-) NÚMEROS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
Uma sequência de números ( )naaaa ..,..........,,, 321 é inversamente proporcional a outra 
sequência ( )nbbbb ..,..........,,, 321 se e somente se: 
 
n
n
b
a
b
a
b
a
b
a
1
............
111
3
3
2
2
1
1
==== 
Observe que: 11
1111
1
1
1
1
.
1
.
11
1
11
ba
baba
b
a
b
a
==×=÷= 
Assim, poderíamos definir sequências inversamente proporcionais do seguinte modo: 
Uma sequência de números ( )naaaa ..,..........,,, 321 é inversamente proporcional a outra 
sequência ( )nbbbb ..,..........,,, 321 se e somente se: 
 nn babababa ................ 332211 ==== 
Exemplo: A sequência ( )24,12,8,6,4 é inversamente proporcional à seqüência 
( ),2,4,6,8,12 , pois 482244126886124 =×=×=×=×=× 
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Existem vários exercícios que envolvem sequências diretamente proporcionais ou 
inversamente proporcionais. 
A resolução destes problemas se torna mais simples quando usamos o coeficiente de 
proporcionalidade. 
Veja os dois exemplos seguintes: 
Exemplo 1 – Dividir o número 48 em partes diretamente proporcionais aos números 2, 3, 
4, 7 
1º passo: calculamos o coeficiente de proporcionalidade e para isto, procedemos da 
seguinte forma: 
 3
16
48
7432
48
==
+++
=k 
2º passo: calculamos as partes através do coeficiente de proporcionalidade: 
2137
1234
933
632
4
3
2
1
=×=
=×=
=×=
=×=
a
a
a
a
 
Portanto, a sequência proporcional à sequência dada e cuja soma de seus termos é 48, é 
: 
 6, 9, 12 e 21 
Quando a divisão é em partes inversamente proporcionais, seguimos o seguinte roteiro: 
1-) invertemos os termos da sequência dada; 
2-) reduzimos estes termos ao menor denominador comum, 
3-) desprezamos os denominadores, obtendo uma nova sequência; 
4-) procedemos como no caso anterior. 
Exemplo: Dividir o número 60 em partes inversamente proporcionais a 2, 3, 4 e 6 
1º passo: 
6
1
,
4
1
,
3
1
,
2
1
 
2º passo: 
12
2
,
12
3
,
12
4
,
12
6
 
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3º passo: 2,3,4,6 4
15
60
2346
60
==
+++
=⇒ k 
Daí, 
842
1243
1644
2446
4
3
2
1
=×=
=×=
=×=
=×=
a
a
a
a
 
Portanto, a sequência inversamente proporcional à sequência dada e cuja soma de seus 
termos é 60, é : 
 24, 16, 12 e 8 
 
V-) REGRA DE TRÊS SIMPLES 
Problemas de regra de três simples são problemas que envolvem grandezas diretamente 
proporcionais ou inversamente proporcionais. 
Para a resolução dos mesmos montamos uma estrutura para facilitar os cálculos, que 
mostraremos com dois exemplos a seguir: 
Problema 1 – Para percorrer uma distância de 20 metros, um ponto material que se 
desloca a uma velocidade constante, gasta 50 segundos. Em quanto tempo, outro ponto 
material, se deslocando à mesma velocidade, percorrerá uma distância de 64 metros? 
 
metrossegx
metrosseg
64
2050
 
A primeira seta sempre aponta para a incógnita ( valor que queremos encontrar ) e a 
segunda, está apontando no mesmo sentido que a primeira, pois são grandezas 
diretamenteproporcionais. 
Para determinarmos o valor de “x”, fazemos como nos problemas de proporções. 
Assim, 160
20
6450645020 =×=⇒×=× xx
 Resp: 160 segundos. 
Problema 2 – Uma engrenagem de raio 18 cm está aclopada em outra de raio 30 cm. 
Quantas voltas dará a maior, enquanto a menor dá 50 voltas? 
 
cmvoltasx
cmvoltas
30
1850
 
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A primeira seta sempre aponta para a incógnita ( valor que queremos encontrar ) e a 
segunda, está apontando no sentido contrário da primeira, pois são grandezas 
inversamente proporcionais.( Quanto maior o raio, menor o número de voltas.) 
Para determinarmos o valor de “x”, transformamos em grandezas diretamente 
proporcionais, seguindo a orientação das setas e procedemos como anteriormente: 
Assim, 
cmvoltasx
cmvoltas
18
3050
 ⇒ 3030
1850185030 =×=⇒×=× xx
 
 Resp: 30 voltas 
VI-) PORCENTAGEM 
Problemas de porcentagem também envolvem grandezas proporcionais e sempre estarão 
relacionados com a razão “por cento”. 
Podemos resolver problemas de porcentagem utilizando regra de três simples, mas não é 
a maneira mais indicada. 
Mostraremos o assunto através de alguns exemplos: 
Exemplo 1: Em uma turma de 40 alunos, 20 % deles têm dificuldade em Matemática. 
Quantos alunos têm dificuldade em Matemática? 
1º método ( através de regra de três): 
40 alunos representam o total, portanto, 100% 
Daí, 
8
100
4020
20
10040
=⇒
×
=⇒ xxx
 
Resposta: 8 alunos 
2º método ( através do índice ) 
2,0
100
20%20 == 
Portanto, o número pedido é igual a 8402,0 =× Resposta: 8 alunos 
Os exemplos seguintes serão resolvidos sempre pelo segundo método. 
Exemplo 2: Em uma compra de R$ 540,00 um cliente de uma loja teve um desconto de 5% 
para pagamento à vista. Quanto este cliente pagou por esta compra? 
Se ele teve um desconto de 5%, ele pagou 95% do valor 
Portanto, 00,51354095,0 =× . Resposta: pagou R$ 513,00 pela compra. 
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Exemplo 3: Para pagamento a prazo uma loja cobra 5% de acréscimo sobre o valor à 
vista. Qual o valor que deverá ser pago em uma compra cujo valor à vista era de R$ 
1200,00 ? 
O valor inicial era 100%. O cliente deverá pagar 105% a prazo ( 100% + 5% ) 
Portanto, 00,126000,120005,1 =× . Resposta: deverá pagar R$ 1260,00 pela compra. 
Exemplo 4: Uma empresa deu dois reajustes de salários em dois meses consecutivos, de 
5% e 4%, respectivamente. Qual ficou sendo o salário de um funcionário, após os 
reajustes, sabendo que o mesmo recebia R$ 1.800,00 por mês? 
Teremos: 60,965.104,105,100,800.1 =×× Resposta: R$ 1.965,60 
 
VII-) JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS 
Existem pessoas e instituições que possuem dinheiro para emprestar e pessoas e 
instituições que necessitam de dinheiro emprestado. 
Quem toma dinheiro emprestado paga a quem emprestou um “aluguel” do dinheiro 
enquanto estiver usando. Este “aluguel” é calculado através de um percentual do total 
emprestado de acordo com o tempo de uso desse dinheiro e é chamado de juros. 
Para o cálculo dos juros existem dois sistemas de capitalização. 
A) JUROS SIMPLES 
Os juros são calculados apenas sobre o capital emprestado, período a período e pagos 
ao final da transação. 
Adotaremos: C = capital emprestado 
 j = total de juros pagos 
 M = montante ( soma do capital com os juros ) 
 i = porcentual para o cálculo dos juros ( índice ) 
 n = tempo de duração da transação 
Observações: 1) os itens acima serão adotados nos dois sistemas de capitalização. 
 2) Em qualquer sistema de capitalização a unidade de tempo do índice e 
do tempo da transação têm de ser a mesma. 
Fórmula para o cálculo de juros simples: 
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Seja um capital C, emprestado a juros simples durante “n” períodos a uma taxa de i % ao 
período.Teremos: 
Ao final do primeiro período: iCj ×=1 
Ao final do segundo período: iCj ×=2 
Ao final do terceiro período: iCj ×=3 
• 
• 
• 
Ao final do n-ésimo período: iCj n ×= 
O total de juros será portanto, a soma: 
 njjjjj ++++= ..........321 
 
 
Portanto, iCiCiCiCj ×++×+×+×= .......... 
Ou ainda, 
 
niCj ××=
 que é a fórmula para o cálculo de 
juros simples 
A fórmula para o cálculo do montante será: 
( )niCMniCCMjCM ×+×=⇒××+=⇒+= 1
 
Exemplos: 
1-) Determine os juros simples produzidos por um capital de R$ 2.300,00 durante 5 meses 
a uma taxa de 3 % a.m. 
Solução: 345503,0300.2 =××=j Portanto, o total de juros será R$ 345,00 
Obs: o valor 0,03 = 3 % = 
100
3
 
 
parcelasn
parcelasn
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2-) Determine o montante no exercício anterior 
Primeira solução: 645.2345300.2 =+=+= jCM Portanto, M = R$ 2.645,00 
Segunda solução ( uso da fórmula ) 
( ) 645.2503,01300.2 =×+×=M . Portanto, M = R$ 2.645,00, 
que é o mesmo valor encontrado anteriormente, 
3-) Determine os juros simples produzidos por um capital de R$ 1.800,00 durante 5 meses 
e 19 dias a uma taxa de 3 % a.m. 
Consideraremos 1 mês = 30 dias e 1 ano = 360 dias ( mês e ano comercial, 
respectivamente. 
Assim, 1 mês e 19 dias = 30 dias + 19 dias = 49 dias = 
30
49
meses. 
Daí, 20,88
30
4903,0800.1 =××=j
 Resposta: R$ 88,20 
Poderíamos também adequar a taxa. Veja como: 
20,8849001,0800.1..001,0..
30
03,0
..%
30
3
..%3 =××=⇒==== jdadadamai que é o 
mesmo resultado obtido anteriormente. 
Fluxo de caixa de uma operação 
Chamamos fluxo de caixa de uma operação a um diagrama que ilustra esta operação. 
O eixo da horizontal é o eixo do tempo 
As setas apontando para cima indicam entrada de capital 
As setas apontando para baixo indicam a saída de capital. 
Portanto, um mesmo problema pode ser apresentado por dois fluxos de caixa diferentes: 
um do ponto de vista de quem emprestou e outro do ponto de vista de quem tomou 
emprestado. 
Vamos ilustrar em um fluxo de caixa o exemplo 1 de nosso texto: 
Valor emprestado: R$ 2.300,00 
Montante obtido : R$ 2.645,00 
Tempo da transação: 5 meses 
5
5
00,645.2
00,645.2 00,300.2
00,300.2
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O primeiro fluxo de caixa é do ponto de vista de quem emprestou e o segundo, de quem 
tomou emprestado. 
Cálculo da taxa 
Exercício:
 
 
Um capital de R$ 3.200,00 foi emprestado a juros simples durante 3 meses e 22 dias, 
produzindo um montante de R$ 3.438,93. Determine a taxa mensal de juros da operação. 
 
 
 
 
O método acima é rápido e seguro para o cálculo de uma taxa em juros simples. 
B-) JUROS COMPOSTOS 
Na capitalização composta, os juros calculados no final do primeiro período são 
incorporados ao capital e passam a render juros para o segundo período, e assim, 
sucessivamente até o fim da transação.No dia a dia as pessoas usam a terminologia de juros sobre juros. 
Fórmula do montante em juros compostos: 
Ao final do primeiro período: ( )iCM +×= 1´ 1 
Ao final do segundo período: ( ) ( ) ( ) ( ) 212 1111 iCiiCiMM +×=+×+×=+×= 
Ao final do terceiro período: ( ) ( ) ( ) ( ) 3223 1111 iCiiCiMM +×=+×+×=+×= 
• 
• 
• 
Ao final do n-ésimo período: 
Assim, a fórmula do montante na capitalização composta será; 
( ) niCM +×= 1
 
00,200.3
93,438.3
dias112
mai .%2100301121
200.3
93,438.3
=×





×÷





−=
( ) ( ) ( ) ( ) nnn iCiiCiMM +×=+×+×=+×= −− 1111 11
( )
n
C
M
iniCM






−
=⇒×+×=
1
1
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Observação: Na capitalização composta quando for necessário fazer adequação entre o 
tempo e a taxa, devemos sempre transformar o tempo. 
Exemplo 
Determine o montante produzido por um capital de R$ 2.500,00 emprestado a juros 
compostos a uma taxa de 1,5 % a.m., durante 8 meses. 
Solução: 
( ) 23,816.2015,01500.2 8 =+×=M Resposta: R$ 2.816,23 
Nota: para efetuar os cálculos acima é necessário o auxílio de uma calculadora. 
Exemplo 
Determine o montante produzido por um capital de R$ 3.400,00 emprestado a juros 
compostos a uma taxa de 1,2 % a.m., durante 5 meses e 17 dias. 
Solução: 
Adequação do tempo: 5 meses e 17 dias = 150 dias + 17 dias = 167 dias = meses
30
167
 
( ) 43,633.3012,01400.3 30
167
=+×=M
 Resposta: R$ 3.633,43 
Observação: Neste curso foram dadas apenas noções de matemática financeira. Para 
um melhor aprimoramento você deverá fazer um curso específico do conteúdo. 
EXERCÍCIOS 
01-) Calcule os valores de “x” e “y” nos sistemas seguintes, usando as propriedades das 
proporções: 
• A) 




=+
=
2632
32
yx
yx
 Resp: 



=
=
6
4
y
x
 
• B) 




=−
=
10
3
5
yx
y
x
 Resp: 



=
=
15
25
y
x
 
• C) 





=+
=
116
5
2
22 yx
y
x
 Resp: 



=
=
10
4
y
x
 
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• D) 




=
=
48.
43
yx
yx
 Resp: 



=
=
8
6
y
x
 
02-) Divida o número 70 em partes diretamente proporcionais aos números 2, 3, 4 e 5. 
 Resp: 10, 15, 20 e 25 
03-) Divida o número 90 em partes inversamente proporcionais aos números 2, 3, 4 e 6. 
 Resp: 36, 24, 18 e 12 
04-) Quatro pedreiros constroem um muro de 20 metros de comprimento em 8 dias de 
trabalho. Quantos pedreiros seriam necessários para construir 60 metros do mesmo muro 
em seis dias de trabalho? Resp: 16 pedreiros 
05-) Em uma linha de produção constatou-se que em 2 % das peças produzidas, 
apareciam pequenos defeitos e das peças defeituosas, 7,5 % não poderiam ser 
reaproveitadas. Em uma produção de 2.000 peças, quantas peças defeituosas poderiam 
ser reaproveitadas? Resp: 37 peças 
06-) Em um acordo entre a direção de uma empresa e os seus colaboradores, ficou 
definido um reajuste de 8 % nos salários. Acertou-se que esse aumento deveria ser feito 
em 3 parcelas mensais consecutivas, devido à previsão de caixa da empresa, do seguinte 
modo: 3 % no primeiro mês, 2,5 % no segundo. Qual deve ser o aumento do terceiro mês 
para se atingir a meta do acordo ? Resp: 2,3 % 
07-) Um empréstimo de R$ 20.000,00 foi feito no regime de juros simples para ser pago 
ao final de 4 meses, a uma taxa de 2 % a.m.. Qual deverá ser o montante a ser pago ? 
 Resp: R$ 21.600,00 
08-) Resolva o problema 7 considerando o regime de juros compostos. 
 Resp: R$ 21.648,64 
09-) Calcule a taxa mensal de juros simples do fluxo de caixa representado abaixo: 
 
 Resp: 2,12 % a.m. 
 
10-) Um capital de R$ 12.000,00 foi aplicado no regime de juros compostos a uma taxa de 
2,3 % a.m., durante 5 meses e 12 dias. Determine o montante produzido. 
 Resp: R$ 13.567,81 
00,000.15$R
00,800.16$R
dias170