Metodologia do ensino da matematica aplicada a educação infantil e anos iniciais

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Metodologia 
do Ensino da 
Matemática 
Aplicada a Educação 
Infantil e Anos 
Iniciais
Metodologia do Ensino 
da Matemática Aplicada 
a Educação Infantil e 
Anos Iniciais
Organizado por Universidade Luterana do Brasil
Universidade Luterana do Brasil – ULBRA
Canoas, RS
2015
Conselho Editorial EAD
Andréa de Azevedo Eick
Astomiro Romais,
Claudiane Ramos Furtado
Dóris Cristina Gedrat
Kauana Rodrigues Amaral
Luiz Carlos Specht Filho
Mara Lúcia Salazar Machado
Maria Cleidia Klein Oliveira
Thomas Heimann
Obra organizada pela Universidade Luterana do Brasil. 
Informamos que é de inteira responsabilidade dos autores 
a emissão de conceitos.
Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida 
por qualquer meio ou forma sem prévia autorização da 
ULBRA.
A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei 
nº 9.610/98 e punido pelo Artigo 184 do Código Penal.
Dados técnicos do livro
Diagramação: Marcelo Ferreira
Revisão: Ane Sefrin Arduim
A disciplina Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada à Educa-ção Infantil e Anos Iniciais quer contribuir para a formação Matemáti-
ca do pedagogo ao enfocar os princípios teóricos e metodológicos do en-
sino e da aprendizagem de Matemática com e para crianças da Educação 
Infantil e Anos Iniciais do Ensino Fundamental.
A disciplina vai discutir ações pedagógicas para a construção, pelas 
crianças, dos conceitos matemáticos relativos a números naturais e racio-
nais, operações, geometria e educação estatística com ênfase no trabalho, 
no planejamento e no desenvolvimento de práticas interdisciplinares favo-
recedoras da autonomia e da cidadania.
As reflexões oportunizadas sobre a construção Matemática inicial estão 
contextualizadas na vida cotidiana e são problematizadas através de jogos 
e resolução de problemas, pensadas como produções estratégicas e cons-
trutivas para a aprendizagem Matemática da criança.
O livro está estruturado em 10 capítulos. No primeiro capítulo, Jutta 
Justo traz uma reflexão sobre o ensino e a aprendizagem da Matemática e 
seus possíveis descompassos.
O segundo capítulo, de autoria de Jamille Mineo, discute o jogo e a 
resolução de problemas no contexto da aprendizagem Matemática.
No terceiro capítulo, Tania Seibert trata do ensino e da aprendizagem 
dos números naturais.
O quarto e o quinto capítulos são de autoria de Margarete Borga. A 
autora apresenta os princípios metodológicos do ensino e da aprendiza-
gem das operações fundamentais com números naturais. O quarto capítu-
Apresentação
Apresentação v
lo trata-se do campo aditivo: adição e subtração. O quinto capítulo é sobre 
o campo multiplicativo: multiplicação e divisão.
Alexandre Monteiro é o autor do sexto capítulo que trata dos números 
racionais nas suas formas fracionária e decimal.
Na sequência, o capítulo sete, de autoria de Ana Brunet, tem como 
tema a aprendizagem da Geometria e das relações espaciais da criança 
desde bebê.
A professora Neura Giusti, no oitavo capítulo, apresenta uma discus-
são sobre a Educação Estatística com crianças pequenas.
O nono capítulo, apresentado por Tania Seibert, proporciona discus-
sões sobre princípios metodológicos do ensino e da aprendizagem Mate-
mática a partir de projetos e da literatura infantil.
Por fim, no décimo capítulo, Magda Leyser apresenta recursos didáticos 
e tecnologias da informação e comunicação que contribuem para o ensino 
e a aprendizagem de Matemática.
Desejamos que este livro seja muito produtivo para seus estudos.
Jutta C. Reuwsaat Justo e Ana Brunet
Professoras Organizadoras
1 Possíveis Descompassos entre o Aprender e o Ensinar 
Matemática ..........................................................................1
2 Jogos: um Recurso Didático para o Ensino e a 
Aprendizagem da Matemática ............................................26
3 Ensino e Aprendizagem de Números Naturais .....................49
4 Operações Fundamentais com Números Naturais: Os 
Algoritmos e os Problemas Matemáticos Aditivos .................85
5 Operações Fundamentais com Números Naturais: Os 
Algoritmos e os Problemas Matemáticos Multiplicativos .....114
6 Ensino e Aprendizagem de Números 
Racionais na Forma Fracionária e Decimal ........................144
7 Geometria e Relações Espaciais ........................................178
8 Educação Estatística ..........................................................196
9 Ensino da Matemática a partir de Projetos de 
Trabalho com Literatura Infantil ........................................224
 10 Uso de Recursos Didáticos e Tecnologias da Informação e 
Comunicação na Aprendizagem da Matemática ................250
Sumário
Capítulo 1
Possíveis Descompassos 
entre o Aprender e o 
Ensinar Matemática
1 Doutora em Educação. Professora Adjunta do Programa de Pós-Graduação em 
Ensino de Ciências e Matemática e do Curso de Pedagogia da Universidade Lute-
rana do Brasil, Canoas/RS.
Jutta Cornelia Reuwsaat Justo1
2 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
Introdução
Em qualquer sala de aula, existem alunos que, por dife-
rentes motivos, não acompanham seus pares, indepen-
dente do nível de complexidade dos conteúdos ou da 
metodologia utilizada naquele contexto específico.
Clarissa Golbert e Sonia Moojen, Dificuldades na Apren-
dizagem Escolar, 1996.
Neste texto trazemos uma reflexão sobre aprender e ensinar 
Matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental. O artigo 
inicia com uma discussão sobre a importância de se conside-
rar as ideias prévias dos alunos para compreender como eles 
estão construindo as suas aprendizagens e, assim, planejar-
mos as estratégias de ensino. Na continuidade, discute-se a 
avaliação na perspectiva da mediação como um processo per-
tinente ao ensinar e aprender Matemática. A partir de então, 
reflete-se sobre as dificuldades enfrentadas por professores e 
alunos ao ensinar e aprender Matemática.
As ideias prévias
As ideias prévias que possuímos sobre as coisas são reelabo-
radas ou reconstruídas por meio do ensino, caracterizando-se 
como aprendizagem. Segundo Duhalde e Cuberes (1998), as 
ideias prévias são o conjunto de significados ou perspectivas 
que as crianças e os adultos dispõem para interpretar a infor-
mação escolar ou os conteúdos acadêmicos.
Capítulo 1 Possíveis Descompassos entre o Aprender... 3
Para as crianças que encontram dificuldades com a apren-
dizagem Matemática, é muito importante levar em conta as 
ideias prévias delas sobre os conteúdos, assim como as ideias 
que elas têm do significado de suas dificuldades, do significa-
do que o professor dá para essas dificuldades, sobre o papel 
do professor frente a elas e, ainda, sobre o valor de aprender 
esses conteúdos matemáticos e outras tantas.
Duhalde e Cuberes (1998) afirmam que se aprende:
 Â A partir dos conhecimentos prévios.
 Â Em um contexto no qual os sujeitos interajam com os 
outros, que frequentemente atuam como “mediadores”.
 Â Quando se identificam e se analisam os próprios erros e 
se renuncia a eles.
 Â Quando se repetem as situações com o objetivo de in-
crementar sua compreensão.
 Â Quando leva um tempo e um esforço, porque ninguém 
aprende de uma vez por todas.
 Â Em situações moldadas por um contrato didático nego-
ciável.
Da mesma forma, as pesquisadoras afirmam que o papel 
do professor é de observar e analisar as soluções que os alu-
nos utilizam, levando em conta o saber prévio, as interações e 
os diálogos dos alunos; planejar situações didáticas ricas e va-
riadas, selecionando atividades, materiais e experiências que 
sejam significativas; auxiliar os alunos quanto aos aspectos 
fundamentais da situação, guiando e estimulando os alunos 
4 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
para que se organizem,instruindo e orientando até a execu-
ção da tarefa; criar oportunidades para que os alunos tornem 
a encontrar situações já aprendidas; ressaltar o que os alunos 
aprenderam, nomeando os conteúdos e ajudando para que 
sejam identificados (DUHALDE; CUBERES, 1998).
Na Matemática, esses princípios de ensino se concretizam 
na construção do sentido dos conhecimentos e isto se con-
segue mediante a resolução de problemas do cotidiano e a 
reflexão sobre os mesmos. Assim, por exemplo, como conse-
guir cadeiras para todos, jogar dominó ou contar os dias que 
faltam para um evento são situações-problema que antecedem 
o esforço para estudar conceitos matemáticos, como número, 
espaço e medida.
A Matemática precisa servir como instrumento para resolver 
problemas. Resolver problemas exige muito mais habilidades 
do que fazer cálculos e a Matemática não se resume somente 
a essa habilidade. Identificar variáveis de vida, estabelecer cri-
térios e metas, articular informações, desenvolver processos de 
pensamento, ou seja, é muito mais “do que ensinar conceitos, 
habilidades e algoritmos matemáticos” (DANTE, 1989, p.30).
É então que a escola deve cumprir seu papel: oferecer ati-
vidades para que se exercitem essas ações, acreditando nas 
potencialidades de cada aluno, valorizando seus saberes, 
proporcionando a construção de conceitos matemáticos que 
instrumentalizem os alunos para o encontro de soluções para 
problemas.
As atividades matemáticas devem ser desenvolvidas de ma-
neira que as crianças realizem as operações, interagindo com 
Capítulo 1 Possíveis Descompassos entre o Aprender... 5
seu conhecimento anterior, assim como com outras crianças, 
para que haja apropriação de conceitos. Não deve haver Ma-
temática sem compreensão. A Matemática deve ser trabalha-
da de maneira que a criança saiba explicar o que faz. Kamii 
(1992) defende que
O ambiente social e a situação que o professor cria são 
cruciais no desenvolvimento do conhecimento lógico-
-matemático. Uma vez que este conhecimento é constru-
ído pela criança, através da abstração reflexiva, é impor-
tante que o ambiente social incentive a criança a usá-la 
(KAMII, 1992, p.63).
Quando propomos problemas “da vida real” esperamos 
que os alunos façam relações e apliquem sua aprendizagem. 
Nesse momento, a intervenção pedagógica do professor é fun-
damental como aquele que desafia, que questiona. O profes-
sor deve fazer boas perguntas. O professor deve, aos poucos, 
ir dificultando as situações-problema que sejam significativas, 
observando o nível geral da turma para que todos se sintam 
capazes.
Avaliação mediadora
Vasconcellos (1995), em seu livro sobre avaliação, faz uma 
reflexão sobre a prática do professor e do processo de ava-
liação escolar. Coloca que a avaliação remete ao interior do 
próprio processo de ensino-aprendizagem e que “a principal 
finalidade da avaliação no processo escolar é ajudar a garan-
6 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
tir a construção do conhecimento, a aprendizagem por parte 
dos alunos” (p.46).
A postura do professor frente às respostas que os alunos 
dão deve ser de investigação e reflexão, entendendo que a 
aprendizagem é um processo e, como tal, é uma evolução 
sucessiva de relações construídas na medida em que nos de-
paramos com novas situações e desafios e formulamos e refor-
mulamos nossas hipóteses.
Segundo Hoffmann (1993), a avaliação numa perspectiva 
mediadora considera a correção das atividades realizadas pe-
los alunos como um método de investigação, de interpretação 
das soluções apresentadas por estes; privilegia tarefas inter-
mediárias e sucessivas, desenvolvidas durante todo o período 
letivo; compromete o educador com o acompanhamento do 
processo de construção do conhecimento do educando numa 
postura epistemológica que privilegia o entendimento, e não 
a memorização.
A avaliação como processo não pode estar desvinculada 
do aprender. Nesse sentido é que essa reflexão precisa fazer 
parte da investigação para a compreensão das dificuldades de 
aprendizagem matemática das crianças.
Dificuldades de Aprendizagem na 
Matemática
Na perspectiva de duas psicopedagogas brasileiras, Golbert 
e Moojen,
Capítulo 1 Possíveis Descompassos entre o Aprender... 7
Grande parte das crianças com dificuldades de apren-
dizagem apresentam impulsividade, desajeitamento, 
desatenção, falhas na integração perceptiva, na memó-
ria, no pensamento e na linguagem, que, sem dúvida, 
perturbam as aquisições escolares. Tais comportamentos 
podem tanto ser causa como consequência de dificulda-
des na aprendizagem (GOLBERT; MOOJEN, 1996, p. 
79-80).
Elas ainda destacam que existem fatores que determinam 
o sucesso ou o fracasso escolar que não aparecem isolada-
mente no desempenho da criança. São os fatores biológicos, 
familiares, características da escola, características individu-
ais e características da tarefa. Afirmam que existe uma inter-
-relação entre estes fatores e, “em se tratando de dificuldades 
de aprendizagem, não se pode atribuir relação linear de cau-
sa e efeito, do tipo “Se A, então X”” (GOLBERT; MOOJEN, 
1996, p. 94).
Para avaliar uma dificuldade de aprendizagem em Mate-
mática, requer-se que o professor possua conhecimentos ma-
temáticos e pedagógicos. A importância de conhecimento do 
professor sobre o conteúdo que ele ensina tem sido foco de 
pesquisa ao longo de alguns anos. Mesmo concordando que 
o conhecimento didático dos professores sobre o objeto de 
ensino é fundamental, também acreditamos que esse não é o 
único conhecimento necessário aos professores, assim como 
são vários os saberes docentes que se concretizam em seu fa-
zer pedagógico (FIORENTINI; SOUZA JR.; MELO, 2003; TAR-
DIF, 2004). Entendemos que, sem o conhecimento didático do 
8 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
professor sobre o conteúdo a ser ensinado, a aprendizagem 
não se efetiva de forma plena.
Bransford, Brown e Cocking (2007) fazem referência a vá-
rias pesquisas que defendem que “aquilo que os professores 
sabem e acreditam sobre Matemática está ligado intimamente 
a suas decisões e ações instrucionais” (p. 213). Concordamos 
com esses autores, reconhecendo que, ao analisarmos “o en-
sino da Matemática, precisamos prestar atenção ao conheci-
mento do assunto por parte dos professores, ao seu conheci-
mento pedagógico (geral e específico do conteúdo) e ao seu 
conhecimento das crianças como aprendizes de Matemática” 
(p. 214).
O conhecimento matemático do professor inclui conhecer 
fatos aritméticos, conceitos, procedimentos e a relação exis-
tente entre eles; conhecer as formas como as ideias matemá-
ticas podem ser representadas; conhecer a Matemática como 
uma área de ensino, em particular, como o conhecimento é 
produzido e a natureza do discurso em Matemática (JUSTO, 
2009).
Curi (2004, 2008) defende que o conhecimento matemáti-
co do professor dos anos iniciais do Ensino Fundamental deve 
ser relacionado a conceitos, a procedimentos e a atitudes em 
relação à Matemática. É necessário que o professor desenvol-
va ou aprimore suas capacidades de resolver problemas, ar-
gumentar, raciocinar e se comunicar matematicamente. Além 
disso, ele precisa estimular uma atitude positiva frente à Ma-
temática, para que possa ter confiança em sua capacidade 
Capítulo 1 Possíveis Descompassos entre o Aprender... 9
de ensinar e aprender, influenciando, dessa forma, também a 
aprendizagem de seus alunos.
O professor, ao ensinar Matemática, precisa levar em con-
ta que em toda e qualquer atividade da criança existe uma es-
truturação mental que obedece a uma lógica de significados já 
construídos por ela. A compreensão disso é muito importante 
para auxiliá-la na aprendizagem.
Oliveira (1996) sugere que uma avaliação das dificulda-
des da criança deveincluir atividades livres para que se possa 
observar se há autonomia e espontaneidade na forma dela 
se organizar, sem que haja alguém que lhe diga o que, como 
e quando fazê-lo. Observar qual conotação tem o aprender 
para ela: se algo vivo, interessante e criativo, ou algo penoso e 
imposto, restrito ao meio escolar. Observar as situações e con-
textos nos quais ela demonstra melhor se estruturar, lembrando 
que as representações simbólicas interagem sempre entre si e 
se resgatam continuamente.
Saiz (1996) coloca que “as dificuldades dos alunos [...] de-
veriam obrigar os professores a “enfrentá-las” na aula, anali-
sá-las e corrigi-las” (p. 183). Assim, é importante conhecer a 
natureza das atividades propostas para poder objetivar com 
maior sucesso o desencadeamento da aprendizagem.
As queixas dos professores com relação a dificuldades em 
Matemática geralmente apontam para problemas na resolu-
ção de cálculos e de interpretação de histórias matemáticas. 
Quanto a estas dificuldades, Golbert e Moojen (1996, p.105) 
afirmaram que
10 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
a maior parte dos insucessos no desempenho matemá-
tico parece ser decorrente de problemas metodológicos, 
associados a particularidades cognitivas e/ou emocio-
nais. [...] o descompasso entre as tarefas propostas e 
as capacidades e os estilos cognitivos dos alunos são 
responsáveis por grande parte do mau desempenho do 
aluno” (GOLBERT; MOOJEN, 1996, p. 105).
Assim, trazemos uma reflexão sobre uma prática em aulas 
de recuperação que discute o descompasso entre o ensinar e 
o aprender Matemática.
Recuperação de dificuldades em 
matemática
Discutiu-se com duas professoras regentes de turmas de 5º 
ano do Ensino Fundamental sobre as dificuldades na Matemá-
tica percebidas por elas em seus alunos. As professoras disse-
ram que seus alunos apresentavam dificuldades com a com-
preensão do significado da operação Matemática de divisão e 
do seu algoritmo tradicional (cálculo armado), a interpretação 
de problemas matemáticos e sua resolução, além da revisão 
dos algoritmos tradicionais da adição e da subtração. A partir 
disso, foram planejados os encontros com os alunos convi-
dados pelas professoras para os momentos da recuperação. 
Relatam-se aqui alguns momentos dos encontros considerados 
importantes para serem analisados, agrupados pelas dificul-
dades trabalhadas e não pelo número de encontros ou pela 
divisão de turmas.
Capítulo 1 Possíveis Descompassos entre o Aprender... 11
O primeiro relato trata dos encontros em que a dificuldade 
com o algoritmo da divisão foi trabalhada:
Questionei os alunos se eles achavam difícil fazer a divisão 
e por quê. Os alunos relataram que o que eles achavam difícil 
era quando os números eram grandes, pois então eles se con-
fundiam. Dois alunos disseram não se lembrar como se dividia 
e um menino disse não ter aprendido, pois faltou muitas aulas 
no ano anterior em virtude de um tratamento de saúde.
Começamos as atividades usando o Material Doura-
do. Solicitei que eles resolvessem com o material a opera-
ção 347:3. Enquanto eles resolviam, eu ia questionando-os 
para que fossem explicando a sua forma de resolver. Todas 
as crianças, sem exceção, davam o significado de repartir à 
divisão, quando usavam o Material Dourado. Ou seja, elas 
distribuíam o material entre três grupos e verificavam quanto 
ficou em cada um.
Pedi, então, que elas fizessem a mesma operação usando o 
algoritmo tradicional da divisão e fossem falando como faziam 
o cálculo. Assim, pude perceber que elas usavam o significado 
de medir. Ou seja, “quantas vezes o 3 cabe no 3?” Então, con-
cluí que elas não estavam conseguindo relacionar o que faziam 
no concreto e o que faziam com o algoritmo.
Portanto, havia uma diferença na forma de pensar a divisão 
usando o material concreto e ao fazer o algoritmo. Em virtu-
de disso, resolvi não insistir no uso do Material Dourado, pois 
eu poderia confundi-los ainda mais neste momento. Como as 
professoras haviam solicitado que se trabalhasse o algoritmo, 
resolvi trabalhar sem o Material Dourado a partir de então.
12 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
As crianças fizeram cálculos no quadro e prontamente 
questionavam as suas dúvidas. Depois disso, resolveram al-
guns cálculos em uma folha, já com mais segurança. No 
final, questionei-os sobre o que ainda estava difícil e o que 
eles achavam que precisava melhorar. Disseram que agora 
ficou mais fácil e que precisavam estudar mais a tabuada. O 
menino que não sabia dividir com o algoritmo estava bas-
tante satisfeito por ter compreendido agora. Uma menina 
disse estar compreendendo melhor, mas me pareceu ainda 
com dúvidas, pois ela pensava na divisão usando o processo 
breve de resolução (sem fazer a subtração explicitamente no 
cálculo) e o algoritmo ensinado pela professora usava o pro-
cesso longo (com a subtração explícita). Parecia que ela não 
conseguia associar esta subtração com a forma dela de pen-
sar. Por exemplo, ela disse: “20 dividido por 3 dá 6 e resta 
2”. Perguntei: “Como tu sabes que resta 2?” Ela respondeu: 
“Porque o 20 tem dois 10. O 3 cabe 3 vezes no 10 e resta 1. 
Então 2 vezes 3 dá 6 e os dois 1 dá 2.” Falei: “É isso mesmo. 
Eu não tinha pensado assim. Então como nós podemos mos-
trar que restam 2?” E ela, prontamente, escreveu: 20-18=2. 
Ou seja, a forma dela pensar já dava logo o resto e ela não 
usava a multiplicação e a subtração explicada no processo 
longo para chegar ao resto. Por isso, a possível confusão e 
dúvida dela.
O próximo relato apresenta um dos encontros em que foi 
trabalhada a revisão dos algoritmos tradicionais da adição e 
da subtração. A proposta para este encontro foi a seguinte:
Capítulo 1 Possíveis Descompassos entre o Aprender... 13
1) Inventar um problema matemático para cada cálculo:
154 + 249 = 626 – 438 =
* Discutir sobre as situações criadas.
2) Resolver os cálculos com Material Dourado.
* Verificar como eles resolvem.
3) Resolver usando o algoritmo tradicional:
724 + 637 = 123 + 58 + 1029 = 531 – 274 = 8023 – 932 
=
Iniciei a atividade, pedindo que eles inventassem os proble-
mas para as duas operações colocadas no quadro.
Quando terminaram, solicitei que eles me explicassem si-
tuações em que a operação de adição precisava ser usada. 
Um aluno disse que se usava quando “a gente tinha uma cer-
ta quantidade de coisas e ganha mais uma quantidade dessa 
coisa”. Outro aluno disse que também se usa quando “a gente 
vende uma coisa e ganha certa quantia de dinheiro e depois 
vende mais outra coisa e ganha mais dinheiro. Daí a gente 
faz de mais”. Pedi que cada criança lesse o seu problema e 
comentamos sobre como os dados da operação foram trata-
dos em cada situação. Por exemplo: “No problema da Tatiane 
o número 154 eram maçãs e o número 249 eram peras. O 
que representa o resultado da operação neste problema?” As 
crianças respondiam perguntando: “Maçãs?” “Peras?” “Ma-
çãs e peras?” “Frutas?” Eu devolvia-lhes o questionamento, 
14 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
fazendo-os pensar novamente na situação apresentada até 
que chegávamos num consenso. E assim fizemos com todos os 
problemas inventados, fazia-os refletirem sobre cada situação 
e a sua relação com os dados.
Depois eles fizeram os cálculos representando com o Ma-
terial Dourado. Todos tiveram facilidade em realizar as trocas 
com o material. Após, realizaram os cálculos pelo algoritmo 
tradicional sem maiores dificuldades.
O último relato trata de um dos momentos em que foi tra-
balhada a interpretação de problemas matemáticos:
Para esta aula propus que as crianças resolvessem as ativi-
dades em uma folha individualmente e eu faria o acompanha-
mento dessa resolução também individualmente.
A leitura das atividadesfoi feita silenciosamente por cada 
criança e acompanhei cada uma fazendo questionamentos a 
partir de como eles estavam resolvendo. Pedia que eles expli-
cassem como pensavam, e, quando a criança tinha alguma dú-
vida, auxiliava-a a organizar o seu pensamento, criando uma 
estrutura dos dados do problema para que ela conseguisse 
chegar a uma solução.
Uma das crianças que, segundo sua professora, não rea-
lizava as atividades em sala de aula sem que ela tivesse que 
ficar lhe dando um atendimento individualizado, conseguiu re-
solver quase todos os problemas sozinha, e pediu ajuda em 
apenas duas situações.
Outra criança precisava que a auxiliasse várias vezes, pois 
não conseguia estruturar uma sequência na elaboração da re-
Capítulo 1 Possíveis Descompassos entre o Aprender... 15
solução, pulando algumas etapas. Isto fazia com que, apesar 
de ter uma linha de raciocínio correta, não conseguisse chegar 
ao resultado, pois lhe faltava coletar alguns dados do proble-
ma.
Outra criança solicitava sempre que lhe dissesse se estava 
correto o seu raciocínio. Fui questionando-a para que ela per-
cebe se que estava conseguindo pensar de forma correta e, 
assim, tivesse mais confiança em si mesma.
Uma das crianças reclamava bastante das atividades. Ao 
ser questionada, geralmente não conseguia acertar logo. Pare-
cia ansiosa e não conseguia prestar atenção na pergunta que 
lhe era feita, sendo que esta tinha que ser sempre repetida. 
Sempre que errava, a primeira ação era a de desistir. Preci-
sava trabalhar sempre com o concreto e com o meu auxílio, 
questionando-a sobre cada ação.
A partir dos relatos, fizemos algumas ponderações.
Percebeu-se que as crianças tinham muita tranquilidade em 
participar das aulas de recuperação. As professoras convida-
vam as crianças que elas percebiam ter necessidade e também 
aquelas crianças que tinham vontade de vir. As crianças não 
se constrangiam em perguntar as suas dúvidas e sentiam-se 
satisfeitas no final das aulas.
No encontro em que a dificuldade com o algoritmo da divi-
são foi trabalhada, percebi que as crianças não estavam apre-
sentando dificuldades reais, mas eram dúvidas. Estas dúvidas 
foram facilmente sanadas, pois elas tinham origem na dife-
rença de linguagem, de raciocínio e no método utilizado pelo 
16 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
professor. Havia um descompasso entre a forma de ensinar 
e a lógica das crianças de aprender. A dificuldade estava em 
adequar a linguagem do professor – a sua forma de ensinar – 
com a forma como o aluno compreende.
Esta situação vivenciada permitiu uma avaliação do proces-
so de ensino-aprendizagem, remetendo a uma reformulação 
da situação de ensino proposta para adequá-la à construção 
de conhecimento dos alunos, sendo, portanto, compreendida 
como uma avaliação mediadora do processo de aprendiza-
gem. Esta situação confirmou a importância do ajustamento 
entre o ensino e a aprendizagem para possibilitar o sucesso 
escolar.
Quando foi trabalhada a revisão dos algoritmos tradicio-
nais da adição e da subtração, buscou-se verificar como as 
crianças estavam significando a adição e a subtração. Nos 
exemplos relatados, as crianças apresentaram duas situações 
para a adição: uma de mudança de uma situação inicial (ti-
nha... ganhei... agora tenho) e a outra de combinação (juntan-
do duas quantidades). Já para a subtração, elas apresentaram 
apenas uma situação: a de mudança de uma situação inicial 
(tinha... perdi, quebrou, devolvi... fiquei com) (JUSTO, 2004; 
2009). Problematizaram-se as situações matemáticas criadas 
pelas crianças, procurando dar significado aos dados dos pro-
blemas e seus resultados.
Na aula relatada sobre a interpretação de problemas ma-
temáticos, as crianças resolveram sozinhas os primeiros pro-
blemas para conhecermos a sua forma de pensar. Pedia-se 
que explicassem como resolveram e, desta forma, se algo não 
Capítulo 1 Possíveis Descompassos entre o Aprender... 17
estava bem, ou as crianças mesmas percebiam ao explicar ou 
eram questionadas para que percebessem e pudessem refa-
zer. Percebeu-se que muitas crianças têm dificuldade em in-
terpretar o problema e encontrar os dados necessários para 
elaborar uma estratégia de solução. Acabam procurando ou 
se detendo em uma palavra que parece ser a “chave da des-
coberta”, querendo logo saber “qual a conta” (JUSTO, 2009). 
Pedia que representassem por desenho o que o problema dizia 
e isso auxiliava na sua interpretação e na organização de uma 
estrutura do problema. Algumas crianças tiveram dificuldade 
em expressar oralmente o que pensaram, outras responderam 
com certa ansiedade e uma criança teve o impulso de desistir 
frente ao primeiro obstáculo.
Concluindo
Faz-se importante uma aproximação com as crianças que, de 
alguma forma, não acompanham o ritmo de desenvolvimento 
de sua turma na escola: ouvir e observar as suas dúvidas e di-
ficuldades e tentar auxiliá-las para que possam superá-las. As 
crianças têm dificuldades distintas, apesar de serem agrupadas 
como iguais por seus professores. Essas diferenças se dão em 
função de características individuais, familiares e biológicas de 
cada criança, que fazem com que cada uma aprenda de uma 
maneira diferente – o que acontece independentemente de seu 
sucesso ou fracasso escolar. Cada criança tem a sua maneira 
de construir o seu conhecimento, mesmo que elas façam as 
mesmas tarefas escolares.
18 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
Na aula de recuperação é possível dar um atendimento 
mais individualizado para o aluno e questioná-lo para poder 
compreender como ele está construindo o seu conhecimento 
e, assim, poder fazer as intervenções necessárias para que ele 
supere as suas dificuldades ou dúvidas. A compreensão de 
como o aluno está construindo o seu conhecimento e conhe-
cer as suas ideias prévias é muito importante para adequar o 
ensino à aprendizagem, vencendo os descompassos entre o 
aprender e o ensinar.
No entanto, os momentos da aula de recuperação não são 
suficientes para sanar as dificuldades enfrentadas pelas crian-
ças. Por isso, a importância da discussão, das trocas de ideias 
e de informações entre o professor que acompanha as aulas de 
recuperação e o professor regente de classe. Da mesma forma, 
é muito importante que ambos os professores tenham um bom 
conhecimento dos conceitos matemáticos para que possam in-
tervir fazendo bons questionamentos, cumprindo, assim, a im-
portante tarefa de ensinar para que o aluno aprenda.
Para isso, os professores devem ter uma boa fundamenta-
ção na didática e nos conceitos matemáticos para verificar se 
as crianças comprovam os seus procedimentos, os seus pró-
prios resultados, e para que elas avancem e elaborem outras 
soluções, reconhecendo os seus erros através de uma atitude 
reflexiva e comprometida com a procura de soluções para as 
situações apresentadas.
Outra questão que tem muita relevância quando se trata 
de crianças com dificuldades de aprendizagem é fazer com 
que elas adquiram mais confiança em si mesmas, na sua ca-
Capítulo 1 Possíveis Descompassos entre o Aprender... 19
pacidade de aprender. Por mais tranquilas que elas possam 
parecer, sempre fica uma certa dose de insegurança e sensa-
ção de fracasso. É preciso tratar as dificuldades das crianças 
como estados passageiros, como um momento particular de 
seu processo de aprendizagem, evitando rótulos apressados 
e ansiedades adicionais. Evitar preconceitos e rótulos, evitar 
exigências que estão fora do seu alcance no momento, assim 
como evitar a gozação de seus colegas ou seu isolamento e 
afastamento das atividades sociocognitivas escolares são cui-
dados que o professor deve ter.
A questão das dificuldades de aprendizagem influencia 
várias situações do dia a dia escolar: as relaçõessociais en-
tre as crianças, as relações sociocognitivas, as inter-relações 
cognitivas, a relação professor-aluno, a avaliação, a relação 
família-escola... Enfim, a dimensão dessa abordagem é muito 
abrangente e necessita muita reflexão.
Recapitulando
Entende-se que compreender as dificuldades dos alunos na 
aprendizagem de Matemática é importante para se elaborar 
estratégias para superá-las. Para que isto possa se concretizar, 
precisamos colocar em prática algumas ações como professo-
res-pesquisadores:
a) Verificar qual a concepção que o aluno tem sobre a 
sua aprendizagem em Matemática, observando como 
20 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
ele lida com a aprendizagem de situações matemáti-
cas;
b) Identificar as dificuldades dos alunos em Matemática;
c) Trabalhar atividades de recuperação, possibilitando a 
construção de conhecimento;
d) Planejar, elaborar e implementar estratégias para a su-
peração das dificuldades.
Referências
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Atividades
 1) Assinalar a assertiva incorreta.
 Levar em consideração as ideias prévias das crianças so-
bre os conteúdos a serem trabalhados torna-se muito im-
22 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
portante para o processo de ensino e aprendizagem da 
Matemática, pois as ideias prévias representam:
(a) O conjunto de significados ou perspectivas que as 
crianças dispõem para interpretar as informações.
(b) O que as crianças já entendem do conteúdo em ques-
tão.
(c) A informação que o professor não precisa ressignificar.
(d) A concepção anteriormente existente à aprendizagem 
de um novo conteúdo.
(e) O diagnóstico inicial para o planejamento de situa-
ções didáticas ricas e variadas.
 2) Assinalar (V) para as assertivas Verdadeiras e (F) para as 
Falsas:
 Duhalde e Cuberes (1998) afirmam que se aprende:
(a) A partir dos conhecimentos prévios;
(b) Em um contexto no qual os sujeitos interajam com os 
outros, que frequentemente atuam como “mediado-
res”;
(c) Quando se identificam e se analisam os próprios erros 
e se renuncia a eles;
(d) Quando não se repetem as situações com o objetivo 
de incrementar sua compreensão;
(e) Quando leva um tempo e um esforço, porque nin-
guém aprende de uma vez por todas;
Capítulo 1 Possíveis Descompassos entre o Aprender... 23
(f) Em situações moldadas por um contrato didático ne-
gociável.
 3) Assinalar as assertivas verdadeiras:
 Quando propomos problemas “da vida real” esperamos 
que os alunos façam relações e apliquem sua aprendi-
zagem. Nesse momento, a intervenção pedagógica do 
professor é fundamental como aquele que desafia, que 
questiona. O professor deve:
(a) Fazer boas perguntas.
(b) Aos poucos, ir dificultando as situações-problema que 
sejam significativas, observando o nível geral da turma 
para que todos se sintam capazes.
(c) Oferecer aos alunos situações-problema que exijam 
somente habilidades de fazer cálculos.
 4) Assinalar a assertiva incorreta:
 Segundo Justo (2009), o conhecimento matemático do 
professor inclui conhecer fatos aritméticos, conceitos, pro-
cedimentos e a relação existente entre eles; conhecer as 
formas como as ideias matemáticas podem ser represen-
tadas; conhecer a Matemática como uma área de ensino 
– em particular, como o conhecimento é produzido e a 
natureza do discurso em Matemática. Sendo assim, torna-
-se necessário que o professor:
(a) Desenvolva ou aprimore suas capacidades de resol-
ver problemas, argumentar, raciocinar e comunicar-se 
matematicamente.
24 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
(b) Estabeleça uma atitude positiva frente à Matemática, 
para que possa ter confiança em sua capacidade de 
ensinar e aprender, influenciando, dessa forma, tam-
bém a aprendizagem de seus alunos.
(c) Compreenda que, ao ensinar Matemática, precisa le-
var em conta só os conhecimentos que envolvam Ma-
temática.
 5) Nas assertivas abaixo, escrever certo (c) ou errado (e).
(a) A maior parte dos insucessos no desempenho mate-
mático dos alunos parece ser decorrente de problemas 
metodológicos, associados a particularidades cogniti-
vas e/ou emocionais. Assim, é importante conhecer a 
natureza das atividades propostas para poder objetivar 
com maior sucesso o desencadeamento da aprendiza-
gem.
(b) É preciso tratar as dificuldades das crianças como es-
tados permanentes de cognição.
(c) Cada criança tem a sua maneira de construir o seu co-
nhecimento, mesmo que elas façam as mesmas tarefas 
escolares.
(d) As crianças têm dificuldades distintas, apesar de serem 
agrupadas como iguais por seus professores. Essas 
diferenças se dão em função de características indi-
viduais, familiares e biológicas de cada criança, que 
fazem com que cada uma aprenda de uma maneira 
diferente – o que acontece independentemente de seu 
sucesso ou fracasso escolar. Cada criança tem a sua 
Capítulo 1 Possíveis Descompassos entre o Aprender... 25
maneira de construir o seu conhecimento, mesmo que 
elas façam as mesmas tarefas escolares.
Gabarito
 1) c
 2) a) V; b) V; c) V; d) F; e) V e f) V
 3) a e b
 4) c
 5) a) c; b) e; c) c e d) C
Jamille Mineo Carvalho de Magalhães1
Capítulo 2
Jogos: um Recurso 
Didático para o Ensino 
e a Aprendizagem da 
Matemática
1 Mestre em Ensino de Ciências e Matemática (PPGECIM/Ulbra).
Capítulo 2 Jogos: um Recurso Didático para o Ensino... 27
Introdução
Os jogos matemáticos têm potencial para promover momentos 
de ensino e aprendizagem e, para que isso ocorra com toda a 
sua potencialidade, é necessário que o professor conheça os 
jogos, estudos e pesquisas que discutam a sua eficácia e como 
usar esse recurso didático.
Ao iniciar o estudo do presente capítulo, gostaria de pro-
por ao leitor alguns questionamentos para inspirar a reflexão 
no decorrer da leitura e, ao final, construir suas respostas a 
respeito dos questionamentos: como um jogo pode ser usado 
para promover momentos de ensino e aprendizagem em uma 
aula de Matemática? Qual a importância do planejamento 
quando utilizamos um jogo em nossas aulas? Por que utilizar 
atividades de sistematização de conteúdo quandotrabalhar-
mos com jogos matemáticos?
A seguir, são apresentados alguns autores que pesquisam 
sobre o uso de jogos em sala de aula com o intuito de respon-
der estes questionamentos apresentados e despertar o interes-
se pela pesquisa sobre jogos matemáticos.
O professor dos Anos Iniciais e a 
Matemática
A partir dos questionamentos propostos, vamos refletir sobre a 
sua responsabilidade com sua formação inicial e o ensino da 
Matemática nos Anos Iniciais, já que:
28 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
[...] os professores da Educação Infantil e dos Anos Ini-
ciais são as primeiras pessoas que oficialmente ensina-
rão às crianças as primeiras noções de Matemática, é 
fundamental que estes sejam profissionais qualificados 
e tenham uma relação positiva com este componente 
curricular para que possam auxiliar numa constituição 
forte de uma aproximação satisfatória das crianças com 
a Matemática e para o desenvolvimento dos conceitos 
matemáticos de seus alunos. (JUSTO, 2009, p. 56).
Como já sabemos que os professores dos Anos Iniciais têm 
a responsabilidade de ensinar a Matemática de maneira for-
mal a primeira vez as crianças, entende-se que esses profes-
sores devem ter uma relação positiva com a disciplina para 
assim poderem promover em suas aulas momentos de Ensino 
e Aprendizagem com a Matemática. E sobre a relação dos 
professores dos Anos Iniciais com a Matemática a pesquisa de 
Justo (2009) traz algumas das dificuldades apresentadas por 
licenciandos em Pedagogia:
Como docente de Matemática Aplicada para a Educa-
ção Infantil e Anos Iniciais do Curso de Pedagogia, há 
vários semestres temos nos deparado com a insegurança 
e o medo de alunos desse curso em relação à Matemá-
tica. Em torno de 60% dos alunos matriculados nessa 
disciplina sentem alguma aversão, medo ou insegurança 
relacionada ao ensino e à aprendizagem da Matemática. 
(JUSTO, 2009, p. 54).
Verificamos, também, nos estudos de Nacarato, Passos e 
Carvalho (2004) a mesma preocupação com as dificuldades 
dos licenciados em Pedagogia.
Capítulo 2 Jogos: um Recurso Didático para o Ensino... 29
Um dos grandes desafios para os formadores de pro-
fessores que ensinam ou ensinarão Matemática – gra-
duandos da Pedagogia – não reside apenas em romper 
barreiras e bloqueios que estes trazem de sua formação 
Matemática da escola básica, mas, principalmente, em 
provocar a tomada de consciência desses fatos, tra-
zendo-os à tona para que possa ser objeto de reflexão, 
superação e (re)significação. [...] Essas questões dizem 
respeito principalmente às dificuldades encontradas fren-
te à Matemática, ao sentimento de impotência para sua 
aprendizagem que, muitas vezes, foi permeada por his-
tórias de fracasso. (NACARATO; PASSOS; CARVALHO, 
2004, p. 10).
Visto que pesquisas apontam a existência de dificuldades 
em relação à Matemática pelos estudantes dos cursos de Li-
cenciatura em Pedagogia, Justo (2009, p. 60) afirma “[...] 
que, sem o conhecimento didático do professor sobre o conte-
údo a ser ensinado, a aprendizagem não alcança todo o seu 
potencial.” Essa dificuldade apresentada por parte dos estu-
dantes deve ser superada em sua formação inicial e os jogos 
matemáticos têm potencial para contribuir com esse momento 
de superação de dificuldades, pois através deste recurso é pos-
sível buscar momentos onde são estabelecidas relações que 
contribuem para o Ensino e Aprendizagem.
Os jogos matemáticos podem contribuir para momentos 
de Ensino e Aprendizagem que são proporcionados a partir 
de relações que o professor faz para que haja a apropriação 
de maneira correta de sua estrutura, regras, objetivos e conte-
údos matemáticos relacionados ao jogo, e essa apropriação 
30 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
demanda ao professor tempo de pesquisa e estudo para o pla-
nejamento de sua aula, buscando assim uma relação positiva 
de seus alunos com a Matemática.
Os jogos matemáticos
Os jogos trazem a diversão e ludicidade para a aula de Ma-
temática favorecendo um relacionamento positivo dos alunos 
com a disciplina. O jogo traz consigo conteúdo, regras, e po-
dem proporcionar momentos de aprendizagem a partir das in-
terações aluno/jogo, aluno/aluno, aluno/professor. Para Silva 
(2010) os jogos:
[...] são os recursos que possuem regras pré-estabele-
cidas e que possuem uma potencialidade lúdica na sua 
utilização. Acreditamos que o jogo possa ser um material 
com potencialidades dentro da sala de aula, pois eles 
podem ser direcionados para o ensino sem perder sua 
característica de jogo. Quando nos referimos ao jogo 
desta maneira, estamos direcionando nossos olhares a 
uma prática educativa que instrui e diverte ao mesmo 
tempo, sem que nenhuma dessas características se per-
ca. (SILVA, 2010, p. 27-28).
Há certo consenso, entre teóricos e especialistas do tema, 
sobre as contribuições cognitivas e sociais, afetivas e culturais 
potencializadas por diferentes tipos de jogos.
Existem vários tipos de jogos e vários conceitos referentes a 
eles ao se levantar a história destes na literatura da área. Atu-
Capítulo 2 Jogos: um Recurso Didático para o Ensino... 31
almente, os jogos são valorizados por professores e pesquisa-
dores, como também por documentos oficiais que orientam o 
ensino no Brasil. Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) 
defendem o uso do jogo como recurso didático com grande 
potencial. Neles encontramos que:
Os jogos e brincadeiras são elementos muito valiosos no 
processo de apropriação do conhecimento. Permitem o 
desenvolvimento de competências no âmbito da comu-
nicação, das relações interpessoais, da liderança e do 
trabalho em equipe, utilizando a relação entre coope-
ração e competição em um contexto formativo. O jogo 
oferece o estímulo e o ambiente propícios que favorecem 
o desenvolvimento espontâneo e criativo dos alunos e 
permite ao professor ampliar seu conhecimento de técni-
cas ativas de ensino, desenvolver capacidades pessoais 
e profissionais para estimular nos alunos a capacidade 
de comunicação e expressão, mostrando-lhes uma nova 
maneira, lúdica, prazerosa e participativa, de relacionar-
-se com o conteúdo escolar, levando a uma maior apro-
priação dos conhecimentos envolvidos. (BRASIL, 2002, 
p. 56).
Esse mesmo olhar sobre a potencialidade do uso dos jogos 
como recurso didático atrelado ao conteúdo no Programa Pró-
-Letramento 2, que é uma proposta de formação continuada 
para professores dos Anos Iniciais do Ensino Fundamental. O 
documento que apresenta o Programa aponta que no ensino 
de Matemática:
32 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
[...] o jogo pode ser desencadeador da aprendizagem 
de novos conceitos. Resolução de problemas e jogo, sob 
esta perspectiva, pode provocar um encontro pedagó-
gico onde professor e aluno interagem de modo a de-
senvolver pensamento, linguagem e afetividade. Aliar 
resolução de problemas ao jogo, no ensino de Mate-
mática, é o objetivo principal desta proposta. (BRASIL, 
2008, p. 209, grifo do autor).
Defendendo ainda o uso dos jogos como recurso para o 
ensino, Marco (2005, p. 4) afirmou que: “[...] os jogos são 
recursos com os quais a criança pode produzir e compreender 
textos, significados e situações escolares e cotidianas, além de 
criar estratégias para resolver a situação-problema enfrentada 
para atingir seu objetivo (ganhar o jogo).” O jogo se apresen-
ta como um recurso didático com potencial para contribuir 
nas aulas de forma positiva, colaborando com professores e 
alunos no processo de ensino e de aprendizagem de maneira 
significativa.
A pesquisadora Kishimoto (2002) acredita na utilização dos 
jogos na Educação e no papel social que eles apresentam. A 
autora aponta três níveis de diferenciação para o jogo:
(1) o resultado de um sistema linguísticoque funciona 
dentro de um contexto social; (2) um sistema de regras; 
e (3) um objeto. No primeiro caso, o sentido do jogo 
depende da linguagem de cada contexto social. [...] o 
essencial não é obedecer à lógica de uma designação 
científica dos fenômenos e, sim, respeitar o uso cotidia-
no e social da linguagem, pressupondo interpretações 
e projeção social. [...]. No segundo caso, um sistema 
Capítulo 2 Jogos: um Recurso Didático para o Ensino... 33
de regras permite identificar, em qualquer jogo, uma es-
trutura sequencial que especifica sua modalidade. [...] 
regras permitem diferenciar cada jogo, permitindo super-
posição com a situação lúdica, [...]. O terceiro sentido 
refere-se ao jogo enquanto objeto. [...]. Os três aspectos 
citados permitem uma primeira compreensão do jogo, 
diferenciando significados atribuídos por culturas diferen-
tes, pelas regras e objetos que o caracterizam (KISHIMO-
TO, 2002, p.16-17).
Os três níveis de diferenciação do jogo apresentados por 
Kishimoto (2002) contribuem para um melhor entendimento 
do que é jogo para Educação, assim o professor no momento 
em que for fazer uso deste recurso pode ter uma visão mais 
ampla do significado da palavra jogo e do que ele representa.
Acredita-se que o jogo tem potencial para promover mo-
mentos de ensino e aprendizagem a partir das intervenções 
e relações estabelecidas pelo professor durante a utilização 
do recurso, assim como valorizar a interação dos alunos com 
o jogo e aluno/aluno. Ao conhecer a potencialidade de um 
jogo, o professor dispõe de um recurso didático para usar 
como aliado aos momentos de ensino e aprendizagem. Para 
Mineo (2012):
O jogo deve:
1. Ser para dois ou mais alunos (jogo em grupo);
2. Despertar o interesse dos alunos;
3. Além de raciocínio lógico, ter conteúdo matemático;
34 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
4. Ter objetivo competitivo e, no mínimo, um ganhador;
5. Favorecer a elaboração de estratégias. (MINEO, 
2012, p. 26).
Além destes aspectos, outro fator importante a ser eviden-
ciado é a função do professor no momento da escolha do jogo 
para utilização em sala de aula. Acredita-se que, ao escolher 
um jogo, o professor deve estar atento aos seus objetivos: se 
vai usar esse jogo para iniciar um conteúdo, favorecendo à 
construção de conceitos; se vai usá-lo como meio para aplicar 
conteúdos já trabalhados; ou se quer, ao final de um conteú-
do, mobilizar o que foi trabalhado. Ao apresentar o jogo, as 
regras devem ficar claras e serem discutidas com os alunos; os 
alunos devem jogar uma partida para se familiarizarem com 
o recurso para, depois, iniciar a partida onde o objetivo deve 
ser alcançado; é importante também que o jogo seja retoma-
do em outra aula; planejar atividades de sistematização do 
conteúdo matemático envolvido no jogo; e a organização dos 
grupos para que os alunos trabalhem de forma favorável os 
objetivos propostos. Nas pesquisas de Mineo (2012) uma ob-
servação sobre a mediação do professor durante aulas usando 
jogos matemáticos:
Acreditamos que os jogos são um recurso educativo que 
tem potencial para desenvolver, com a mediação do pro-
fessor, aspectos, sociais, culturais e de cidadania. Essa 
potencialidade que os jogos trazem em si podem ser um 
forte aliado para os momentos de ensino e aprendiza-
gem Matemática. (MINEO, 2012, p. 94).
Capítulo 2 Jogos: um Recurso Didático para o Ensino... 35
Conhecer como um jogo funciona e o que pode propor-
cionar é fundamental para o planejamento do professor, assim 
poderá explorar ao máximo esse recurso e as possíveis media-
ções necessárias para alcançar os objetivos pretendidos.
Planejamento com jogos
Para a realização de uma aula ou atividade com jogos mate-
máticos é necessário que o professor planeje esse momento 
favorecendo a realização dos objetivos e ainda podendo fazer 
uma reflexão posterior sobre o que funcionou e o que não 
funcionou em sua aula com jogos.
[...] o trabalho com jogos nas aulas de Matemática, 
quando bem planejado e orientado, auxilia o desenvol-
vimento de habilidades como observação, análise, le-
vantamento de hipótese, busca de suposições, reflexão, 
tomada de decisão, argumentação e organização, que 
estão estritamente relacionadas ao chamado raciocínio 
lógico [...]. (SMOLE; DINIZ; CÂNDIDO, 2007, p. 11).
O professor, ao elaborar o seu planejamento incluindo o 
uso de jogos matemáticos e compreendendo quais as habi-
lidades que os jogos podem ajudar a desenvolver em seus 
alunos, assim como dos conteúdos envolvidos e das relações 
de aprendizagem relacionadas às interações entre os alunos, 
terá como criar momentos e discussões em torno das situações 
oportunizadas pelo jogo fazendo com que os momentos de 
ensino e aprendizagem sejam favorecidos.
36 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
Durante o planejamento, o professor elabora a atividade 
de sistematização de conteúdo voltada para o jogo que vai ser 
trabalhando em sala de aula, pois assim ele terá uma resposta 
mais significativa do uso dos jogos e a formalização do conte-
údo matemático envolvido.
Atividade de sistematização de conteúdo
Para as atividades de sistematização usaremos a definição que 
Justo (2009) estabeleceu: as atividades elaboradas com intuito 
de esclarecer o conhecimento matemático envolvido em um 
jogo, antes trabalhado com o objetivo de contextualizar o con-
ceito matemático. Entendemos que contextualizar é dar sentido 
a uma situação ou conceito, o que se pretende com as ativida-
des de sistematização dos conteúdos, buscando a aprendiza-
gem matemática. As atividades de sistematização, elaboradas 
nos momentos de planejamento, buscam fazer com que o alu-
no reconheça nelas os conteúdos e/ou as habilidades que o 
jogo proporcionou.
Jogos e resolução de problemas
Os jogos matemáticos ajudam a desenvolver habilidades, 
quando o professor proporciona momentos de reflexão sobre 
as jogadas dos seus alunos. A tomada de decisão e formu-
lação de estratégias são algumas destas habilidades, e, por 
Capítulo 2 Jogos: um Recurso Didático para o Ensino... 37
sua vez, estão diretamente relacionadas com a resolução de 
problemas matemáticos. Para Grando (2000):
O jogo propicia o desenvolvimento de estratégias de re-
solução de problemas na medida em que possibilita a 
investigação, ou seja, a exploração do conceito através 
da estrutura Matemática subjacente ao jogo e que pode 
ser vivenciada, pelo aluno, quando ele joga, elaborando 
estratégias e testando-as a fim de vencer o jogo. (GRAN-
DO, 2000, p. 32).
Observando ainda que Smole, Diniz e Cândido (2007) 
contribuem com a discussão das habilidades que os jogos po-
dem ajudar a desenvolver e que contribuem com a resolução 
de problemas:
As habilidades desenvolvem-se porque, ao jogar, os alu-
nos têm a oportunidade de resolver problemas, inves-
tigar e descobrir a melhor jogada; refletir e analisar as 
regras, estabelecendo relações entre os elementos do 
jogo e os conceitos matemáticos. Podemos dizer que o 
jogo possibilita uma situação de prazer e aprendizagem 
significativa nas aulas de Matemática. (SMOLE; DINIZ; 
CÂNDIDO, 2007, p. 11).
O caráter divertido da Matemática pode ser expresso a 
partir das atividades com jogos favorecendo também momen-
tos de aprendizagem que favorecem a resolução de problemas 
a partir das habilidades que eles podem auxiliar a desenvolver.
Vamos conhecer agora o jogo matemático Cálculo Plus, 
sua estrutura, objetivo e regras. Veremos também sugestões de 
38 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
planejamento para uma aula com esse recurso e uma ativida-
de de sistematização de conteúdo.
Figura 1 Cálculo Plus.
Fonte: Mineo (2012, p.48).
O jogo
Estrutura: tabuleiro, três dados e fichas para cobrir os valores 
dostabuleiros.
Jogadores: duas ou mais pessoas.
Objetivo: cobrir o maior número possível de grupos de três 
valores vizinhos ligados em linha horizontal, vertical ou diago-
Capítulo 2 Jogos: um Recurso Didático para o Ensino... 39
nal. Ganhará o jogo o participante que tiver obtido o maior 
número de três pontos em linha no tabuleiro.
Regras: na sua vez de jogar, o jogador lança três dados. Com 
os valores resultantes, compõe uma expressão numérica. Diz 
em voz alta a expressão e a sua resposta, cobrindo o valor cor-
respondente ao resultado no tabuleiro. Se na sua vez de jogar 
não houver possibilidade de cobrir um número, passa a vez 
para o próximo jogador. O jogo termina quando não houver 
mais números a serem cobertos.
Planejamento:
Objetivos: resolver exercícios com as quatro operações en-
quanto joga; resolver situações-problema envolvendo as qua-
tro operações de forma lúdica.
Conteúdo: as quatro operações; Resolução de problema.
Recurso: jogo Cálculo Plus.
Avaliação: os alunos serão avaliados durante suas jogadas, 
suas respostas às intervenções feitas pelo professor nas discus-
sões em grupo, e na resolução das situações-problema pro-
postas na atividade de sistematização de conteúdo.
Roteiro da aula: o professor organiza a sala em grupo de 
quatro alunos e explica o jogo. Em seguida, deixa os alunos 
jogarem e circula entre os grupos observando as jogadas, as 
interações entre os alunos e fazendo intervenções quando ne-
cessário. Ao final da ou das partidas, o professor propõe aos 
40 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
alunos a resolução de situações problema na atividade de sis-
tematização de conteúdo.
Atividade de sistematização de conteúdo:
1º Quais os resultados que eu posso obter, utilizando as qua-
tro operações fundamentais, com os valores 2, 6 e 3, obtidos 
no lance dos dados?
2º É possível obter o resultado 25 com os valores 5, 5, e 1? 
De que forma?
3º Márcia obteve o resultado 10 com os valores 3, 2 e 1. Már-
cia está certa ou errada? Justifique sua resposta.
4º Observe o tabuleiro e depois responda as questões que 
seguem:
Fichas: Marcos e Vanessa.
Capítulo 2 Jogos: um Recurso Didático para o Ensino... 41
a) É a vez de Marcos jogar e ele obteve os números 4, 2 
e 3. Ele venceria o jogo? Caso resposta afirmativa, de 
que maneira?
b) Se caso fosse a vez de Vanessa e ela obtivesse 5, 6 e 
3 no lance dos dados, o que você faria no lugar dela? 
De que forma?
Você acabou de conhecer um jogo matemático, sua estru-
tura, planejamento e atividade de sistematização de conteúdo. 
A intenção foi pôr em prática a teoria apresentada. Agora é a 
sua vez de realizar as atividades de sistematização dos conteú-
dos que trabalhamos neste capítulo.
Recapitulando
Neste capítulo, conhecemos alguns pesquisadores que defen-
dem o uso de jogos matemáticos em sala de aula para pro-
mover momentos de Ensino e Aprendizagem. Podemos perce-
ber que todos os pesquisadores acreditam que o professor, ao 
aproveitar os momentos proporcionados pelo jogo para esta-
belecer relações com os alunos, jogo e professor, valorizando 
o conteúdo matemático presente esse recurso, pode se tornar 
um grande aliado para a aprendizagem. Cabe ao professor 
planejar aulas com jogos matemáticos e, durante esse plane-
jamento, criar atividades de sistematização de conteúdo para 
que o recurso alcance os objetivos almejados.
42 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
Iremos realizar atividades com e sobre jogos matemáticos 
para colocar em prática a teoria estudada e, assim, despertar 
o interesse sobre o recurso para suas futuras aulas.
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Capítulo 2 Jogos: um Recurso Didático para o Ensino... 43
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44 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
Atividades
 1) Questionando-se
 No início do capítulo foram feitos três questionamentos 
para orientar você durante a leitura. Vamos responder es-
ses questionamentos usando a teoria apresentada e bus-
cando outros pesquisadores que concordem ou discordem 
com o que foi apresentado.
a) Como um jogo pode ser usado para promover mo-
mentos de ensino e aprendizagem em uma aula de 
Matemática?
b) Qual a importância do planejamento quando utiliza-
mos um jogo em nossas aulas?
c) Por que utilizar atividades de sistematização de conteú-
do, quando trabalhar com jogos matemáticos?
 2) Conhecendo o Cubra 12
Vamos conhecer o jogo Cubra 12:
Capítulo 2 Jogos: um Recurso Didático para o Ensino... 45
Jogo para dois participantes ou duas duplas.
ESTRUTURA: tabuleiro retangular tendo nos dois lados maio-
res os números de 1 a 12, dois dados e 24 peças do tamanho 
da casa dos números, sendo 12 para cada participante ou 
cada dupla.
OBJETIVOS: cobrir todos os números de 1 a 12 antes do seu 
oponente,.
REGRAS: na sua vez de jogar, o jogador lança os dados e 
faz uma operação necessária com os valores dados de modo 
a dar um número de 1 a 12. Antes de cobrir o resultado de 
sua operação no tabuleiro, o seu oponente fará uma pergunta 
com a mesma operação. Se ele acertar cobre o numero que 
resultou dos dados; se errar passa a vez para o próximo jo-
gador. Se na sua vez de jogar o jogador não conseguir fazer 
uma operação com os dados que resulte em algum número do 
tabuleiro, ele passa a vez para o próximo jogador.
a) Agora que você conhece o jogo, elabore uma ativida-
de de sistematização de conteúdo para o Cubra 12.
b) Elabore um planejamento para uma aula com o jogo 
Cubra 12.
 3) Relato de experiência.
 Escolha um jogo matemático e uma turma dos Anos Ini-
ciais e elabore um planejamento e umaatividade de sis-
tematização de conteúdo e realize o que foi planejado. 
Depois da ação realizada, faça a descrição de como ocor-
reu a aula e relate suas impressões sobre os momentos 
46 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
vivenciados como aprendizagem pelos alunos, a intera-
ção entre eles, as intervenções deles, quais os resultados e 
quais os aspectos positivos e negativos da aula. Para fina-
lizar, descreva o que você faria de forma diferente. Durante 
esse relato, procure justificar suas afirmações e o que foi 
vivenciado utilizando o referencial teórico apresentado, e 
pesquise outras fontes.
 4) Competição durante os jogos.
 O uso dos jogos como recurso didático traz diversos bene-
fícios às aulas que já discutimos em nosso capítulo e, junto 
com isso, temos a competição, que faz parte de suas ca-
racterísticas. Elabore uma resenha sobre como a competi-
ção existente nos jogos pode ser aproveitada de maneira 
positiva pelo professor em sala de aula.
 5) Cálculo Plus
 Existem algumas jogadas durante uma partida do Cálculo 
Plus em que, para obter o resultado pretendido, se faz ne-
cessário o uso de parênteses, como por exemplo:
 Quando nos dados saírem os números 2, 5 e 6, e o joga-
dor precisar obter como resultado o número 40, ele terá 
que fazer uso dos parênteses (2 + 6) x 5. Assim:
(2 + 6) x 5 =
8 x 5 =
40
Caso não tivesse feito o uso dos parênteses, teríamos:
Capítulo 2 Jogos: um Recurso Didático para o Ensino... 47
2 + 6 x 5 =
2 + 30 =
32
a) Os dois cálculos apresentados acima estão corretos, 
mas para a situação de jogo apresentada só o primei-
ro interessa. Justifique por quê.
b) Encontre outras três situações onde seja obrigatório o 
uso de parênteses para resolver uma situação-proble-
ma do jogo Cálculo Plus.
c) De que maneira você faria em uma aula em que esti-
vesse usando este jogo para que os alunos construís-
sem o conceito de como e para que usar parênteses 
em uma expressão numérica? Faça uma descrição de 
como seria essa aula, quais as estratégias e quais as 
intervenções que você faria (podem ser criados diálo-
gos com alunos).
Gabarito
Atividade de sistematização de conteúdo:
 1) 0, 1,2, 4, 5, 6, 7, 9,11, 12, 15, 18, 20, 24 e 36.
 2) 5 x 5 x 1 ou 5 x 5 / 1
 3) Errada. Utilizando as quatro operações não é possível ob-
ter o resultado desejado. 
48 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
 4) 
a) ? Sim, 4 – (3 -2)
b) Ganharia o jogo fazendo a seguinte operação: 5x6+3
Atividade de sistematização de conteúdo:
 1) Respostas pessoais
 2) Respostas pessoais
 3) Respostas pessoais
 4) Respostas pessoais
 5) 
a) A utilização dos parênteses faz com que a operação 
que esteja dentro dele seja resolvida primeiro. Sem a 
existência dos parênteses teríamos que iniciar a ope-
ração pela multiplicação. Nos dois casos estamos res-
peitando a ordem de prioridade algébrica, desta for-
ma teríamos que optar pelo uso dos parênteses para 
obter o resultado 40.
b) Resposta pessoal.
c) Resposta pessoal.
Tania Elisa Seibert1
Capítulo 3
Ensino e Aprendizagem 
de Números Naturais
1 Doutora em Ensino de Ciências e Matemática. Professora da Universidade Lute-
rana do Brasil.
50 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
Introdução
Os números fazem parte do dia a dia de todas as pessoas, 
mas nem sempre percebemos a sua presença. Exemplos de 
sua utilização podem ser percebidos em diferentes situações, 
como:
 No trânsito, para indicar a velocidade 
máxima permitida em uma rodovia.
 Em embalagens, para indicar quantidades.
O número é a qualidade que as coleções têm, e que de-
pendem apenas da quantidade de seus elementos, indepen-
dente da natureza dos objetos. Quando duas coleções apre-
sentam a mesma quantidade de objetos, associamos a elas 
um mesmo número.
Representamos os números gráfica e oralmente através de 
símbolos (os chamados numerais). Os numerais foram desen-
volvidos a partir, principalmente, do ato de agrupar. As gran-
Capítulo 3 Ensino e Aprendizagem de Números Naturais 51
des civilizações do passado tinham maneiras próprias de re-
presentar os números.
1 A numeração indo-arábica
Como resultado de pesquisas realizadas em diferentes lugares, 
surge na Índia uma das grandes invenções da história da Ma-
temática: o sistema de numeração decimal.
Em 662, o bispo sírio Severus Sebokt, anuncia em uma 
conferência que os hindus realizavam cálculos utilizando ape-
nas nove sinais. A referência a nove, e não a dez símbolos, 
significava que o passo mais importante dos hindus para for-
mar o seu sistema de numeração, a invenção do zero, ainda 
não tinha chegado ao Ocidente. A ideia da notação para uma 
posição vazia – um ovo de ganso, redondo, ocorreu na Índia 
no final do século VI. Com a introdução do zero, o sistema 
de numeração, tal qual o conhecemos hoje, estava completo 
(GUELLI, 1998).
Hoje estes símbolos são chamados de algarismos indo-
-arábicos, pois os árabes, durante o reinado, travaram uma 
série de guerras de conquistas. Como prêmio dessas conquis-
tas, livros de diversos centros científicos foram levados para 
Bagdá e traduzidos para a língua árabe.
Em 809, o califa de Bagdá passou a ser al-Mamum. Esse 
califa era apaixonado pelas Ciências e contratou vários sá-
bios muçulmanos, entre eles al-Khowarizmi, que compreen-
52 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
deu o sistema de numeração hindu. Para contar ao mundo a 
sua descoberta escreveu o livro chamado “Sobre a arte hindu 
de calcular”, explicando o funcionamento dos dez símbolos 
hindus.
Os símbolos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ficaram conhecidos 
como a notação de al-Khowarizmi, de onde se originou o 
termo latino algorismus, que deu origem ao termo algarismo. 
São estes números, criados pelos hindus e difundidos pelos 
árabes, que constituem o nosso sistema de numeração deci-
mal, que ficaram conhecidos como algarismos indo-arábicos 
(GUELLI, 1998).
2 O conceito do número
Piaget (1973, 1976, 1978) estabeleceu uma distinção entre 
três tipos de conhecimentos, considerando suas fontes bási-
cas e sua estruturação: o conhecimento físico, o social e o 
lógico-matemático. Classifica como físico o conhecimento dos 
objetos da realidade externa que podem ser conhecidos pela 
observação. O social, também como conhecimento externo à 
pessoa, tem sua origem no meio sociocultural. Já o conheci-
mento lógico-matemático difere dos demais, pois este se ori-
gina da percepção das diferenças entre objetos, de uma cons-
trução e da ação mental da criança sobre o mundo. Não é 
inerente ao objeto, pois é construído a partir das relações que 
a criança elabora na sua atividade de pensar o mundo. Con-
Capítulo 3 Ensino e Aprendizagem de Números Naturais 53
siste de relações que não podem ser observáveis, que ocorrem 
por diversos estados de abstração. É uma pertença biológica 
que, apesar de ser interno não nasce pronto e precisa ser de-
senvolvido nos indivíduos.
Segundo Piaget (ibdem) a construção do conhecimento 
lógico-matemático se faz a partir da vivência da criança, es-
pecialmente nas situações de desafio que lhe são apresen-
tadas na escola e em casa, já que ela constrói ativamen-
te esse conhecimento nas relações com o meio ambiente e 
com os outros. Para Piaget (2002), o conhecimento físico e o 
conhecimento social nascem do conhecimento da realidade 
e se formam por meio da ação do sujeito sobre os obje-
tos, enquanto as estruturas lógico-matemáticas nascem da 
coordenação das ações do sujeito, formando instrumentos 
indispensáveis para a assimilação da realidade. Um exem-
plo de conhecimento lógico-matemático se dá quando, ao 
se apresentar um mesmo objeto, um vermelho e o outro azul, 
nota-se a diferença, que não está nemem um objeto nem em 
outro, mas sim na relação entre os dois. Se a pessoa não os 
colocasse dentro dessa relação, para ela essa diferença não 
existiria.
Na teoria piagetiana, a aquisição dos conceitos lógico-
-matemáticos, que serão descritos a seguir, são fundamentais 
para a aquisição do conceito de número, já que existe uma 
forte correlação entre eles. Os conceitos lógico-matemáticos 
e o conceito do número (Figura 1), segundo Cardoso (2009), 
baseada na Teoria de Piaget são classificados como:
54 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
Figura 1 Conceitos lógico-matemáticos e o conceito do número.
Fonte: adaptado de Cardoso (2009).
Para Piaget e Inhelder (1983), dois conceitos lógico-mate-
máticos são de extrema importância no processo de constru-
ção do conceito do número: o conceito de classificação e o 
conceito de seriação.
Classificam-se objetos quando esses são aproximados de 
outros por algum atributo comum a ambos, separando-os de 
outros que deles diferem. A estrutura lógica de classificação 
para Piaget e Inhelder (1983) se desenvolve de forma gra-
dual, em etapas sucessivas da infância até a adolescência, e 
em diferentes níveis. De início, a criança constrói seu primeiro 
conceito classificatório em contato direto com objetos, através 
de coleções que serão a base para a formação do conceito 
de classe.
Uma criança avança no conceito de classificação quando 
uma coleção de objetos diferentes é apreendida como sen-
Capítulo 3 Ensino e Aprendizagem de Números Naturais 55
do constituída por elementos equivalentes e, por conseguinte, 
permutáveis sob x, isto é, quando uma coleção se transforma 
em classe. No plano formal, a classe é necessária, pois reúne 
os elementos e delimita o todo, assegura a equivalência en-
tre os elementos que se tornam unidades iguais e não atribui 
qualquer lugar no espaço e no tempo aos seus elementos, 
que são, portanto, totalmente permutáveis. (CHALON-BLANC, 
2008).
Já a seriação, segundo Piaget (2002), é o processo pelo 
qual se comparam e se ordenam os objetos, de forma ascen-
dente ou descendente, e se estabelecem as diferenças entre 
eles. Destaca que a seriação pertence às relações chamadas 
assimétricas, ou seja, àquelas utilizadas ao seriar objetos con-
siderando a ordem linear de grandeza desses elementos.
Segundo Rangel (1992), as relações são chamadas de as-
simétricas porque o que nos leva a aproximar um objeto “b” 
de um objeto “a” colocado, por exemplo, numa série que vai 
do menor ao maior, é que “b” é maior do que “a” e este não é 
o mesmo motivo de aproximar “a” de “b”, já que “a” é menor 
que “b”. Tal como a classificação, a seriação é estruturada nos 
sujeitos de forma progressiva (PIAGET e INHELDER, 1983).
A ordem atribui momentaneamente um lugar, e um só, no 
tempo e no espaço, aos elementos de uma classe. Chalon-
-Blane (2008) salienta que o conceito de ordem é necessário 
na construção do número, pois liberta o número de qualquer 
dependência relativa a uma ordem estável. De dois elementos, 
um pode ser o primeiro ou o segundo, ou vice-versa, desde 
que haja um primeiro e um segundo.
56 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
Para Piaget (1976, 1978, 2002), a aquisição do número se 
dá de forma paralela ao desenvolvimento do raciocínio lógi-
co-matemático, isto é, o número é adquirido etapa por etapa, 
como síntese das estruturas lógico-matemáticas elementares. 
Nesta perspectiva, as crianças comparam, ordenam no espaço 
e no tempo, e através destas ações constroem o conhecimento 
matemático. Segundo o autor, a construção de um verdadeiro 
número é a capacidade de abstrair uma mesma quantidade a 
partir de objetos com formas diferentes, isto é, que conserve a 
quantidade apesar da forma e da ordem dos elementos (cor-
respondência termo a termo).
Conforme Piaget e Smeminska (1975), o conceito do nú-
mero está diretamente ligado à inclusão de classes e à orde-
nação serial. A síntese do número ocorre quando a criança 
associa os resultados de inclusão de classes com os de seria-
ção das relações, desconsiderando o aspecto de qualidade. 
Para os autores, o número é classe e relação assimétrica ao 
mesmo tempo; ele não deriva de uma ou de outra, mas sim da 
reunião entre elas. Salientam que para afirmar que a criança 
conhece o número não basta ela saber contar verbalmente, 
pois essa criança pode ser capaz de enumerar uma fila de seis 
fichas, mas não compreender que, ao dividir as seis fichas em 
dois grupos de três, equivalem, em sua reunião, à quantidade 
inicial de fichas.
Para os autores, se a ordenação fosse a única operação 
mental da criança sobre os objetos, eles não poderiam ser 
quantificados, uma vez que a criança os consideraria apenas 
um de cada vez, em vez de um grupo de muitos ao mesmo 
tempo. A criança, ao contar, por exemplo, seis objetos orde-
Capítulo 3 Ensino e Aprendizagem de Números Naturais 57
nados, pode ter dois comportamentos que dependem de ter 
ou não se apropriado da inclusão de classes. Na Figura 2, ao 
contar objetos ordenados ela conta seis, mas aponta para o 
último objeto como sendo o seis.
Figura 2 sem inclusão hierárquica.
Fonte: adaptado de Piaget e Smeminska (1975).
Para Piaget e Smeminska (1975), esse comportamento in-
dica que, para a criança, as palavras um, dois, três, etc., são 
nomes de elementos de uma série qualquer. A quantificação 
de objetos como um grupo ocorre quando a criança os coloca 
numa relação de inclusão hierárquica, conforme Figura 3.
Figura 3 com inclusão hierárquica.
Fonte: adaptado de Piaget e Smeminska (1975).
No final dos estágios dos processos de contagem, a crian-
ça percebe que os numerais podem ser produzidos de manei-
ra flexível, tanto no sentido crescente, quanto no decrescente. 
58 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
Outra característica é que a criança não necessita mais de 
apoio concreto (objetos) para contar, já que o valor cardinal 
passa a substituí-los.
Atividades
Segundo Lorenzato (2006), para que o professor tenha suces-
so na organização de situações que propiciem a exploração 
matemática pelas crianças é necessário que ele conheça os 
processos mentais básicos para aprendizagem da Matemáti-
ca, entre eles: correspondência, classificação, sequenciação, 
seriação, inclusão e conservação. O autor afirma que se o 
professor não trabalhar com as crianças esses processos, elas 
terão dificuldades para aprender número e contagem, entre 
outras noções.
2.1 Classificação
As atividades de classificação têm como objetivo reconhecer 
as características de um conjunto e separar elementos que não 
pertençam a ele. Constrói as relações de pertinência (quando 
relacionamos cada elemento com a classe a qual pertence), 
a relação de inclusão de classes (quando relacionamos uma 
subclasse com a classe maior em que ela se encaixa) e as rela-
ções simétricas (quando relacionamos objetos com as suas se-
melhanças. Se a tem a mesma cor de b, então b tem a mesma 
cor de a). Estabelece a relação entre a parte e o todo.
Capítulo 3 Ensino e Aprendizagem de Números Naturais 59
Quando a criança perceber as semelhanças entre elemen-
tos de um conjunto estará apta a perceber a semelhança entre 
as quantidades. Por exemplo: uma coleção de 3 carros e uma 
coleção de 3 balões (propriedade numérica 3). A criança tam-
bém deve perceber que dentro do 3 está o 2; dentro do 2 está 
o 1 (hierarquia de classes).
Atividade sugerida para sala de aula
Materiais manipulativos: conjunto de peças com critérios para 
formar subconjuntos.
Por exemplo: 8 peças com “carinhas” de crianças, com cri-
térios: sexo, cor de pele, expressão de alegre ou triste, entre 
outros. Pedir para agrupar as peças segundo algum critério 
escolhido pelo aluno.
2.1.2 Relações de ordem – seriação
A seriação