Lista 02

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Universidade Federal de Itajubá
Instituto de Matemática e Computação
Lista 02 � Equações Diferenciais I � 2017-II
Exercícios do livro [1]
1. Seção 2.3 (pág. 46�52): 1�10, 13�14, 16�18, 24, 26, 28�29.
Exercícios adicionais
1. Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada.
(a) y =
1+cx
1�cx
(b) sinh y = cx
(c) x
1=3
+ y
1=3
= c
2. Numa certa cultura de bactérias a taxa de aumento da população é proporcional ao número presente.
a) Verificando-se que o número dobra em 4 horas, quantas se pode esperar no fim de 12 horas? b)
Sabendo que no fim de 3 horas existiam 10
4
e no fim de 5 horas 4�10
4
, quantas existiam no começo?
3. A população de uma grande cidade é descrita pelo problema de valor inicial
(
dP
dt
= P (10
�1
� 10
�7
P )
P (0) = 5000;
em que t é medido em meses. Qual é o valor limite da população? Quando a população será igual
à metade desse valor limite?
4. Um termômetro é levado de uma sala onde a temperatura é de 20
o
C para fora onde a temperatura
é de 5
o
C. Após 1=2 minuto o termômetro marca 15
o
C.
(a) Determine a temperatura marcada no termômetro como função do tempo.
(b) Qual será a leitura do termômetro após um minuto?
(c) Em quanto tempo o termômetro irá marcar 10
o
C?
5. Suponha que em uma comunidade de 100 pessoas, inicialmente, apenas uma pessoa seja portador
de um vírus e que a taxa com que o vírus se espalha na comunidade seja proporcional tanto ao
número de pessoas infectadas como também ao número de pessoas não infectadas. Se for observado
que após 4 semanas 5 pessoas estão infectadas, determine o número de pessoas infectadas em função
do tempo. Faça um esboço do gráfico da solução.
6. Suponha que um tanque contenha uma mistura de água e sal com um volume inicial 100 litros e
10 gramas de sal e que uma solução salina seja bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 3
litros por minuto possuindo uma concentração de 1 grama de sal por litro. Suponha que a solução
bem misturada sai a uma taxa de 2 litros por minuto.
(a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante t, onde t é contado a partir do
início do processo.
(b) De qual valor se aproxima a concentração quando o tanque está enchendo, se a sua capacidade
é de 200 litros?
1
7. A taxa com que uma gota esférica se evapora
dV
dt
é proporcional a sua área. Determine o raio da
gota em função do tempo, supondo que no instante t = 0 o seu raio é r
0
e que em uma hora o seu
raio seja a metade.
8. Encontre as curvas das trajetórias ortogonais de 3xy
2
= 2 + 3cx que passam por (0; 10).
9. Encontre as curvas das trajetórias ortogonais de x+ y = ce
y
que passam por (0; 5).
10. Um tanque contém inicialmente 60 litros de água pura. Uma solução de água com sal contendo 0:5
kl de sal por litro entra no tanque a uma taxa de 2 litros por minuto, e a solução perfeitamente
misturada sai do tanque a uma taxa de 3 litros por minuto; assim o tanque estará vazio exatamente
em 1 hora.
(a) Encontre a quantidade de sal no tanque em cada tempo t (< 60 minutos).
(b) Qual é a máxima quantidade de sal que o tanque pode ter?
11. Suponha que o lago Erie tem um volume de 480 km
3
e que a taxa de entrada de água (do lago Huron)
e a taxa de saída de água (ao lago Ontario) são 350 km
3
por ano ambas as duas. Suponha que no
tempo t = 0 (anos), a concentração de poluentes do lago Erie - causada pela poluição industrial
passada e que agora não existe mais - é 5 vezes a do lago Huron. Se o fluxo de saída é uma solução
perfeitamente misturada, quanto tempo levará para reduzir a concentração de poluentes no lago
Erie a 2 vezes a do lago Huron?
12. Um tambor cônico com vértice para baixo, de 2 metros de altura e base circular de raio 1 metro,
está cheio de água. Se fizermos um furo no fundo e em 30 minutos a altura da coluna de água cair
pela metade, determinar a altura h em função do tempo e em quanto tempo o tanque esvazia. A lei
de Torricelli diz que a taxa com que um líquido escoa por um orifício situado a uma profundidade
h é proporcional a
p
h.
13. Um tanque com uma capacidade de 120 litros originalmente contém 70 litros de água com 3 kg de
alumínio dissolvidos. Água contendo 0:2 kg de alumínio por litro entra no tanque a uma taxa de 5
litros por minutos. A solução bem misturada sai do tanque à mesma taxa. Seja Q(t) a quantidade
de alumínio no tanque (em kg) no tempo t.
(a) Encontre um problema de valor inicial para Q(t).
(b) Determine a expressão de Q(t) resolvendo o problema de valor inicial anterior.
(c) Encontre uma expressão para a concentração C(t) no tanque no tempo t.
(d) Encontre aonde tende C(t) quando t!1.
Referências
[1] W. E. Boyce e R. C. Diprima. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de
contorno. Rio de Janeiro: Guanabara koogan, LTC Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda, 9
a
Edição, 2010.
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