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Curso: Engenharia Civil Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 01 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Elemento de viga no plano Elemento de Viga com rigidez à flexão e rigidez axial - Vigas e Pórticos Planos - Formulação AULA_09 Elemento de viga no plano: Formulação com rigidez à flexão e axial - Um elemento de viga na sua forma completa, ou seja, no espaço é capaz de transmitir Forças Axiais, Forças Cortantes, Momentos Fletores e Momentos Torçores, conforme ilustra a figura a seguir. Porém, o estudo deste elemento será realizado com a seguinte simplificação: Considerar o elemento viga no plano apenas com rigidez à flexão e axial; Elemento de viga espacial: Forças Axiais: f1, f7 Forças Cortantes: plano xy: f2, f8 plano xz: f3, f9 Momentos Fletores: plano xy: f6, f12 plano xz: f5, f11 Momentos Torçores: f4, f10 Elemento de viga plano: apenas com rigidez à flexão e axial Forças Axiais: f1, f7 Forças Cortantes: plano xy: f2, f8 Momentos Fletores: plano xy: f6, f12 Curso: Engenharia Civil Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 02 Nó 2 Nó 1 Nó 2 Nó 1 Elemento de viga no plano: Formulação com rigidez à flexão e axial - O elemento de viga neste caso possui três graus de liberdade por nó. - Cada nó possui três componentes de força e três componentes de deslocamento, conforme ilustra a figura a seguir. O elemento de viga neste caso transmite Forças Axiais, Forças Cortantes e Momentos Fletores no plano XY. Curso: Engenharia Civil Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 03 X Y Sistema Global F1y; V1 M1; q1 F2y ; V2 M2; q2 X X Y Y y x Sistema Local Sistema Global M1; q1 2 3 5 6 Graus de Liberdade do elemento no Sistema local Em cada nó: 1 força axial (1) 1 força cortante (2) 1 momento fletor (3) Em cada nó: 2 deslocamentos lineares (U,V) 1 deslocamento angular (rotação) (q) 1 4 F1x; U1 F2x;U2 fx1; u1 fy1; v1 M2; q2 fx2; u2 fy2; v2 F1x U1 F1y V1 M1 q1 F(6X1) = ; D(6X1) = F2x U2 F2y V2 M2 q2 f1x u1 f1y v1 M1 q1 f(6X1) = ; d(6X1) = f2x u2 f2y v2 M2 q2 Elemento de viga no plano: Formulação com rigidez à flexão e axial - No sistema local as equações de equilíbrio para elemento de viga são dadas pela: Relação força x deslocamento F = K . D Para o elemento de viga plano com rigidez à flexão e radial: F = vetor coluna com 6 linhas; D = vetor coluna com 6 linhas; K = matriz de rigidez do elemento de 6 x6; - As forças são relacionadas aos deslocamento pela matriz de rigidez do elemento - A seguir é apresentada de forma direta a matriz de rigidez do elemento (K); - A dedução desta matriz é extensa e por esta razão não será demonstrada nesta aula. Entretanto, pode ser verificada no livro texto da disciplina, referenciado no final da aula; Curso: Engenharia Civil Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 04 2 3 5 6 Graus de Liberdade do elemento no Sistema local 1 4 f1x a 0 0 -a 0 0 u1 f1y 0 12b 6bL 0 -12b 6bL v1 M1 0 6bL 4bL 2 0 -6bL -2bL2 q1 = . f2x -a 0 0 a 0 0 u2 f2y 0 -12b -6bL 0 12b -6bL v2 M2 0 6bL -2bL 2 0 -6bL 4bL2 q2 K Elemento de viga no plano: Formulação com rigidez à flexão e axial - No sistema local as equações de equilíbrio para elemento de viga são dadas por: Onde: a = (E . A) / L ; b = (E. I) / L3 { f } = [ k ] . { d } f - Forças nodais no Sistema Local; k - Matriz de Rigidez no Sistema Local; d - Deslocamento nodais no Sistema Local Matriz de rigidez do elemento de viga no plano no Sistema Local Curso: Engenharia Civil Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 05 2 3 5 6 Graus de Liberdade do elemento no Sistema local 1 4 f1x a 0 0 -a 0 0 u1 f1y 0 12b 6bL 0 -12b 6bL v1 M1 0 6bL 4bL 2 0 -6bL -2bL2 q1 = . f2x -a 0 0 a 0 0 u2 f2y 0 -12b -6bL 0 12b -6bL v2 M2 0 6bL -2bL 2 0 -6bL 4bL2 q2 1 2 3 4 5 6 a 0 0 -a 0 0 1 0 12b 6bL 0 -12b 6bL 2 0 6bL 4bL2 0 -6bL -2bL2 3 k = -a 0 0 a 0 0 4 0 -12b -6bL 0 12b -6bL 5 0 6bL -2bL2 0 -6bL 4bL2 6 L comprimento do elemento; E Módulo de elasticidade; I Momento de inércia da seção; A área da seção transversal; Curso: Engenharia Civil Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 06 Elemento de viga plano: Formulação com rigidez à flexão e axial - De forma semelhante ao proposto para o elemento de treliça plano, as forças nodais no sistema local (f) podem ser relacionadas às forças nodais no sistema global (F) por meio da matriz de transformação, sendo esta relação dada por: f1x l m 0 0 0 0 F1X f1y -m l 0 0 0 0 F1Y M1 0 0 1 0 0 0 M1 = . { f } = [ T ] . { F } f2x 0 0 0 l m 0 F2X f2y 0 0 0 -m l 0 F2Y M2 0 0 0 0 0 1 M2 f - Forças nodais no Sistema Local; T - Matriz de transformação; F - Forçasnodais no Sistema Gobal; l = cos a Onde l, m, são os cossenos diretores: m = sen a Nó 2 Nó 1 F1y M1 F2y M2; q2 X Y Sistema Global F1x F2x Nó 2 Nó 1 X Y y x Sistema Local M1 fx1 fy1 M2 fx2 fy2 a a Curso: Engenharia Civil Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 07 Elemento de viga plano: Formulação com rigidez à flexão e axial - De forma semelhante os deslocamentos nodais no sistema local (d) podem ser relacionadas aos deslocamentos nodais no sistema global (D) por meio da matriz de transformação, sendo esta relação dada por: u1 l m 0 0 0 0 U1 v1 -m l 0 0 0 0 V1 q1 0 0 1 0 0 0 q1 = . { d } = [ T ] . { D } u2 0 0 0 l m 0 U2 v2 0 0 0 -m l 0 V2 q2 0 0 0 0 0 1 q2 d - deslocamentos nodais no Sistema Local; T - Matriz de transformação; D - deslocamentos nodais no Sistema Gobal; l = cos a Onde l, m, são os cossenos diretores: m = sen a Nó 2 Nó 1 V1 q1 V2 q2 X Y Sistema Global U1 U2 Nó 2 Nó 1 X Y y x Sistema Local q1 u1 v1 q2 u2 v2 a a Curso: Engenharia Civil Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 08 Nó1 Nó2 Nó1 Nó2 Elemento de viga plano: Formulação com rigidez à flexão e axial - A partir das relações já apresentadas é possivel relacionar as Forças nodais no sistema global (D) com os deslocamentos nodais no sistema global (D), o que permite obter para o elemento de viga plano a sua Matriz de Rigidez no Sistema no Global (K), sendo esta dada por: U1 V1 q1 U2 V2 q2 a.l2 +12bm2 (a-12b)lm-6bLm -al2 -12bm2 -(a-12b)lm -6bLm U1 (a-12b)lm am2 +12bl2 6bLl -(a-12b)lm -am2 -12bl2 6bLl V1 -6bLm 6bLl 4bL2 6bLm -6bLl 2bL2 q1 -al2 -12bm2 -(a-12b)lm 6bLm al2+12bm2 (a-12b)lm 6bLm U2 -(a-12b)lm -am2 -12bl2 -6bLl (a-12b)lm am2+12bl2 -6bLl V 2 -6bLm 6bLl 2bL2 6bLm -6bLl 4bL2 q2 a = (E . A)/ L ; b = (E. I)/ L3 ; l = cos a; m = sen a MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO DE VIGA PLANO NO SISTEMA GLOBAL - A dedução desta matriz é extensa e por esta razão não será demonstrada nesta aula. Entretanto, pode ser verificada no livro texto da disciplina, referenciado no final da aula, Conforme já mencionado; “Simétrica” K = Curso: Engenharia Civil Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 09 Aplicação Prática - exercício Determine os deslocamentos Nodais, as Reações de apoios, e a tensão Normal máxima atuante sobre o Nó 1 da viga 123: P1 L1 A1 ; E1 ; I1 E1 P1 = 3000 N P2 = 5000 N q = 4000 N/m L1 = L2 = 1,0 m Y = 1,3 m E = E1= E2 = 210 GPa I = I1 = I2 = 5,923 . 10 -4 m4 A = A1 = A2 = 10,35 . 10 -3 m2 Perfil I : bf = 150,0 mm tf = 12,0 mm t0 = 15,0 mm tf = 12,0 mm h = 450,0 mm y z 3 L2 P2 Y A2 ; E2 ; I2 E2 q a = 450 Y X 21 Curso: Engenharia Civil Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 10 Exercício: Solução: 1 - PASSO: Definir as Condições de contorno da estrutura; - Restrições de deslocamentos (APOIOS): Nó 1 possue: U = 0; V= 0; q = 0; - Forças externas: Nó 2: F2X = P2 cos45 0 = 3535,53 N ; F2y = P2 sen45 0 = 3535,53 N Nó 3: F3X = P1 = 3000 ; M3 = 1,3 . P1 = 3900 N.m Carga distribuída sobre E1: q = 4000N/m OBS: no método dos elementos finitos a análise é realizada em termos nodais, o que exige que as cargas sejam representadas em relação aos Nós dos elementos; Da resistência dos materiais uma carga distribuída produz o mesmo efeito físico da seguinte carga equivalente: Portanto, a carga sobre a viga em termos nodais é dada por: q q. L /2 q. L /2 q. L2 /12 L q. L2 /12 q. L /2 q. L2 /12 q. L2 /12 q. L /2 1,3 .P1 P1 P2 cos45 0 P2 sen45 0 2000N 333,33 N.m333,33 N.m 5535,53 N 3900 N .m 3000 N 3535,53 N Curso: Engenharia Civil Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 11 Exercício: Solução: 2 - PASSO: Definir a dimensão da matriz de rigidez dos elementos; - elemento de viga plano: número de dós: n = 2 deslocamentos por nó : m = 3 Kelem= n x m = 2 x 3 = 6 k6X6 número de graus de liberdade de deslocamento do elemento: GLD = 6 3 - PASSO: Definir a dimensão da matriz de rigidez da estrutura; - estrutura: número de dós: N = 3 número de deslocamento por nó do elemento: m = 3 Kestr = N x m = 3 x 3 = 9 k9x9 número de graus de liberdade de deslocamento da estrutura: GLD = 9 Curso: Engenharia Civil Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 12 Exercício: Solução: 4 - PASSO: Numeração dos GLD da estrutura; - Inicia-se pelo primeiro Nó e depois aplica-se para cada Nó da estrutura. 5 - PASSO: Definir o 1º e o 2º Nó de cada elemento e em seguida calcular os cossenos diretores diretores dos elementos e os parâmetros que definem os coeficientes da matriz de rigidez: 1 2 3E1 E2 2 3 1 5 6 4 8 9 7 E1 1 2 X x 10 Nó 20 Nó a = 00 E2 2 3 X x 10 Nó 20 Nó a = 00 X Y Forças Nodais e Deslocamentos Nodais 1 2 3E1 E2 F2 F3 F1 F5 F6 F4 F8 F9 F7 X Y 1 2 3E1 E2 D2 D3 D1 D5 D6 D4 D8 D9 D7 X Y Parâmetros para os elementos; l = cos a ; m = sen a ; a = (E . A)/ L ; b = (E. I)/ L3 Elemento a l m l2 m2 lm a b 1 0 1 0 1 0 0 2173,5 x 106 124,38 x 106 2 0 1 0 1 0 0 2173,5 x 106 124,38 x 106 Curso: Engenharia Civil Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 13 Exercício: Solução: 6 - PASSO: PASSO: Definir a relação Força x Deslocamento da Estrutura; Esta relação é representada pela equação fundamental do MEF: F = K . D F1 x GLD = KGLD x GLD . DGLD x GLD Aplicando a equação anterior para a estrutura, que possui GLD = 9: F1 K11 K12 K13 … K17 K18 K19 D1 F2 K21 K22 K23 … K27 K28 K29 D2 F3 K31 K32 K33 … K37 K38 K39 D3 . … … … … F7 K71 K72 K73 … K77 K78 K79 D7 F8 K81 K82 K83 … K87 K88 K89 D8 F9 K91 K92 K93 … K97 K98 K99 D9 = . Curso: Engenharia Civil Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 14 Exercício: Solução: 7 - PASSO: Definir a matriz de rigidez de cada elemento em termos das coordenadas Globais da estrutura (Nós) ELEMENTO 1; U1 V1 q1 U2 V2 q2 a.l2 +12bm2 (a-12b)lm -6bLm -al2 -12bm2 -(a-12b)lm -6bLm U1 (a-12b)lm am2 +12bl2 6bLl -(a-12b)lm -am2 -12bl2 6bLl V1 -6bLm 6bLl 4bL2 6bLm -6bLl 2bL2 q1 -al2 -12bm2 -(a-12b)lm 6bLm al2+12bm2 (a-12b)lm 6bLm U2 -(a-12b)lm -am2 -12bl2 -6bLl (a-12b)lm am2+12bl2 -6bLl V 2 -6bLm 6bLl 2bL2 6bLm -6bLl 4bL2 q2 a = 2173,5 x 106 ; b = 124,38 x 106 ; l = 1; m = 0 MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO DE VIGA PLANO NO SISTEMA GLOBAL 1 2 3 4 5 6 876,396x103 0 -1.314,594x103 876,396x103 0 -1.314,594x103 1 0 163,8x106 0 0 -163,8x106 0 2 -1.314,594x103 0 2.629,188x103 1.314,594x103 0 1.314,594x103 3 876,396x103 0 1.314,594x103 876,396x103 0 1.314,594x103 4 0 -163,8x106 0 0 163,8x106 0 5 -1.314,594x103 0 1.314,594x103 1.314,594x103 0 -2.629,188x103 6 Nó1 Nó2 Nó1 Nó2 K1= K1= 2173500000 0 0 -2173500000 0 0 0 1492596000 746298000 0 -1492596000 746298000 0 746298000 497532000 0 -746298000 248766000 -2173500000 0 0 2173500000 0 0 0 -1492596000 -746298000 0 1492596000 -746298000 0 746298000 248766000 0 -746298000 497532000 1 2E1 2 3 1 5 6 4 Curso: Engenharia Civil Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 15 Exercício: Solução: 7 - PASSO: Definir a matriz de rigidez de cada elemento em termos das coordenadas Globais da estrutura (Nós) ELEMENTO 2; U1 V1 q1 U2 V2 q2 a.l2 +12bm2 (a-12b)lm -6bLm -al2 -12bm2 -(a-12b)lm -6bLm U1 (a-12b)lm am2 +12bl2 6bLl -(a-12b)lm -am2 -12bl2 6bLl V1 -6bLm 6bLl 4bL2 6bLm -6bLl 2bL2 q1 -al2 -12bm2 -(a-12b)lm 6bLm al2+12bm2 (a-12b)lm 6bLm U2 -(a-12b)lm -am2 -12bl2 -6bLl (a-12b)lm am2+12bl2 -6bLl V 2 -6bLm 6bLl 2bL2 6bLm -6bLl 4bL2 q2 a = 2173,5 x 106 ; b = 124,38 x 106 ; l = 1; m = 0 MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO DE VIGA PLANO NO SISTEMA GLOBAL 4 5 6 7 8 9 876,396x103 0 -1.314,594x103 876,396x103 0 -1.314,594x103 4 0 163,8x106 0 0 -163,8x106 0 5 -1.314,594x103 0 2.629,188x103 1.314,594x103 0 1.314,594x103 6 876,396x103 0 1.314,594x103 876,396x103 0 1.314,594x103 7 0 -163,8x106 0 0 163,8x106 0 8 -1.314,594x103 0 1.314,594x103 1.314,594x103 0 -2.629,188x103 9 Nó1 Nó2 Nó1 Nó2 K2= K2= 2173500000 0 0 -2173500000 0 0 0 1492596000 746298000 0 -1492596000 746298000 0 746298000 497532000 0 -746298000 248766000 -2173500000 0 0 2173500000 0 0 0 -1492596000 -746298000 0 1492596000 -746298000 0 746298000 248766000 0 -746298000 497532000 2 3E2 5 6 4 8 9 7 Exercício: Solução: 8 - PASSO: Definir a matriz de rigidez da estrutura em termos das coordenadas globais da estrutura (Nós); Somando a contribuição de cada elemento da estrutura; Matriz de rigidez da estrutura 1 2 34 5 6 7 8 9 5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -0,5 0,0 -0,5 1 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 2 0,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -0,5 0,0 -0,5 3 0,0 0,5 0,5 0,0 0,0 0,0 0,0 -0,5 -0,5 0,0 4 K = 0,0 0,5 0,5 0,0 0,0 0,0 0,0 -0,5 -0,5 0,0 5 ,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 6 0,0 0,0 0,0 0,5 -0,5 0,0 -0,5 0,5 0,0 7 0,0 0,0 0,0 -0,5 0,5 0,0 0,5 -0,5 0,0 8 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 9 0,5 Curso: Engenharia Civil Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 16 2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00 -2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 1,49E+09 7,46E+08 0,00E+00 -1,49E+09 7,46E+08 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 7,46E+08 4,98E+08 0,00E+00 -7,46E+08 2,49E+08 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 -2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00 4,35E+09 0,00E+00 0,00E+00 -2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 -1,49E+09 -7,46E+08 0,00E+00 2,99E+09 0,00E+00 0,00E+00 -1,49E+09 7,46E+08 0,00E+00 7,46E+08 2,49E+08 0,00E+00 0,00E+00 9,95E+08 0,00E+00 -7,46E+08 2,49E+08 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 -2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00 2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 -1,49E+09 -7,46E+08 0,00E+00 1,49E+09 -7,46E+08 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 7,46E+08 2,49E+08 0,00E+00 -7,46E+08 4,98E+08 Exercício: Solução: 9 - PASSO: Escrever a Relação Força x Deslocamento (F = K . D) da estrutura interpretando as Condições de contorno da estrutura; F1 0,5 0,0 0,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -0,5 0,0 -0,5 D1 F2 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 D2 F3 0,5 0,0 0,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -0,5 0,0 -0,5 D3 F4 0,0 0,0 0,0 0,5 0,5 0,0 0,0 0,0 0,0 -0,5 -0,5 0,0 D4 F5 = 0,0 0,0 0,0 0,5 0,5 0,0 0,0 0,0 0,0 -0,5 -0,5 0,0 . D5 F6 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 D6 F7 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,5 -0,5 0,0 -0,5 0,5 0,0 D7 F8 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -0,5 0,5 0,0 0,5 -0,5 0,0 D8 F9 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 D9 valores conhecidos: - Restrições de deslocamentos (APOIOS): D1 = D2 = D3 = 0 - Forças externas: F4 = -3535,53 N; F5 = -5535,53 N; F6 = 333,33 N.m; F7 = -3000 N; F8 = 0 N; F9 = -3900 N.m; valores desconhecidos (INCÓGNITAS DO PROBLEMA): - Reações de apoio da estrutura: F1 = Rh1 = ?; F2 =Rv1 - 2000 = ?; F3 = M1 - 333,33 = ?; -Deslocamentos nodais desconhecidos: D4 = ? ; D5 = ? ; D6 = ? ; D7 = ? ; D8 = ? ; D9 = ? ; Curso: Engenharia Civil Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 17 2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00 -2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 1,49E+09 7,46E+08 0,00E+00 -1,49E+09 7,46E+08 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 7,46E+08 4,98E+08 0,00E+00 -7,46E+08 2,49E+08 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 -2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00 4,35E+09 0,00E+00 0,00E+00 -2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 -1,49E+09 -7,46E+08 0,00E+00 2,99E+09 0,00E+00 0,00E+00 -1,49E+09 7,46E+08 0,00E+00 7,46E+08 2,49E+08 0,00E+00 0,00E+00 9,95E+08 0,00E+00 -7,46E+08 2,49E+08 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 -2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00 2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 -1,49E+09 -7,46E+08 0,00E+00 1,49E+09 -7,46E+08 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 7,46E+08 2,49E+08 0,00E+00 -7,46E+08 4,98E+08 1 2 3E1 E2 2 3 1 5 6 4 8 9 7 X Y 2000N 333,33 N.m333,33N.m 5535,53 N 3000 N 3535,53 N 3900 N.m 1 Rv1 Rh1 M1 Exercício: Solução: 10 - PASSO: Realizar o particionamento da matriz de rigidez: ELIMINAR AS LINHAS E COLUNAS DA MATRIZ DE RIGIDEZ ASSOCIADAS AOS DESLOCAMENTOS NULOS, o que permite calcular os deslocamentos desconhecidos da estrutura. F1 0,5 0,0 0,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -0,5 0,0 -0,5 D1 F2 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 D2 F3 0,5 0,0 0,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -0,5 0,0 -0,5 D3 F4 0,0 0,0 0,0 0,5 0,5 0,0 0,0 0,0 0,0 -0,5 -0,5 0,0 D4 F5 = 0,0 0,0 0,0 0,5 0,5 0,0 0,0 0,0 0,0 -0,5 -0,5 0,0 . D5 F6 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 D6 F7 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,5 -0,5 0,0 -0,5 0,5 0,0 D7 F8 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -0,5 0,5 0,0 0,5 -0,5 0,0 D8 F9 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 D9 valores conhecidos: - Restrições de deslocamentos (APOIOS): D1 = D2 = D3 = 0 - Forças externas: F4 = -3535,53 N; F5 = -5535,53 N; F6 = 333,33 N.m; F7 = -3000 N; F8 = 0 N; F9 = -3900 N.m; valores desconhecidos (INCÓGNITAS DO PROBLEMA): - Reações de apoio da estrutura: F1 = Rh1 = ?; F2 =Rv1 - 2000 = ?; F3 = M1 - 333,33 = ?; -Deslocamentos nodais desconhecidos: D4 = ? ; D5 = ? ; D6 = ? ; D7 = ? ; D8 = ? ; D9 = ? ; Curso: Engenharia Civil Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 18 2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00 -2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 1,49E+09 7,46E+08 0,00E+00 -1,49E+09 7,46E+08 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 7,46E+08 4,98E+08 0,00E+00 -7,46E+08 2,49E+08 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 -2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00 4,35E+09 0,00E+00 0,00E+00 -2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 -1,49E+09 -7,46E+08 0,00E+00 2,99E+09 0,00E+00 0,00E+00 -1,49E+09 7,46E+08 0,00E+00 7,46E+08 2,49E+08 0,00E+00 0,00E+00 9,95E+08 0,00E+00 -7,46E+08 2,49E+08 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 -2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00 2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 -1,49E+09 -7,46E+08 0,00E+00 1,49E+09 -7,46E+08 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 7,46E+08 2,49E+08 0,00E+00 -7,46E+08 4,98E+08 Nota: Sempre será resolvido nesta ordem: 1- inicialmente determina-se os deslocamentos nodais desconhecidos; 2 - depois de calculado os deslocamentos nodais calcula-se as forças nodais desconhecidas Exercício: Solução: 11 - PASSO: Determinar os Deslocamentos desconhecidos e em seguida determinar as Forças desconhecidas : F4 D4 F5 D5 F6 = . D6 F7 D7 F8 D8 F9 D9 { F } = [ K ] . { U } { U } = { F } / [ K ] { U } = [ K ]-1 . { F } D4 -1 -3535,53 D5 -5535,53 D6 = . 333,33 D7 -3000 D8 0 D9 -3900 D4 -3535,53 D5 -5535,53 D6 = . 333,33 D7 -3000 D8 0 D9 -3900 Curso: Engenharia Civil Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 19 4,35E+09 0,00E+00 0,00E+00 -2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 2,99E+09 0,00E+00 0,00E+00 -1,49E+09 7,46E+08 0,00E+00 0,00E+00 9,95E+08 0,00E+00 -7,46E+08 2,49E+08 -2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00 2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 -1,49E+09 -7,46E+08 0,00E+00 1,49E+09 -7,46E+08 0,00E+00 7,46E+08 2,49E+08 0,00E+00 -7,46E+08 4,98E+08 4,35E+09 0,00E+00 0,00E+00 -2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 2,99E+09 0,00E+00 0,00E+00 -1,49E+09 7,46E+08 0,00E+00 0,00E+00 9,95E+08 0,00E+00 -7,46E+08 2,49E+08 -2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00 2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 -1,49E+09 -7,46E+08 0,00E+00 1,49E+09 -7,46E+08 0,00E+00 7,46E+08 2,49E+08 0,00E+00 -7,46E+08 4,98E+08 F4 = -3535,53 N; F5 = -5535,53 N; F6 = 333,33 N.m; F7 = -3000 N; F8 = 0 N; F9 = -3900 N.m; D4 = -3,006344 .10 -6 m; D5 = -29,173234 .10 -6 m; D6 = -50,928857 .10 -6 rad; D7 = -4,3863 .10 -6 m; D8 = -95,8447 .10 -6 m; D9 = -82,3628 .10 -6 rad; 4,60E-10 0,00E+00 0,00E+00 4,60E-10 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 2,68E-09 4,02E-09 0,00E+00 6,70E-09 4,02E-09 0,00E+00 4,02E-09 8,04E-09 0,00E+00 1,21E-08 8,04E-09 4,60E-10 0,00E+00 0,00E+00 9,20E-10 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 6,70E-09 1,21E-08 0,00E+00 2,14E-08 1,61E-08 0,00E+00 4,02E-09 8,04E-09 0,00E+00 1,61E-08 1,61E-08 Exercício: Solução: 11 - PASSO: Determinar os Deslocamentos desconhecidos e em seguida determinar as Forças desconhecidas : F1 D1 F2 D2 F3 D3 F4 D4 F5 = . D5 F6 D6 F7 D7 F8 D8 F9 D9 F1 = -2,17E+09 . D4 = -2,17E+09 . (- 3,006344 .10 -6 ) = 6523,766 N 6,5 KN F1 = Rh1 6,5 KN F2 = -1,49E+09 . D5 + 7,46E+08 . D6 = -1,49E+09 . (-29,173234.10 -6 ) + 7,46E+08 . (-50,928857 .10-6 ) = 5475,19 N F2 = Rv1 - 2000 = 5475,19 Rv1 = 5475,19 + 2000 = 7475,16 N Rv1 7,5 KN F3 = -7,46E+08 . D5 + 2,49E+08 . D6 = -7,46E+08 . (-29,173234 .10 -6 ) + 2,49E+08 . (-50,928857 .10-6 ) = 9081,9472 N F3 = M1 - 333,33 = 9081,9472 + 333,33 M1 = 9415,277 N.m M1 9,4 KN.m Curso: Engenharia Civil Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 20 2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00 -2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 1,49E+09 7,46E+08 0,00E+00 -1,49E+09 7,46E+08 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 7,46E+08 4,98E+08 0,00E+00 -7,46E+08 2,49E+08 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 -2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00 4,35E+09 0,00E+00 0,00E+00 -2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 -1,49E+09 -7,46E+08 0,00E+00 2,99E+09 0,00E+00 0,00E+00 -1,49E+09 7,46E+08 0,00E+00 7,46E+08 2,49E+08 0,00E+00 0,00E+00 9,95E+08 0,00E+00 -7,46E+08 2,49E+08 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 -2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00 2,17E+09 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 -1,49E+09 -7,46E+08 0,00E+00 1,49E+09 -7,46E+08 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 7,46E+08 2,49E+08 0,00E+00 -7,46E+08 4,98E+08 D4 = -3,006344 .10 -6 m; D5 = -29,173234 .10 -6 m; D6 = -50,928857 .10 -6 rad; D7 = -4,3863 .10 -6 m; D8 = -95,8447 .10 -6 m; D9 = -82,3628 .10 -6 rad; Exercício: Solução: 12 - PASSO: Definir a tensão normal máxima sobre o Nó 1 da viga 123: - Forças resultantes externas sobre o Nó 1: F1; F2; F3 F1 = + 6523,766 N = + 6,5 kN; F2 = + 5475,19 N = + 5,5 kN; F3 = + 9081,947 N = + 9,1 kN.m; - As forças resultantes externas sobre o Nó 1 geram os esforços internos: Fih; Fiv; Mi Curso: Engenharia Civil Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 21 F3 = 9,1 KN.m F2 = 5,5 KN F1 = 6,5 KN F3 = 9,1 KN.m F2 = 5,5 KN F1 = 6,5 KN Fiv = 5,5 KN Fih = 6,5 KN Mi = 9,1 KN.m Apenas Fih e Mi são capazes de produzir tensão normal 2 3 1 convenção Exercício: Solução: 12 - PASSO: Definir a tensão normal máxima sobre o Nó 1 da viga 123: - Esforços internos Nó 1 - A resistência dos materiais fornece: 1 - a forca Fih produz um tensão normal de compressão: s1 = Fih /A 2 - o momento Mi produz um tensão normal de flexão: s2 = (M. y)/I 3 - A tensão normal máxima é obtida pelo superposição dos efeitos: s1 + s2 = sFinal Curso: Engenharia Civil Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 22 Fiv = 5,5 KN Fih =6,5 KN Mi = 9,1 KN.m Linha neutraM = momento fletor; I = momento de inércia da seção transversal; y = distância da linha neutra até a fibra mais afastada; y M = Mi 9,1 KN.m I = 5,923 . 10-4 m4 y = 225 mm =0,225 m s2 = (9,1 . 10 3 . 0,225) / 5,923 . 10-4 = 3,46 . 106 N/m2 = 3,46 Mpa s1 = 6,5 . 10 3 / 10,35 . 10-3 = 0,628 . 106 N/m2 = 0,628 Mpa A B A B sA = -0,628 + 3,46 = 2,8322 MPa sb = -0,628 - 3,46 = - 4,088 MPa sMÁXIMA = - 4,088 MPa Referências Bibliográficas: Livro texto: ELEMENTOS FINITOS - A Base da Tecnologia CAE Avelino Alves Filho, prof. Dr. Editora: Érica, 5ª edição, 2007 Bibliografias complementares: Introdução à Análise e ao Projeto em Elementos Finitos Nam-Ho Kim ; Bhavani V. Sankar Editora: LTC, 2011 Um Primeiro Curso em Elementos Finitos Jacob Fish ; Ted Belytschko Editora: LTC, 2009 Curso: Engenharia Civil Disciplina : Métodos Núméricos; Prof: Marcos Vinicios 23
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