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Gabarito da 1a lista de exerc´ıcios de GA
Prof. Fernando Carneiro
1) Determine o extremo final do segmento orientado que representa o
vetor ~v = (2,−5, 1), sabendo que seu extremo inicial e´ o ponto A(−1, 3, 2).
~v = (2,−5, 1) = ~AB = B − A ⇒ B = A + ~v, A(−1, 3, 2) ⇒ B =
(2− 1,−5 + 3, 1 + 2) = (1,−2, 3).
2) Dados os vetores ~u = (3,−1, 0) e ~v = (−1, 2, 0) determine ~w tal que:
a) 4(~u− ~v) + 13 ~w = 2~u− ~w
4(~u− ~v) + 13 ~w = 2~u− ~w ⇒ 43 ~w = −2~u+ 4~v = (−10, 10, 0),
⇒ ~w = 3
4
(−10, 10, 0) = (−15
2
,
15
2
, 0).
b) 3~w − (2~v − ~u) = 2(4~w − 3~u)
3~w − (2~v − ~u) = 2(4~w − 3~u)⇒ 5~w = 7~u− 2~v = (23,−11, 0),
⇒ ~w = (23
5
,−11
5
, 0).
3) Dados A(−1, 3, 0), B(1, 0, 1) e C(2,−1,−1) determine D tal que
~DC = ~AB.
~DC = ~AB ⇒ C−D = B−A⇒ D = C−B+A, A(−1, 3, 0), B(1, 0, 1)
e C(2,−1,−1) ⇒ D = (0, 2,−2).
4) Dados A(2,−3, 1) e B(4, 5,−2) determine P tal que ~AP = ~PB.
~AP = ~PB ⇒ P − A = B − P ⇒ P = 1
2
(A+B) = (3, 1,−1
2
).
5) Dados A(−1, 2, 3) e B(4,−2, 0) determine P tal que ~AP = 3 ~AB.
~AP = 3 ~AB ⇒ P − A = 3B − 3A⇒
2
P = 3B − 2A = (12− (−2),−6− 4, 0− 6) = (14,−10,−6).
6) Verifique se o triaˆngulo formado por A(2,−1, 0), B(5, 3, 0) e C(1, 0, 0)
e´ iso´sceles.
Primeiro, ~AB = B − A = (3, 4, 0), ~BC = C − B = (−4,−3, 0) e
~CA = A − C = (1,−1, 0). O triaˆngulo formado por A, B e C tem lados
| ~AB|, | ~BC| e | ~CA|. Calculando:
| ~AB| =
√
32 + 42 =
√
25 = 5,
| ~BC| =
√
42 + 32 =
√
25 = 5,
| ~CA| =
√
12 + 12 =
√
2.
Logo, o triaˆngulo e´ iso´sceles, pois tem lados iguais, | ~AB| = | ~BC|.
7) Determine os pontos que esta˜o sobre o eixo x que esta˜o a 3
√
3
unidades de distaˆncia do ponto A(5, 1, 1).
Se P esta´ sobre o eixo x enta˜o e´ da forma (x, 0, 0). A distaˆncia entre P
e A e´ | ~AP |. Mas ~AP = P − A = (x− 5,−1,−1). Enta˜o
3
√
3 =
√
(x− 5)2 + 12 + 12 =
√
x2 − 10x+ 27
⇒ 27 = x2 − 10x+ 27⇒ 0 = x2 − 10x
⇒ x = 0 ou 10
⇒ os pontos sa˜o (0, 0, 0) e (10, 0, 0).
8) Determine k tal que os vetores ~u = (k, 3, 0) e ~v = (2,−7, 0) sejam
paralelos.
Os vetores ~u e ~v sa˜o paralelos se suas coordenadas sa˜o proporcionais,
isto e´:
k
2
=
3
−7 ⇒ k = −
6
7
e ~u = (−6
7
, 3, 0).
10) Dados os pontos A(1,−2, 1), B(0, 1, 2) e C(−1, 4, 3), determine:
a) o mo´dulo de ~AB,
~AB = B − A = (−1, 3, 1)⇒ | ~AB| =
√
12 + 32 + 12 =
√
11.
3
b) o produto escalar ~AC · ~BA,
~AC = C − A = (−2, 6, 2)⇒ ~AC · ~BA = − ~AC · ~AB =
−(−2, 6, 2) · (−1, 3, 1) = −((−2) · (−1) + 3 · 6 + 2 · 1) = −22.
c) o ponto me´dio de ~AB,
P =
1
2
(A+B) =
1
2
(1,−1, 3) = (1
2
,−1
2
,
3
2
).
d) o aˆngulo entre ~AC e ~BA,
cos θ =
~AC · ~BA
| ~AC| · | ~BA| =
−22√
22 + 62 + 22
√
12 + 32 + 12
=
−22√
44
√
11
=
−22
2 · 11 = −1,
enta˜o θ = arccos−1 = 180o.
e) o versor do vetor ~BC.
~BC = C −B = (−1, 3, 1), | ~BC| =
√
12 + 32 + 12 =
√
11.
Versor de ~BC =
~BC
| ~BC| =
1√
11
(−1, 3, 1) =
(− 1√
11
,
3√
11
,
1√
11
) = (−
√
11
11
,
3
√
11
11
,
√
11
11
)
.
11) Determine um vetor de mo´dulo 5 que tenha mesma direc¸a˜o de ~u =
(34 , 1, 0).
Procuramos ~v tal que ~v = 5 ~u|~u| . Mas
|~u| =
√
32
42
+ 12 + 02 =
√
25
16
=
5
4
.
4
Portanto
~v = 5
~u
|~u| = 5
4
5
~u = (3, 4, 0).
12) O aˆngulo entre os vetores ~u = (2, 0, 2) e ~v = (1, k, 0) e´ de 60o.
Calcule k.
O aˆngulo entre dois vetores ~u e ~v e´ θ tal que cos θ = ~u·~v|~u||~v| . Mas cos 60
o =
1
2 . Enta˜o
1
2
=
(2, 0, 2) · (1, k, 0)
|(2, 0, 2)||(1, k, 0)| =
2
2
√
2
√
1 + k2
⇒ 1
2
=
1
1 + k2
⇒ 1 + k2 = 2⇒ k2 = 1⇒ k = ±1.
13) Mostre que os pontos A(4, 0, 1), B(5, 1, 3), C(3, 2, 5) e D(2, 1, 3) sa˜o
ve´rtices de um paralelogramo.
Para mostrarmos que esses pontos sa˜o ve´rtices de um paralelogramo
temos que mostrar que ~AB = ± ~CD ou ~AC = ± ~BD ou ~AD = ± ~BC.
Calculando:
~AB = B − A = (1, 1, 2) , ~CD = D − C = (−1,−1,−2).
Logo, ~AB = − ~CD = ~DC e, portanto, eles formam um paralelogramo.
14) Determine o sime´trico do ponto P (3, 1,−2) em relac¸a˜o ao ponto
A(−1, 0, 3).
Se chamamos o sime´trico de P de Q, enta˜o ~AP = − ~AQ ⇒ P − A =
A−Q⇒ Q = 2A− P = (−2, 0, 6)− (3, 1,−2) = (−5,−1, 8).
15) Dos pontos que dividem o segmento AB, A(2, 9, 1), B(16,−5, 8) em
7 partes iguais, qual e´ o mais pro´ximo de B?
O mais pro´ximo de B sera´ o ponto Q tal que ~AQ = 67
~AB ⇒ Q − A =
6
7(B − A) ⇒ Q = 17A + 67B = (27 + 967 , 97 − 307 , 67 + 487 ) = (987 ,−217 , 497 ) =
(14,−3, 7).
19) Mostrar que o quadrila´tero cujos ve´rtices sa˜oA(1,−2, 3), B(4, 3,−1),
C(5, 7,−3) e D(2, 2, 1) e´ um paralelogramo e calcule sua a´rea.
Para mostrarmos que esses pontos sa˜o ve´rtices de um paralelogramo
temos que mostrar que ~AB = ± ~CD ou ~AC = ± ~BD ou ~AD = ± ~BC.
5
Calculando:
~AB = B − A = (3, 5,−4) , ~CD = D − C = (−3,−5, 4),
portanto ~AB = − ~CD = ~DC. Logo, a a´rea do paralelogramo e´ | ~AB× ~AD|.
O produto vetorial e´
~AB × ~AD =
i j k3 5 −4
1 4 −2
 = i [5 −4
4 −2
]
− j
[
3 −4
1 −2
]
+ k
[
3 5
1 4
]
= (−10 + 16)i− (−6 + 4)j + (12− 5)k = 6i+ 2j + 7k = (6, 2, 7).
Logo, a a´rea e´
√
62 + 22 + 72 =
√
36 + 4 + 49 =
√
89.
20) Calcule a a´rea do paralelogramo formado pelos vetores 2~u e −~v,
sendo ~u = (2,−1, 0) e ~v = (1,−3, 2).
~u× ~v =
i j k2 −1 0
1 −3 2
 = i [−1 0−3 2
]
− j
[
2 0
1 2
]
+ k
[
2 −1
1 −3
]
= (−2)i− (4)j + (−6 + 1)k = −2i− 4j − 5k = (−2,−4,−5).
Logo, a a´rea e´
A´rea = |2~u× (−~v)| = 2|~u× ~v| = 2
√
22 + 42 + 52 = 2
√
45 = 6
√
5.
21) Encontre x sabendo que o triaˆngulo formado porA(x, 1, 1), B(1,−1, 0)
e C(2, 1,−1) tem a´rea
√
29
2 .
A a´rea do triaˆngulo e´ 12 | ~AB× ~BC|. Logo, temos que calcular o produto
vetorial:
~AB× ~BC =
 i j k1− x −2 −1
1 2 −1
 = i [−2 −1
2 −1
]
−j
[
1− x −1
1 −1
]
+k
[
1− x −2
1 2
]
= (2 + 2)i− (x− 1 + 1)j + (2− 2x+ 2)k = (4, x, 4− 2x).
Logo, √
29
2
=
1
2
√
42 + x2 + (4− 2x)2 = 1
2
√
5x2 − 16x+ 32
6
⇒ 29 = 5x2 − 16x+ 32⇒ 0 = 5x2 − 16x+ 3
⇒ x = 16±
√
162 − 4 · 5 · 3
10
=
16±√4 · 49
10
=
16± 14
10
.
Logo, x = 3 ou x = 15 .
23) Verifique se sa˜o coplanares os pontos A(1, 1, 1), B(−2,−1,−3),
C(0, 2,−2) e D(−1, 0,−2).
~AB = B − A = (−3,−2,−4),
~AC = C − A = (−1, 1,−3),
~AD = D − A = (−2,−1,−3).
( ~AB, ~AC, ~AD) =
−3 −2 −4−1 1 −3
−2 −1 −3
 = −3 [ 1 −3−1 −3
]
− (−2)
[−1 −3
−2 −3
]
−4
[−1 1
−2 −1
]
= −3 · (−6) + 2 · (−3)− 4 · 3 = 18− 6− 12 = 0.
Portanto, sa˜o coplanares.
24) Para que valores dem os pontosA(m, 1, 2), B(2,−2,−3), C(5,−1, 1)
e D(3,−2,−2) sa˜o coplanares?
Os pontos sa˜o coplanares se o produto misto for nulo. Isto e´ 0 =
( ~BA, ~BC, ~BD). Calculando:
~BA = A−B = (m− 2, 3, 5),
~BC = C −B = (3, 1, 4),
~BD = D −B = (1, 0, 1).
Portanto,
( ~BA, ~BC, ~BD) =
m− 2 3 53 1 4
1 0 1
 = (m− 2) [1 4
0 1
]
− 3
[
3 4
1 1
]
+ 5
[
3 1
1 0
]
= (m− 2) · 1− 3 · (−1) + 5 · (−1) = m− 2 + 3− 5 = m− 4.
7
Logo, para que sejam coplanares devemos ter 0 = m− 4 ou m = 4.
25) Calcule o volume do tetraedroABCD, sendoA(−1, 3, 2), B(0, 1,−1),
C(−2, 0, 1) e D(1,−2, 0).
O volume do tetraedro ABCD e´ 16 |( ~AB, ~AC, ~AD)|. Logo, temos que
calcular os vetores e seu produto misto. Temos
~AB = B − A = (1,−2,−3),
~AC = C − A = (−1,−3,−1),
~AD = D − A = (2,−5,−2).
O produto misto enta˜o e´ 1 −2 −3−1 −3 −1
2 −5 −2
 = 1 [−3 −1−5 −2
]
− (−2)
[−1 −1
2 −2
]
+ (−3)
[−1 −3
2 −5
]
= 1 · (6− 5) + 2 · (2 + 2)− 3 · (5 + 6) = 1 + 8− 33 = −24.
Logo, o volume do tetraedo ABCD e´ = 16| − 24| = 246 = 4.
26) Encontre n tal que:
a) o aˆngulo entre (n, 3, 4) e (1, 0, 0) e´ de 45o;
cos 45o =
(n, 3, 4) · (1, 0, 0)√n2 + 32 + 42
√
1
=
n√
n2 + 25
⇒ 1
2
=
n2
n2 + 25
⇒ 2n2 = n2 + 25⇒ n = ±5.
b) o aˆngulo entre (n, 4, 4) e (0, 1, 0) e´ arccos 49 ;
4
9
=
(n, 4, 4) · (0, 1, 0)√
n2 + 42 + 42
=
4√
n2 + 32
⇒ 1
9
=
1√
n2 + 32
⇒ 81 = n2 + 32⇒ n2 = 49⇒ n = ±7.
c) o aˆngulo entre (n, 1, 1) e (n,−1, 1) e´ 60o;
cos 60o =
(n, 1, 1) · (n,−1, 1)√
n2 + 12 + 12
√
n2 + 12 + 12
=
n2
n2 + 2
⇒ 1
2
=
n2
n2 + 2
8
⇒ 2n2 = n2 + 2⇒ n2 = 2⇒ n = ±
√
2.
d) o aˆngulo entre (n, 1, 3) e (0, 0, 1) e´ 30o;
cos 30o =
(n, 1, 3) · (0, 0, 1)√
n2 + 12 + 32
=
3√
n2 + 10
⇒ 3
4
=
9
n2 + 10
⇒ n2 + 10 = 4 · 9
3
= 12⇒ n2 = 2⇒ n = ±
√
2.
e) o aˆngulo entre (n, 3, 4) e (2,−4, 3) e´ arccos 429 ;
4
29
=
(n, 3, 4) · (2,−4, 3)√
n2 + 32 + 42
√
22 + 42 + 32
=
2n√
n2 + 25
√
29
⇒ 16
29
=
4n2
n2 + 25
⇒ 4n2 + 100 = 29n2 ⇒ n2 = 4⇒ n = ±2,
mas devemos testar os dois valores: para n = 2 temos que o cosseno e´
4√
29
√
29
= e para n = −2 e´ − 4√
29
√
29
= − 429 . Logo n = 2.