Resistência dos Materiais - Momento de Inércia

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1 1 
PROF.: HUMBERTO RITT 
MECÂNICA GERAL 
MOMENTO DE INÉRCIA 
 
2 
Momentos de Inércia 
3 
Objetivos 
Desenvolver um procedimento para a 
determinação dos momentos de inércia 
de uma área. 
Desenvolver o procedimento de 
aplicação do Teorema dos Eixos 
Paralelos (ou de Steiner). 
Utilização de fórmulas aplicadas na 
mecânica dos fluidos, mecânica dos 
materiais, mecânica estrutural e 
projetos . 
4 
Conceito 
Momento de inércia é uma propriedade 
geométrica da seção transversal de um 
elemento. 
Está associada à resistência e rigidez da 
peça, ou seja, quanto maior o momento 
de inércia, menor a tensão e 
deformação atuante. 
 
5 
6 
7 
inércia depolar momento
2
2
2
yxo
y
x
IIdArJ
e
dAxI
dAyI






0I,I,J yxo 
Unidades: 
(comprimento)4 
m 4 
cm4 
mm 4 
in 4 
8 
Teorema dos Eixos Paralelos 
 
 
 







dAddAyd2dAyI
dAdyd2yI
dAdyI
dAyI
2
yy
2
x
2
yy
2
x
2
yx
2
x
9 
Teorema dos Eixos Paralelos 
2
0 0
222
ydAxIxI
ypoisdAydAy
dAyddAyyddAyxI




 
10 
2
CO
2
xyy
2
yxx
dAJJ
dAII
dAII





Teorema dos Eixos Paralelos 
11 
Teorema dos Eixos Paralelos 
(ou de Steiner) 
O momento de inércia de uma área em 
relação a um eixo é igual ao momento 
de inércia da área em relação a um 
eixo paralelo que passa pelo centróide 
da área, mais o produto da área pelo 
quadrado da distância perpendicular 
entre os eixos. 
12 
Raio de Giração de uma área 
(é utilizado no projeto estrutural) 
A
J
r
A
I
ri
A
I
ri
O
O
y
yy
x
xx



13 
Procedimento de Análise 
 Caso I 
Especificar o elemento 
infinitesimal dA com o 
comprimento paralelo ao 
eixo. 
Aplicar a fórmula 
apropriada de integração. 
Desta maneira, todas as 
partes do elemento têm a 
mesma distância x como 
braço de momento. 
 dAxI 2y
14 
Procedimento de Análise 
 Caso II 
Especificar o elemento 
infinitesimal dA com o 
comprimento perpendicular 
ao eixo. 
Desta maneira, as partes do 
elemento não têm a mesma 
distância como braço de 
momento. 
Deve-se, então, calcular I 
em relação ao eixo que 
passa pelo centróide e 
aplicar o Teorema dos Eixos 
Paralelos. 


dIxIx
ydAxIddIx 2~´
15 
3
2/h
2/h
2
x
2/h
2/h
2
A
2
x
hb
12
1
ydybI
ydbydAyI










Em relação ao eixo x´ que passa pelo centróide: 
Em relação ao eixo que passa pela base: 
3
2
3
x
2
yxx
hb
3
1
2
h
hbhb
12
1
I
dAII
b
b







 
16 
Exemplo 10-1: 
h/2 
h/2 
C 
y 
x 
x 
dx 
b/2 b/2 
xb 
17 
3
12
1
2/
2/
2
2/
2/
22
bh
b
b
xdxhyI
b
b
xdhxdA
A
xyI









18 
 
46
x
200
0
4
200
0
2
x
200
0
2
2
x
A
2
A
2
x
mm10107I
dxy
400
1
dyy100I
dy
400
y
100yI
dyx100ydAyI













19 
dxy
3
1
dI
2
y
dxyydx
12
1
dI
y~dxyydx
12
1
dI
y~dAIddI
ydx
12
1
Id
hb
12
1
I
3
x
2
3
x
23
x
2
xx
3
x
3
x















 
46
x
2
3
100
0
x
A
3
A
xx
3
x
mm10107I
dxx400
3
1
I
dxy
3
1
dII
dxy
3
1
dI






20 
 
  
2 2
x
A A
a 4
2 2 2
a
I y dA y 2x dy
a
y 2 a x dy
4

 

  
 

21 
 
 
2
3
3 3
x
a 4
2 2
x
a
1
dI dx 2y y dx
12
2 a
I a x dx
3 4

 

  
22 
Momentos de 
Inércia de Áreas 
Compostas 
Uma área composta consiste 
em uma série de áreas com 
formas mais simples, como 
retângulos, triângulos 
semicírculos, etc. 
O momento de inércia da 
área composta será igual à 
soma algébrica dos 
momentos de inércia de 
todas as suas partes. 
23 
24 
25 
- 
6 4 6 4 
x 
6 4 
x 
I 112.5 10 mm 11.4 10mm 
I 101 10 mm 
    
  
26 
2 in 
4 in 
6 in 
10 in 
2 in 
Localize o 
centróide e 
calcule o 
momento de 
inércia em 
relação ao eixo 
x que passa pelo 
centróide 
27 
1 
2 
3 
2 in 
4 in 
6 in 
10 in 
2 in 
1 20 5 11 100 220 
2 40 5 8 200 320 
3 12 5 3 60 36 
 72 360 576 
8
72
576
y
5
72
360
x


28 
    
    
    
576336
3
1
53
3
2
186I
336382662
12
1
I
3
1
5388410410
12
1
I
3
2
186811210210
12
1
I
IIII
x
23
3x
23
2x
23
1x
3x2x1xx





29 
x 
y 
Determine Ix e Iy 
6 in 
6 in 
6 in 
3 in 
30 
Fig Área Ix Iy dx dy 
1 36 108 108 3 3 
2 9 18 45 7 2 
3 27 54 121.5 6 2 
31 
4
2323
23
y
in1971
)9)(9)(6(
2
1
)9)(6(
36
1
)7)(3)(6(
2
1
)3)(6(
36
1
)3)(6)(6()6)(6(
12
1
I















































 2323
2
3
y )d)(h)(b(
2
1
)h)(b(
36
1
)d)(h)(b(
2
1
)h)(b(
36
1
2
b
)h)(b()h)(b(
12
1
I
b 
h h 
A = 1/2 bh 
h/3 
b 
32 
4
2323
23
y
in1971
)9)(9)(6(
2
1
)9)(6(
36
1
)7)(3)(6(
2
1
)3)(6(
36
1
)3)(6)(6()6)(6(
12
1
I




















3 2
x
3 2 3 2
4
1
I (6)(6) (6)(6)(3)
12
1 1 1 1
(3)(6) (6)(3)(2) (9)(6) (6)(9)(2)
36 2 36 2
630 in
 
  
 
   
       
   
33 
C 
25 mm 
yc 
25 mm 25 mm 
50 mm 
75 mm 50 mm 75 mm 
Determine Ix e Iy . 
100 mm 
34 
Region Area x y xA yA
1 7500 0 12.5 0 93750
2 2500 -87.5 75 -218750 187500
3 2500 87.5 75 218750 187500
12500 0 468750
5.37
12500
468750
yc 
35 
      
      
      
46
23
23
23
103.16
755.372510010025
12
1
755.372510010025
12
1
5.125.372530025300
12
1
mmI
I
x
x






















36 
      
      
      
46
23
23
23
108.94
05.872510025100
12
1
5.8702510025100
12
1
02530030025
12
1
mmI
I
y
y






















37 
X´ 
Y´ 3 in 
3 in 
3 in 
3 in 
4 in 
2 in 
Determine 
 Ix e Iy 
 (eixos que passam 
pelo centróide) 
38 
1 
3 in 
3 in 
3 in 
3 in 
4 in 
2 in 
2 
3 
39 
Centróide 
Area # Area x y xA yA
1 9 1.5 8.5 13.5 76.5
2 42 3 3.5 126 147
3 -12.566 3 4 -37.699 -50.265
38.434 101.8 173.23
x= 2.649
y= 4.507
40 
Momentos de Inércia 
          
       54.348507.4422
4
1
507.45.37676
12
1
507.45.83333
12
1
I
224
2323
x




















           
       6917.135649.2322
4
1
649.237667
12
1
649.25.13333
12
1
I
224
2323
y




















41 
Exemplos: determine os momentos de inércia em relação 
aos eixos x e y indicados. 
42 
Exemplos: determine as coordenadas do centróide e os 
momentos de inércia em relação aos eixos x’ e y’ (passam 
pelo centróide). 
43 
Exemplos: determine as coordenadas do centróide e os 
momentos de inércia em relação aos eixos x’ e y’ (passam 
pelo centróide). 
44 
45