EXEMPLOS E EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADE

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EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DAS REGRAS DE PROBABILIDADES
Qual a probabilidade de retirar um rei ou um às de um baralho de 52 cartas, numa única tentativa?
De 300 estudantes, 100 estão matriculados em contabilidade, 80 em estatística. Estes dados incluem 30estudantes que estão matriculados em ambas as disciplinas. Qual a probabilidade de que um estudante aleatoriamente escolhido esteja matriculado em contabilidade ou em Estatística?
O seguinte grupo de pessoas está em uma sala: 5 rapazes com mais de 21 anos, 4 com menos de 21 anos, 6 moças com mais de 21 anos e 3 moças com menos de 21 anos. Uma pessoa é escolhida ao acaso dentre as 18. Os eventos são definidos:
A: a pessoa tem mais de 21 anos
B : A pessoa tem menos de 21 anos
C: A pessoa é um rapaz
D: a pessoa é uma moça
Qual a probabilidade de uma pessoa aleatoriamente escolhida ser moça com mais de 21 anos?
Qual a probabilidade de ser rapaz ou ter menos de 21 anos?
 Uma pesquisa de mercado mostrou que 80% das casas pesquisadas tinham um aparelho de TV à cores e que 30% das casas pesquisadas tinham um forno de microondas. Como a pesquisa mostrou também que 20% das casa pesquisadas tinham os dois. Pede-se calcular a porcentagem de casas que não tem nenhum dos dois.
	Casas pesquisadas 
	Micro
	Não-Micro
	Total
	TV
	0,2
	
	0,8
	Não-TV
	
	
	
	Total
	0,3
	
	1,0
O gerente do departamento de atendimento de uma revendedora de carros, agrupou as reclamações dos clientes no último mês em : cliente atendido, exigente e normal conforme registrado na tabela abaixo:
	Cliente 
	Exigente
	Normal
	Total
	Atendido
	3
	56
	59
	Não-atendido
	17
	24
	41
	Total
	20
	80
	100
Escolhendo aleatoriamente um cliente, pede-se calcular a probabilidade de que:
o cliente tenha sido atendido sabendo que é exigente
Não tenha sido atendido
Lançando um dado, seja A o evento sair o número 3 e B o evento sair um número ímpar. Qual a probabilidade de sair o número 3 dado que saiu um número ímpar?
Sabendo que no lançamento de 3 moedas aconteceram menos que duas coroas, pede-se determinar a probabilidade que sejam todas caras
Um urna contém 3 bolas de gude, 2 verdes e uma branca. Duas bolas são retiradas em seqüência , uma por vez. Pede-se calcular a probabilidade de que a segunda bola seja verde sabendo que a primeira também foi verde.
Em um lote de 12 peças , 4 são defeituosas. Duas peças são retiradas uma após outra sem reposição. Qual a probabilidade de que ambas sejam boas?
Um júri consiste de 9 pessoas naturais do local e 3 naturais de outro estado. Se 2 dos jurados são selecionados aleatoriamente para uma entrevista, qual a probabilidade de ambos serem naturais de outro estado?
Em geral a probabilidade de que um possível cliente faça compra quando procurado por um vendedor é 0,4. Se um vendedor seleciona do arquivo aleatoriamente 3 clientes e faz contato com os mesmos, qual a probabilidade de que os 3 façam compras?
De 12 contas de um arquivo 4 contém erros na contabilização do saldo da conta. Se o auditor inspeciona 3 dessas contas ao acaso, qual a probabilidade de que nenhuma delas apresente erros de contabilidade?
Sejam duas jogadas de uma moeda . O evento A é o número de caras na primeira jogada e o evento B é o número de caras na segunda jogada. Qual a probabilidade de sair cara na segunda jogada dado que saiu cara na primeira jogada?
Calcular a probabilidade de obter 3 caras no lançamento de 3 moedas.
Joga-se dois dados. Seja A o evento sair a face dois e b o evento sair uma face ímpar. Qual a probabilidade de sair a face dois dado que saiu um número ímpar?
	
A garantia de um carro permite conserto gratuito se o defeito ocorreu nos primeiros dois anos de uso ou com menos de 20.000 milhas. Determinada marca de carro está no mercado há 4 anos e dos 1.000 carros vendidos nos primeiros 6 meses, 200 tinham defeitos que foram consertados sob o critério de dois anos, 100 sob o critério de 20.000 milhas e 50 foram qualificados sob os dois critérios. Qual é a probabilidade de um conserto ser necessário sob a garantia?
Numa fábrica temos 100 máquinas . Algumas dessas máquinas são novas (N0 e outras velhas (V) e alumas são da firma K e outras da firma L.
	Estado
	Firma
	K
	L
	Total
	Nova (N)
	35
	30
	65
	Velha (V)
	25
	10
	35
	Total
	60
	40
	100
Um operário entra na fábrica e pega uma máquina da firma L. Qual a probabilidade dela ser velha?
Considere 250 alunos que cursam o primeiro ciclo de uma faculdade. Destes alunos, 100 são homens e 150 mulheres. 110 cursam física e 140 cursam química
	Sexo
	física
	Química
	total
	Homem
	40
	60
	100
	Mulher
	70
	80
	150
	Total
	110
	140
	250
Um aluno é sorteado ao acaso. Qual a probabilidade de que esteja cursando química dado que é mulher?
Suponhamos que existam, num certo mercado, duas fábricas de lâmpadas. A fábrica A produz 500 lâmpadas, das quais 25% apresentam defeitos e a fábrica B produz 550 lâmpadas, das quais 26% são defeituosas; vamos supor também que as 1050 lâmpadas são vendidas por um único vendedor. Por fim suponhamos que um cliente vai comprar uma lâmpada sem especificar marca e que estas foram dispostas ao acaso nas prateleiras. 
Qual a probabilidade de receber uma lâmpada defeituosa?
Qual a probabilidade de, tendo recebido uma lâmpada perfeita, ela ser da marca B?
EM UM DETERMINADO BAIRRO RESIDENCIAL, 60% DAS RESIDÊNCIAS ASSINAM O JORNAL A, 80% ASSINAM O JORNAL B E 50% ASSINAM AMBOS OS JORNAIS. SE UM LAR É SELECIONADO ALEATORIAMENTE:
QUAL A PROBABILIDADE DE ASSINAR AO MENOS UM DOS JORNAIS?
QUAL A PROBABILIDADE DE ASSINAR EXATAMENTE UM DOS DOIS JORNAIS?
SUPONHA QUE TODOS OS INDIVÍDUOS QUE COMPRARAM UMA DETERMINADA CÂMERA DIGITAL, 60% INCLUEM UM CARTÃO DE MEMÓRIA OPCIONAL NA COMPRA, 40% INCLUEM UMA PILHA EXTRA E 30% INCLUEM AMBOS.
 DADO QUE O INDIVÍDUO SELECIONADO COMPROU UMA PILHA EXTRA, A PROBABILIDADE DE COMPRA DE UM CARTÃO OPCIONAL É:
APENAS 1 EM 1000 ADULTOS É ACOMETIDO POR UMA DOENÇA RARA PARA O QUAL FOI DESENVOLVIDO UM TESTE DE DIAGNÓSTICO. O TESTE FUNCIONA DE TAL FORMA QUE SE O INDIVIDUO TIVER A DOENÇA, O RESULTADO SERÁ POSITIVO EM 99% DAS VEZES E SE NÃO A TIVER, SERÁ POSITIVO EM APENAS 2% DAS VEZES. SE UM INDIVIDUO SELECIONADO ALEATORIAMENTE FOR TESTADO E O RESULTADO FOR POSITIVO, QUAL A PROBABILIDADE DELE TER A DOENÇA?
LISTA DE EXERCÍCIOS PROBABILIDADES
REGRAS DE PROBABILIDADE
Quais postulados de probabilidade são violados pelas afirmações abaixo?
como não há nuvens no céu, a probabilidade de chover hoje é –0.9
A probabilidade de um determinado mineral conter cobre é 0,28 e não conter é 0,55
A probabilidade de um advogado ganhar uma causa é 0,30 e de perde-la é 5 vezes maior
A probabilidade de uma pessoa passar uma tarde no cinema ou em casa vendo TV são 0,27 e 0,35 respectivamente e a probabilidade de fazer uma ou outra coisa é 0,52.
Explique suas respostas
Entre 842 casos de assalto à mão armada ocorridos em determinada cidade durante os últimos 5 anos, 143 nunca foram desvendados. Estime a probabilidade de um assalto à mão armada nessa cidade não ser desvendado, supondo que as condições não se modificaram
Quais dos pares de eventos são mutuamente exclusivos?
chover e fazer sol no dia 4 de julho de 1990
Um motorista ser multado por excesso de velocidade e ser multado por avançar o sinal vermelho
1200 produtos da produção total de um dia normal de trabalho não estavam conformes. As não conformidades são classificadas em tipo A e tipo B, e é possível que um produto tenha ambas. Se o produto tem não- conformidade tipo A ou tipo B, vai para o retrabalho. Se o produto tem ambas as não-conformidades , é destruído. Em um dia normal de trabalho, 600 produtos apresentaram a não-conformidade A, 800 a B e 200 apresentaram ambas. Qual a probabilidade de que um produto não conforme tomado ao acaso, seja destruído?
Comreferência à tabela abaixo, qual a probabilidade de que uma família aleatoriamente escolhida tenha uma renda familiar:
entre 8.000 e 12.999
menos do que 13.000
um dos dois extremos: menos de 8000 ou pelo menos 30.000
 Renda familiar anual de 500 famílias
	Categoria
	níveis de renda
	nro de famílias
	1
	menos de 8.000
	60
	2
	8.000-12.999
	100
	3
	13.000-19.999
	160
	4
	20.000-29.999
	140
	5
	30.000 e mais
	40
De 100 pessoas que solicitaram emprego de programador de computadores , durante o ano passado, em uma grande empresa, 40 possuem experiência anterior (W) e 30 possuem um certificado profissional (C). Vinte dos candidatos possuíam tanto experiência anterior como certificado profissional e foram incluídos nas contagens dos dois grupos.
Elaborar um diagrama de Venn para descrever estes eventos
Qual a probabilidade de que um candidato aleatoriamente escolhido tenha experiência ou certificado (ou ambos)?
Qual a probabilidade de que um candidato aleatoriamente escolhido tenha experiência ou certificado mas não ambos?
Qual a probabilidade de que um candidato aleatoriamente escolhido tenha certificado dado que ele tenha alguma experiência anterior
Aplicar um teste para determinar se a posse de certificado e experiência anterior são eventos independentes.
Suponhamos que um aluno bastante otimista estime que a probabilidade de receber um conceito final A em Estatística é de 0.60 e a probabilidade de um B é de 0.40. É claro que ele não pode receber os dois conceitos, uma vez que eles são mutuamente exclusivos.
Determinar a probabilidade condicional de que obtenha um B dado que de fato tenha recebido um A
Aplicar um teste para demonstrar que tais eventos são dependentes
Em geral, a probabilidade de que um possível cliente faça uma compra quando procurado por um vendedor é 0.40. Se um vendedor seleciona do arquivo, aleatoriamente, três clientes e faz contato com os mesmos, qual a probabilidade de que os 3 façam compras?
Os clientes da empresa A podem escolher pagar suas contas por ano ou por biênio. O pagamento pode ser feito por cartão de crédito, com cheque ou com dinheiro. A inadimplência dos pagamentos é dado na tabela a seguir:
	
	
	Pagamentos
	
	
	Nro de clientes
	cartão de crédito
	Cheque
	dinheiro
	total
	por ano
	15
	52
	10
	77
	por biênio
	18
	108
	20
	146
	total
	33
	160
	30
	223
Calcule a probabilidade de um cliente selecionado ao acaso:
pagar com cartão ou por biênio
pagar com cartão e por biênio
pagar anualmente com cheque, ou anualmente a dinheiro ou por biênio com cartão de crédito
O gerente do departamento de atendimento de uma revendedora de carros agrupou as reclamações dos clientes no último mês em : Cliente atendido e não-atendido, e cliente exigente e normal, conforme a tabela abaixo:
	Cliente
	exigente
	normal
	Atendido
	3
	56
	não-atendido
	17
	24
Escolhendo aleatoriamente um cliente, pede-se calcular a probabilidade de que:
o cliente tenha sido atendido sabendo que é um cliente exigente
o cliente não ter sido atendido sabendo que é um cliente normal
Um escritório tem 70 projetos, dos quais
35 utilizam o software A
31 utilizam o software B
25 utilizam o software C
14 utilizam o software A e B
10 utilizam o software A e C
9 utilizam o software B e C
4 utilizam os softwares A, B e C
Quantos projetos não utilizam nenhum dos softwares?
Depois de um longo período de testes, verificou-se que o procedimento A de recuperação de informação corre um risco de 2% de não oferecer resposta satisfatória. No procedimento B, o risco cai para 1%. O risco de ambos os procedimentos apresentarem resposta insatisfatória é de 0,5%. Qual é a probabilidade de pelo menos um dos procedimentos apresentar resposta insatisfatória?
Para testar se um sistema especialista responde satisfatoriamente a um usuário, foram feitas cinco perguntas, cada uma com quatro alternativas de resposta. Se o sistema escolhe as alternativas aleatoriamente, qual é a probabilidade de ele responder corretamente a todas as cinco perguntas?
Três urnas A, B, C tem respectivamente, a seguinte composição: 2 bolas brancas e 4 pretas; 3 brancas e 2 pretas; 5 brancas e 1 preta. Uma urna é escolhida de acordo com o seguinte processo: Joga-se um dado; se der 1, escolhe-se a urna A; se der 2, a urna B; e se der 3, a urna C. Se não der nem 1, nem 2 e nem 3, repete-se o lançamento. A seguir, retiram-se 2 bolas ao acaso da urna escolhida. Calcular a probabilidade de que essas duas bolas sejam uma branca e uma preta.
A qualidade de CDs foi avaliada em termos da resistência a arranhão e adequação das trilhas. Os resultados de 1000 CDs foram:
	Resistência a arranhão
	Adequação das trilhas
	
	Aprovado 
	Reprovado
	Alta
	700
	140
	Baixa
		100
	60
Se um CD for selecionado ao acaso desse lote de 1000 CDs, qual é a probabilidade de ele:
Ter resistência a arranhão alta e ser aprovado na avaliação das trilhas ?
Ser aprovado na avaliação das trilhas ou ter resistência a arranhão alta?
Ser aprovado na avaliação das trilhas dado que tem resistência a arranhão alta?
Ter resistência a arranhão alta dado que foi aprovado na avaliação das trilhas?
Sejam A e B dois eventos tais que P(A) = 0,4 e P(AUB) =0,7. Seja P(B) = p. Para que valor de p, A e B serão mutuamente excludentes? Para que valor de p , A e B serão independentes?
Uma rede local de computadores é composta por um servidor e cinco clientes (A,B,C,D e E). Registros anteriores indicam que dos pedidos de determinado tipo de processamento, realizados através de uma consulta, cerca de 10% vêm do cliente A, 15% do B, 15% do C, 40% do D e 20% do E. Se o pedido não for feito de forma adequada, o processamento apresentará erro. Usualmente, ocorrem os seguintes percentuais de pedidos inadequados: 1% do cliente A, 2% do cliente B, 0,5% do cliente C, 2% do cliente D e 8% do cliente E.
Qual a probabilidade do sistema apresentar erro?
Qual a probabilidade de que o processo tenha sido pedido pelo cliente E, sabendo-se que apresentou erro?
Um sistema automático de alarme contra incêndio utiliza três células sensíveis ao calor que agem independentemente uma das outras. Cada célula entra em funcionamento com probabilidade 0,8 quando a temperatura atinge 600C. Se pelo menos uma das células entrar em funcionamento, o alarme soa. Calcular a probabilidade do alarme soar quando a temperatura atingir 600C.
Em uma universidade, 40% dos estudantes praticam futebol e 30% praticam natação. Dentre os que praticam futebol, 20% praticam também natação. Que porcentagem de estudantes não praticam nenhum dos dois esportes?
Um professor de geologia tem dois assistentes formados que o auxiliam em sua pesquisa. A probabilidade de o mais velho dos dois estar ausente em um dia qualquer é 0,08, a probabilidade de o mais moço dos dois estar ausente é 0,06 e a probabilidade de ambos estarem ausentes em um dia qualquer é 0,02. Determine a probabilidade de ausência de um, ou de outro, ou de ambos, em um dia qualquer.
As probabilidades de 3 jogadores A, B e C marcarem um gol quando cobram um pênalti são 2/3, 4/5 e 7/10, respectivamente. Se for marcado apenas um pênalti no jogo e o técnico escolhe aleatoriamente o cobrador, qual a probabilidade de que esse pênalti resulte em gol? Sabendo agora que o pênalti foi convertido, qual a probabilidade de que o jogador C foi o cobrador?
UMA CADEIA DE LOJAS DE VÍDEO VENDE 3 MARCAS DIFERENTES DE VÍDEO CASSETE. DESSAS VENDAS,50% SÃO DA MARCA 1, 30% MARCA 2 E 20% MARCA 3. CADA FABRICANTE OFERECE UM ANO DE GARANTIA. É SABIDO QUE 25% DA MARCA 1, 20% DA MARCA 2 E 10% DA MARCA 3 EXIGEM REPARO NA GARANTIA.
QUAL A PROBABILIDADE DE QUE UM COMPRADOR SELECIONADO AO ACASO COMPRE UM VÍDEO DA MARCA 1 E PRECISE DE REPARO DURANTE A GARANTIA?
QUAL A PROBABILIDADE DE QUE UM COMPRADOR POSSUA UM APARELHO QUE NECESSITE DE REPARODURANTE A GARANTIA?
SE UM CLIENTE VOLTAR À LOJA COM UM VÍDEO QUE PRECISA DE REPARO EM GARANTIA, QUAL A PROBABILIDADE DE SER DA MARCA 1?
NA LINHA DE PRODUÇÃO DE UMA FÁBRICA, EM MÉDIA 4 PEÇAS SÃO DEFEITUOSAS A CADA CEM PRODUZIDAS.UM INSPETOR DE QUALIDADE SORTEIA ALEATORIAMENTE CINCO PEÇAS E VERIFICA A QUANTIDADE DE DEFEITUOSAS.
QUAL A PROBABILIDADE DE ENCONTRAR NO MÁXIMO 1 PEÇA DEFEITUOSA?
QUAL A PROBABILIDADE DO INSPETOR ENCONTRAR PELO MENOS UMA PEÇA DEFEITUOSA?
É IMPOSSÍVEL O INSPETOR ENCONTRAR 5 PEÇAS DEFEITUOSAS?
VARIÁVEL ALEATÓRIA, ESPERANÇA E VARIÂNCIA
As probabilidades de um investidor vender uma propriedade com um lucro de $2.500,00 , de $ 1.500,00 e de $ 500,00 ou com prejuízo de $ 500,00 são 0,22 ; 0,36 ; 0,28 e 0,14 respectivamente. Qual o lucro esperado do investidor?
A agência de uma companhia aérea em certo aeroporto tem as probabilidades de 0.06, 0.21, 0.24, 0.18, 0.14, 0.10, 0.04, 0.02 e 0.01 de receber 0,1,2,3,4,5,6,7 ou 8 reclamações sobre desvio de bagagem por dia. Quantas reclamações a agência espera por dia?
Considere uma urna contendo 3 bolas vermelhas e 5 pretas. Retire 3 bolas sem reposição e defina a variável aleatória X sendo o número de bolas pretas. Obtenha a distribuição de X, a média , variância e desvio-padrão.
O tempo T em minutos , necessários para um operário processar certa peça é uma v.a com a seguinte distribuição de probabilidade:
	t
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	P(t)
	0,1
	0,1
	0,3
	0,2
	0,2
	0,1
Calcule o tempo médio de processamento
Para cada peça processada , o operário ganha um fixo de 2,00 mas se ele processa a peça em menos de 6 minutos, ganha 0,50 em cada minuto poupado.. Por exemplo, se ele processa a peça em 4 minutos, recebe a quantia adicional de 1,00. Encontre a distribuição e a média do ganho do operário.
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
No lançamento de uma moeda 3 vezes seguida, estamos interessados em conhecer a probabilidade de obter:
3 caras
menos que 2 caras
A companhia de aviação VASPAM afirma que 95% dos seus vôos chegam no horário . Se dos registros de vôos dos últimos 3 meses for retirada uma amostra de 10 vôos, pede-se calcular a probabilidade de que:
pelo menos 8 vôos chegam no horário
entre 7 e 9 vôos chegam no horário
A montadora de carros sabe que no transporte de carros entre a fábrica e a concessionária, 3% dos carros transportados sofrem alguma varia na sua pintura. Se uma concessionária receber 50 carros pede-se calcular a probabilidade de que:
nenhum dos carros transportados sofra avaria na pintura
2 ou mais carros sofram avaria na pintura
Uma remessa de 800 estabilizadores de tensão é recebida pelo controle de qualidade de uma empresa. São inspecionados 20 aparelhos da remessa, que será aceita se ocorrer no máximo um defeituoso. Há 80 defeituosos no lote. Qual a probabilidade de o lote ser aceito?
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
Em sua empresa há um grande número de computadores; a maior parte é do mesmo tipo. Espera-se da experiência com computadores dessa mesma marca , modelo, idade e especificação , que o número médio anual de defeitos seja 0,08. Se um computador for escolhido ao acaso, qual a probabilidade de que ele não apresente defeito no próximo ano?
Em média 5 pessoas por hora realizam transações em um setor de serviços especiais de um banco comercial. Supondo que a chegada de tais pessoas está distribuída de maneira independente e de forma igual em todo período de interesse , qual a probabilidade de que mais de 10 pessoas queiram fazer transações no setor de serviços especiais durante uma hora específica?
Uma companhia de seguros está considerando a inclusão da cobertura de uma doença relativamente rara na área geral de seguros médicos. A probabilidade de que um indivíduo selecionado aleatoriamente venha contrair a doença é 0.001, sendo que 3000 pessoas são incluídas no grupo segurado. Qual a probabilidade de que nenhuma das 3000 pessoas do grupo contraia a doença?