Cinemática inversa de posição

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Capítulo 4 - Cinemática Inversa de Posição 42
No capítulo anterior foi visto como determinar a posição e a orientação do órgão terminal em
termos das variáveis das juntas. No presente capítulo será estudado como resolver o problema inverso, ou
seja, achar as variáveis das juntas em termos da posição e orientação do órgão terminal:
x0, y0, z0
 ângulos do sistema do OT c/ ® ® qi, i = 1, 2, ... , 6
 sistema da base
O problema da cinemática inversa é, em geral, mais difícil de resolver, em forma fechada. Como
exemplo, considere-se um manipulador de Stanford. A solução do problema da cinemática direta de
posição (conforme solicitado no problema 3.2 do capítulo 3) é dada pelo conjunto de 12 equações com 6
incógnitas
 (4.1.1)
onde os membros da direita são os elementos da matriz que fornece a posição e a orientação do órgão
terminal:
CAPÍTULO 04
CINEMÁTICA INVERSA DE POSIÇÃO
4.1 INTRODUÇÃO
 Cinemática
 Inversa
 de Posição
Capítulo 4 - Cinemática Inversa de Posição 43
 (4.1.2)
Para achar as variáveis das juntas q1, q2, d3, q4, q5 e q6, deve-se resolver o sistema (4.1.1), o que é
bastante difícil de conseguir em forma fechada, pois se trata de um sistema altamente não-linear. Além
disso, enquanto a cinemática direta tem sempre uma única solução, a cinemática inversa pode ter ou não
solução (p. ex., quando a posição desejada cai fora do volume de trabalho) e, no caso de existir solução,
pode a mesma ser ou não única.
Para contornar o problema deve-se, então, desenvolver técnicas sistemáticas eficientes que
explorem a estrutura cinemática particular do manipulador. Será considerado, daqui em diante, que a
matriz homogênea dada pela eq. (4.1.2) corresponde a uma configuração no interior do volume de trabalho
do manipulador, o que garante a existência de pelo menos uma solução.
Felizmente, para manipuladores com seis juntas, nos quais os eixos das três últimas juntas se
interceptam em um ponto (como no caso do manipulador de Stanford acima), é possível desacoplar o
problema da cinemática inversa em dois problemas mais simples, conhecidos por cinemática inversa de
posição e cinemática inversa de orientação, respectivamente. Ou seja, para um manipulador com seis
graus de liberdade munido de um punho esférico, pode-se inicialmente achar a posição do centro do punho
(interseção dos três eixos do punho esférico) e, após, encontrar a orientação do punho.
Considere-se, pois, que existam exatamente seis graus de liberdade e que os eixos das últimas três
juntas, os eixos z4, z5 e z6, se interceptem no ponto O (centro do punho), no qual se localizam as origens O4
e O5 e, na maioria das vezes, embora não necessariamente, a origem O3, conforme fig. 3.7. A posição do
centro do punho é função apenas das três primeiras coordenadas, não dependendo das três últimas
coordenadas. A origem O6 do sistema do órgão terminal é obtida por uma translação d6 ao longo do eixo
z5, a partir do centro do punho O. Chamando pc o vetor que vai da origem do sistema da base O0x0y0z0 ao
centro do punho, tem-se (ver fig. 4.1):
d = pc + d6Rk
ou
pc = d - d6Rk (4.2.1)
4.2 DESACOPLAMENTO CINEMÁTICO
Capítulo 4 - Cinemática Inversa de Posição 44
Fig. 4.1 Desacoplamento cinemático
onde a orientação do sistema do órgão terminal é dada pela matriz R e a posição do mesmo é dada pelo
vetor d. Em forma expandida, pode-se escrever a eq. (4.2.1) como
(4.2.2)
onde r13, r23 e r33 são elementos de R, a qual é conhecida (dada). Assim, usando a eq. (4.2.2), pode-se
calcular as coordenadas do centro do punho e, depois, achar as três primeiras variáveis das juntas, q1, q2 e
q3, através de relações retiradas da geometria do manipulador, conforme será ilustrado mais adiante. Pode-
se, após, determinar a orientação do órgão terminal em relação ao sistema O3x3y3z3 (extremidade do
punho) a partir da expressão
R = R30 R63 (4.2.3)
ou R63 = (R30)-1 R
R63 = (R30)T R (4.2.4)
pois R30 é ortogonal.
As três últimas variáveis das juntas, q4, q5 e q6, (que, no caso do punho esférico, serão sempre q4, q5
e q6), são então encontradas como um conjunto de ângulos de Euler correspondentes a R63. Note-se que o
membro direito da eq. (4.2.4) é conhecido, pois R é dada e R30 pode ser calculada, já que as três primeiras
variáveis das juntas, q1, q2 e q3, são conhecidas, a partir da geometria do manipulador. A seção seguinte
ilustra o procedimento.
Capítulo 4 - Cinemática Inversa de Posição 45
Nesta seção será apresentado apenas o enfoque geométrico para a cinemática inversa de posição
por duas razões. Primeiro, porque as configurações cinemáticas dos robôs industriais são relativamente
simples, conforme foi visto no capítulo 1. Segundo, porque existem poucas técnicas disponíveis para tratar
o problema geral da cinemática inversa de configurações quaisquer.
A maioria dos robôs industriais é composta de seis graus de liberdade, com três variáveis de juntas
no tronco e três no punho, em geral esférico. Além disso, conforme já foi visto anteriormente, muitos dos
parâmetros DH ai e di são nulos, enquanto que os parâmetros ai são 0 ou ± p/2. Nesses casos, o
desacoplamento é bastante facilitado, conforme será ilustrado a seguir.
Seja o manipulador articulado da fig. 4.2, onde px, py e pz, já foram obtidos através da eq. (4.2.2):
Fig. 4.2 Manipulador articulado
O vetor pc, que liga O0 a O (não mostrado na figura), aparece projetado (vetor r) sobre o plano
horizontal que passa pela origem do sistema O1x1y1z1 (note-se que é a mesma origem do sistema O0x0y0z0).
Da figura:
1q = arctg
p
p
y
x
(4.3.1)
Observe-se que existe uma segunda solução válida para q1, que é
1q p= +arctg
p
p
y
x
(4.3.2)
As soluções para q1, dadas pelas eqs. (4.3.1) e (4.3.2), não são válidas para px = py = 0 porque,
nesse caso, arctg
p
p
y
x
 é indeterminado e o manipulador encontra-se em uma posição singular, na qual o
centro do punho está sobre o eixo z0 e, portanto, qualquer valor de q1 satisfaz esta configuração, existindo,
pois, uma infinidade de soluções, conforme ilustra a fig. 4.3:
4.3 CINEMÁTICA INVERSA DE POSIÇÃO. ENFOQUE GEOMÉTRICO
Capítulo 4 - Cinemática Inversa de Posição 46
Fig. 4.3 Configuração singular
Para sanar esse problema, pode-se introduzir uma excentricidade no ombro, d1, como mostra a fig.
4.4. Nesse caso, o centro do punho não cairá sobre o eixo z0, havendo então somente duas soluções para
q1.
Fig. 4.4 Manipulador articulado com excentricidade no ombro
Tais soluções correspondem às chamadas configurações braço esquerdo e braço direito,
conforme mostram as vistas superiores das fig. 4.5 e 4.6, respectivamente:
Fig. 4.5 Configuração braço esquerdo
47
 Fig. 4.6 Configuração braço direito
Da fig. 4.5 tira-se a primeira solução, para a configuração braço esquerdo:
q1 = f - a (4.3.3)
onde 
dpp
darctg
dr
darctg
p
p
arctg 
2
1
2
y
2
x
1
2
1
2
1
x
y
-+
=
-
=
=
A segunda solução, obtida a partir da configuração braço direito da fig. 4.6 é dada por
dpp
darctg
p
p
arctg 
2
1
2
y
2
x
1
x
y
1
-+
+= (4.3.4)
Para achar os ângulos q2 e q3, dado q1, considere-se o plano formado pelo braço e pelo antebraço,
conforme fig. 4.7:
Fig. 4.7 Plano vertical formado pelo braço e antebraço
Capítulo 4 - Cinemática Inversa de Posição 48
Tendo em vista que o movimento do braço e do antebraço é planar, a solução é análoga à
desenvolvida para o manipulador planar do cap. 1. Assim, aproveitando aqueles resultados (eqs. (1.7.4) a
(1.7.7)) e fazendo as devidas adaptações, pode-se escrever (comparar as figs. 1.18 e 4.7):
(4.3.5)
onde d1 aqui é o parâmetro DH e não a excentricidade recém descrita.
Portanto, q3 é dado por 3
2arctg
1- D
Dq
=
±
 (4.3.6)
onde as duas soluções para q3 correspondem às posições cotovelo acima e cotovelo abaixo,
respectivamente.
Analogamente, q2 é dado por 2
1
q = - +
=
-
+
-
+
arctg
s
r
arctg a
S3
a a C3
arctg
p d
p p
arctg a
S3
a a C3
3
3 3
z
x
2
y
2
3
3 3
 (4.3.7)
Um exemplo de manipulador articulado com excentricidade é o robô PUMA mostrado na fig. 4.8.
Existem quatro soluções, conforme ilustra a figura. Será visto mais adiante que existem duas soluções para
a orientação do punho esférico, dando, assim, um total de oito soluções para a cinemática inversa desse
tipo de manipulador.
Capítulo 4 - Cinemática Inversa de Posição 49
Fig. 4.8 Quatro soluções da cinemática inversa de posição do manipulador PUMA
No item anterior foi utilizado o enfoque geométrico para a obtenção das três primeiras variáveis das
juntas, correspondentes a uma dada posição do centro do punho. Resta, agora, resolver o problema da
cinemática inversa de orientação, ou seja, encontrar os valores das três últimas variáveis das juntas,
correspondentes a uma dada orientação do órgão terminal, com relação ao sistema O3x3y3z3. Para um
punho esférico, isso significa achar um conjunto de ângulos de Euler correspondentes a uma dada matriz de
rotação R, conforme exposto no capítulo 3.
4.4 CINEMÁTICA INVERSA DE ORIENTAÇÃO
Capítulo 4 - Cinemática Inversa de Posição 50
Seja dada a matriz de orientação U = uij, obtida a partir do membro direito da eq. (4.2.4) e seja R63
a matriz de transformação, obtida através da eq. (2.4.1). O problema consiste, então, em encontrar os
ângulos de Euler f, q e y, que satisfazem a equação matricial
(4.4.1)
Dois casos podem se apresentar.
1o caso: u13 e u23 não são simultaneamente nulos.
Então , da eq. (4.4.1), vemos queCf Sq = u13 ¹ 0
Sf Sq = u23 ¹ 0
de onde se conclui que Sq ¹ 0, logoSq ¹ 0Þ u31 ¹ 0
u32 ¹ 0
u33 = Cq ¹ ± 1
Logo, podemos escrever q = arctg (Sq/Cq), ou seja,
q = arctg 
1- u
u
33
2
33
(4.4.2)
ou q = arctg 
1- u
u
33
2
33
-
(4.4.3)
Se for escolhido o primeiro valor para q, então Sq > 0 e a primeira solução é dada por
f = arctg u
u13
23 (4.4.4)
e y = arctg u
-u31
32 (4.4.5)
Por outro lado, se for escolhido o segundo valor para q, então Sq < 0 e a segunda solução é dada por
f = arctg -u
-u13
23 (4.4.6)
e y = arctg -u
u31
32 (4.4.7)
Capítulo 4 - Cinemática Inversa de Posição 51
2o caso: u13 e u23 são simultaneamente nulos.
Se u13 = u23 = 0, então, pela eq. (4.4.1), Sq = 0 e a matriz de rotação U passa a ter a forma
onde u33 = ± 1 pois Cq = ± (1 - S2q)1/2 = ± 1. A seguir, serão examinadas cada uma das possibilidades para
u33.
Cq = 1
(1) Se u33 = + 1 Þ Þ q = 0 e a eq. (4.4.1) se torna
Sq = 0
Assim, a soma f + y pode ser determinada como
f y + = arctg u
u
 = arctg -u
u
21
11
12
11
(4.4.8)
Como, nesse caso, apenas a soma f + y pode ser determinada, existe um número infinito de soluções.
Pode-se, por convenção, tomar f = 0 e achar y através da eq. (4.4.8).
Cq = - 1
(2) Se u33 = - 1 Þ Þ q = p e a eq. (4.4.1) se torna
Sq = 0
Assim, a diferença f - y pode ser determinada como
f y - = arctg -u
-u
 = arctg -u
-u
12
11
22
21
(4.4.9)
Como, nesse caso, apenas a diferença f - y pode ser determinada, existe um número infinito de soluções.
Podemos, por convenção, tomar f = 0 e achar y através da eq. (4.4.9).
Capítulo 4 - Cinemática Inversa de Posição 52
Exemplo ilustrativo: manipulador articulado com punho esférico.
A cinemática inversa de posição já foi resolvida, conforme eqs. (4.3.1) a (4.3.7). Para resolver a
cinemática inversa de orientação, podemos iniciar determinando R30, pois
R30 = A10 A21 A32
onde as matrizes Aii-1 são dadas pela eq. (3.5.2). Fazendo tal cálculo, chega-se facilmente a
(a)
Por outro lado, a matriz R63, referente ao punho esférico, já foi fornecida pela eq. (3.8.1), aqui repetida:
(b)
Portanto, dada a matriz de rotação total R:
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
=
rrr
rrr
rrr
333231
232221
131211
R (c)
trata-se de resolver R63 = (R30)T R = U (d)
Substituindo as eqs. (a), (b) e (c) na eq. (d), obtemos uma equação matricial da qual tiramos as seguintes
equações algébricas relevantes para a aplicação do procedimento exposto anteriormente:
- elementos (1,3):C4S5 = C1C23r13 + S1C23r23 - S23r33 = u13
- elementos (2,3):S4S5 = -C1S23r13 - S1S23r23 - C23r33 = u23
- elementos (3,3): C5 = -S1r13 + C1r23
10 caso: u13 e u23 não são simultaneamente nulos
C4S5 ¹ 0
Então: Þ S5 ¹ 0
S4S5 ¹ 0
Capítulo 4 - Cinemática Inversa de Posição 53
e pode-se usar as eqs. (4.4.2) a (4.4.7) para obter os ângulos q5 (ângulo de Euler q), q4 (ângulo de Euler f)
e q6 (ângulo de Euler y).
20 caso: u13 e u23 são simultaneamente nulos
C4S5 = 0
Então: Þ S5 = 0 Þ eixos das juntas 3 e 5 são colineares e somente
S4S5 = 0
a soma q4 + q6 pode ser determinada. Uma solução é escolher q4 arbitrariamente e então determinar q6
usando a eq. (4.4.8) ou a eq. (4.4.9).
4.1 Resolver o problema da cinemática inversa de posição e de orientação de um robô cartesiano dotado de
punho esférico, cujas primeiras três coordenadas das juntas são d1, d2 e d3.
4.2 Idem 4.1, para um robô cilíndrico RPP com punho esférico.
4.3 Completar o exemplo ilustrativo do item 4.4, detalhando todas as passagens matemáticas.
4.4 De posse de todas as expressões para a cinemática inversa do manipulador articulado, obtidas no
problema anterior, escrever um programa de computador para resolver o problema completo da cinemática
inversa. Incluir procedimentos para identificar configurações singulares e escolher uma solução particular
quando a configuração é singular. Testar o programa para vários casos especiais (incluindo configurações
singulares) de fácil verificação.
 PROBLEMAS