Simulado de Fund. de Eq Diferenciais 2º sem 2017

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2o Simulado de Fundamentos de Equac¸o˜es Diferenciais - 2oSem/2017
Engenharia Civil e de Produc¸a˜o
Questa˜o 1.
a) Mostre que y1(x) = x
2 e´ uma soluc¸a˜o particular da equac¸a˜o:
x2y′′ − 6xy′ + 10y = 0.
b) Obtenha uma segunda soluc¸a˜o y2 de modo que esta seja linearmente independente com a
primeira. Mostre que elas sa˜o soluc¸o˜es fundamentais.
c) Obtenha a soluc¸a˜o do PVI 
x2y′′ − 6xy′ + 10y = 0,
y(1) = 3,
y′(1) = 3.
Questa˜o 2. Obtenha uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o
d2y
dx2
− dy
dx
+ y = 2sen 3x,
utilizando o me´todo dos coeficientes a determinar.
Questa˜o 3.
a) Prove que a func¸a˜o y1(x) = x
2 e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o x2y′′ − 2y = 0.
b) Determine uma segunda soluc¸a˜o y2(x) que seja linearmente independente com a primeira
c) Utilize o me´todo de variac¸a˜o dos paraˆmetros para determinar a soluc¸a˜o complementar de
x2y′′ − 2y = 3x2 − 1, x > 0.
d) Determine a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o do ı´tem c.
Questa˜o 4. Uma mola, de um sistema massa-mola sem amortecimento, tem constante de elas-
ticidade igual a 3N/m. Pendura-se na mola uma massa de 2 kg e o sistema sofre a ac¸a˜o de uma
forc¸a externa de 3 cos(3t). Determine a func¸a˜o que descreve o movimento da massa em qualquer
instante t, considerando a posic¸a˜o inicial igual a u0 e a velocidade inicial u
′
0.