equac difer 2ª unidade itens 2.5 e 2.6

Prévia do material em texto

2.5 - Equações diferenciais exatas
Uma equação diferencial do tipo M dx + N dy = 0 é denominada equação diferencial exata quando existe uma função U (x, y) tal que dU = M dx + N dy. Neste caso, a solução da equação M dx + N dy = 0 será U(x, y) = C, onde C é uma constante real.
Exemplo
Seja a equação y dx + x dy = 0 . Observe que U(x, y) = x y satisfaz dU = y dx + x dy e, assim, x y = C é solução da equação dada.
Resultado
A equação M dx + N dy = 0, onde M e N são contínuas e possuem derivadas parciais contínuas é uma equação diferencial exata, se e somente se, ocorrer a relação = 
Exercícios resolvidos
a) Resolver a equação diferencial (3x2 + 6 x y2) d x + ( 6 x2y + 4 y3) d y = 0 , provando inicialmente, que ela é exata.
Solução:
Sendo M = 3x2 + 6 x y2 = 12xy e N = 6 x2y + 4 y3 = 12xy
Daí, segue que esta equação é exata e, assim, existe uma função U(x, y), tal que 
	d U(x, y) = ( 3x2 + 6 x y2 ) d x + ( 6 x2y + 4 y3 ) d y ( * )
Agora, usando esse fato e a definição de diferencial de U, tem-se que
 = 3x2 + 6 x y2 e, integrando em relação a x, tem-se = , que 
 resulta U( x, y ) = 3 + 6 + C ( y ) U( x, y ) = x3+ 3 y2 x2 + C(y) .
Observando, ainda, a validade de ( * ), segue que = 6 x2y + 4 y3 e, portanto, 
 = 6 x2y + 4 y3 6 x2y + C’ (y) = 6 x2y + 4 y3 C’ (y) = 4 y3 .
Integrando em relação a y, obtém-se:
d y = C( y ) = + C1 .
Conclusão: 
A função U( x, y ) será U( x, y ) = x3+ 3 y2 x2 + + C1 e dessa forma, a solução da equação dada será U( x, y ) = C2 , ou seja, x3+ 3 y2 x2 + + C1 = C2 e, assim, a solução ficara sendo x3 + 3 y2 x2 + = C , onde C = C2 - C1 .
b) Resolver a equação diferencial () d x + ( ) d y = 0 , provando inicialmente, que ela é exata.
Solução:
Sendo M = = e N = = 
Daí, segue que esta equação é exata e, assim, existe uma função U(x, y), tal que 
	d U(x, y) = () d x + ( ) d y ( ** )
Agora, usando esse fato e a definição de diferencial de U, tem-se que
 = e, integrando em relação a x, tem-se = , que resulta
 U( x, y) = + C(y) U( x, y) = + C(y) .
Observando, ainda, a validade de ( * * ), segue que = e, portanto, 
 = + C’ (y) = C’ (y) = .
Integrando em relação a y, obtém-se:
d y = C( y ) = - + C1 .
Conclusão: 
A função U( x, y ) será U( x, y ) = - + C1 e dessa forma, a solução da equação dada será U( x, y ) = C2 , ou seja, - + C1 = C2 e, assim, a solução ficará sendo - = C , onde C = C2 - C1 .
Exercícios propostos
Resolver as equações diferenciais, mostrando antes que são exatas:
1) (2x – y + 1) dx – ( x + 3 y – 2) d y = 0
2) dx + ( – 2 y ) d y = 0
3) ( x3 + y2 ) dx + ( 2xy + cos y) dy = 0
4) = - 
5) ( 1 + y senx ) dx + ( 1 – cosx ) dy = 0
6) ( secx tgx – y ) dx + ( secy tgy – x + 2 )dy = 0
7) 2xy dx + ( 1 + ) dy = 0
8) ( x + seny ) dx + ( x cosy – 2y) dy = 0
9) ( y + 2 )dx + ( 1 + 3 x2 y2 + x ) dy = 0
10) Calcular a solução da equação = tal que y( 2 ) = - 5
2.6 – Equações diferenciais lineares de 1ª ordem
Denomina-se equação diferencial linear de 1ª ordem a toda equação diferencial da forma 
( x ) + ( x ) y = h( x ) , onde , ( x ) e h( x ) são contínuas em um intervalo J e, além disso, ( x ) 0 em J.
Exemplos:
1) x2 y’ + x y = 2 + x2 , com x > 0.
2) y’ – 2 y = x
3) y’ + y = , com x > 0.
Forma normal da equação linear de 1ª ordem
Considere a equação ( x ) + ( x ) y = h( x ) , onde , ( x ) e h( x ) são contínuas em um intervalo J e ( x ) 0 em J. Sendo ( x ) 0 em J e dividindo-se a equação linear por ( x ) , obtém-se:
 + p(x) y = q(x) , onde p(x) = e q(x) = .
 Dessa forma, a equação + p(x) y = q(x) é chamada forma normal da equação linear
Equação homogênea associada a equação linear de 1ª ordem na forma normal
Dada a equação linear de 1ª ordem, na forma normal, + p(x) y = q(x), denomina-se equação homogênea associada a esta equação , a expressão + p(x) y = 0.
Solução geral da equação homogênea associada
Considere a equação a equação homogênea associada + p(x) y = 0. Para y 0, tem –se uma equação de variável separável. Dessa maneira, 
 = - p(x) y = - p(x) dx = portanto,
	Ln (y) = - + C1 y = C , onde C = .
Assim, a solução geral da equação homogênea associada é y(x) = C , onde C é real.
Solução geral da equação linear não homogênea de 1ª ordem e do 1º grau
Resultado 1
A equação não homogênea + p(x) y = q(x) satisfaz a seguinte propriedade:
“ se y(x) é uma solução desta equação, então y(x) = y h (x) + y p (x) , onde y h (x) é a solução geral da homogênea associada e y p (x) é uma solução particular da equação não homogênea ” 
Prova:
Usar os fatos seguintes:
a) yh (x) é a solução geral da homogênea associada + p(x) yh (x) = 0
b) yp (x) é uma solução particular da equação não homogênea + p(x) yp (x) = q(x)
Agora, veja que 
 + p(x) [ ] = { + p(x) yh (x) } + { + p(x) yp (x) } = q(x) 
e dos itens a) e b) , conclui- se que y(x) = y h (x) + y p (x) é solução da equação não homogênea.
Resultado 2
Uma solução particular da equação não homogênea + p(x) y = q(x) , no intervalo J, é dada por 
 yp (x) = { }
Prova: 
Sabe-se que a equação geral da homogênea associada é y(x) = C .
A ideia é determinar uma função u(x), contínua, de modo que yp (x) = seja solução da equação não homogênea. 
Dessa forma, 
 + p(x) = q(x) e, efetuando as derivações, segue que
 . + u(x) . + p(x) = q(x) .
Dai, tem-se:
 u(x) + p(x) + . = q(x). 
Sendo solução da homogênea, tem-se que + p(x) = 0 e, assim, resulta 
 . = q(x) = q(x) u(x) = 
 Conclusão: yp (x) = u(x) = { }.
Resultado 3 
A solução geral da equação linear de 1ª ordem, não homogênea, + p(x) y = q(x) , no intervalo J, é dada por
			y(x) = + { } ou seja,
			y(x) = { C + } , onde C é constante real.
Prova: usar resultados 1 e 2.
Procedimentos para resolução de uma equação linear de 1ª ordem
Escrever a equação na forma normal
Calcular I(x) = 
Multiplicar a equação na forma normal pelo fator I(x) e integrá-la membro a membro
Exercícios resolvidos: 
a) Resolver a equação linear + 2 x y = x 
Solução: 
Observar que a equação está na forma normal e, assim, p(x) = 2 x e q(x = x .
Dessa forma, I(x) = = = 
Multiplicando ambos os membros por I(x), tem –se
 + 2 x y = x = x e, integrando, obtém-se
 = dx + C = + C y = + C 
 Conclusão: 
 a solução desta equação é y(x) = + C , C é real. 
b) Resolver a equação linear + 2xy = x , aplicando diretamente o resultado 3.Solução:
A equação encontra-se na forma normal e, assim, = 
Aplicando a fórmula do resultado 3, obtém-se:
 y(x) = { C + dx } = { C + } = + C , onde C é real. 
c) Usar o resultado 3, para mostrar que a solução geral da equação x + y + x é 
 y(x) = + , onde C é real. 
Exercícios propostos: 
Resolver as equações diferenciais lineares: 
1) x2 y’ + x y = 2 + x2 , com x > 0.
2) x y’ + y = 2 x, com y(1) = 1.
3) ( senx ) y’ + ( cosx ) y = cos 2x , com y( .
4) + y = .
5) x - 3 y = x2 .
6) - = x – 2 .
7) - y tgx = senx .
8) ( 1 + x2 ) + y = arctgx .
9) y2 dx – ( 2xy + 3 ) dy = 0
10) + 2 = x3 .