Exercicios de series- UTFPR

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MA73A - Ca´lculo 3 OFICINA DE SE´RIES
1. Classifique em V (VERDADEIRO) ou F (FALSO) as afirmativas abaixo, justificando
cada uma delas.
(a) A se´rie
∞∑
n=1
1
n+ 3n
converge.
(b) A se´rie
∞∑
n=1
1
n
√
lnn
converge.
(c) A se´rie
∞∑
k=1
k2e−k diverge.
(d) A se´rie
∞∑
n=1
nn
(2n)!
e´ divergente.
(e) A se´rie
∞∑
n=1
(−1)n n sen (1/n) e´ convergente.
(f) A se´rie
∞∑
k=1
(−1)kk 2
k
3k+1
e´ absolutamente convergente.
(g) A se´rie
∞∑
n=2
(−1)n
lnn
e´ condicionalmente convergente.
(h) A se´rie − 1
15
+ 3
16
− 5
17
+ 7
18
− 7
19
+ · · · e´ absolutamente convergente.
2. Encontre as se´ries de MacLaurin das se´ries abaixo, e determine seu raio de convergeˆncia:
(a) f(x) = x2e−x (b) h(x) = ln(1 + x2)
SUGESTA˜O: Na˜o use a definic¸a˜o de Se´rie de Taylor.
3. Use se´ries para expressar o nu´mero 2,6371 = 2,6371371371 . . . como uma raza˜o entre
nu´meros inteiros.
4. Encontre a se´rie de MacLaurin de f(x) = xex e determine o seu raio de convergeˆncia.
5. Aproxime f(x) =
√
x por um polinoˆmio de Taylor de grau n = 2 em torno de x0 = 4. Use
a desigualdade de Taylor para estimar o erro na aproximac¸a˜o de f por este polinoˆmio se
4 ≤ x ≤ 4,2.
6. Encontre a soma da se´rie:
∞∑
n=0
(−1)n pi
2n
62n(2n)!
7. Encontre a se´rie de Maclaurin de f(x) = (1−x)−2. Explicite os valores de x para os quais
a se´rie e a func¸a˜o sa˜o iguais.
8. Use a se´rie de Maclaurin de cosx para estimar cos 0,1 (aˆngulo medido em radianos) com
precisa˜o de pelo menos 4 casas decimais.
9. Se f(x) = senx3, calcule f (15)(0).
10. Mostre que:
ln 2 =
∞∑
n=1
(−1)n+1
n
MATERIAL DE CONSULTA
∞∑
n=1
an (x− x0)n; ρ = 1
lim
n→∞
|an+1
an
|
1
1− x =
∞∑
n=1
xn , |x| < 1; ex =
∞∑
n=0
xn
n!
senx =
∞∑
n=0
(−1)n
(2n+ 1)!
x2n+1; cosx =
∞∑
n=0
(−1)n
(2n)!
x2n
f(x) =
∞∑
n=0
f (n)(x0)
n!
(x− x0)n
|Rn(x)| ≤ M
(n+ 1)!
|x− x0|n+1; |x− x0| ≤ d