AULA 01 - Equações Ordinárias Ordinárias, Aula 02, Aula 03, Aula 04

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AULA 01
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
Equações diferenciais modelam inúmeros problemas em diversas áreas. Nesta nossa primeira aula, definiremos os conceitos fundamentais deste importante suporte matemático.
Ao fim desta aula, você deverá ser capaz de cumprir os objetivos abaixo descritos:
1. Identificar uma equação diferencial;
2. Classificar uma equação diferencial quanto à ordem;
3. Identificar o grau de uma equação diferencial;
4. Verificar se uma solução dada é adequada para determinada equação diferencial;
5. Identificar os tipos de solução das equações diferenciais.
Introdução
Em diversas áreas, precisamos desenvolver modelos matemáticos para nos auxiliar na compreensão de fenômenos físicos e resolução de problemas reais, concorda?
Estes modelos, muitas vezes, nos levam à necessidade de resolver equações que contém algumas derivadas de funções desconhecidas, ou ainda, resolver equações que contêm taxas.
Podemos ver ao lado o exemplo de um pêndulo simples.
O movimento de um pêndulo simples de massa m e comprimento l pode ser descrito pela função θ(t), que satisfaz a equação diferencial:
O que vem a ser uma equação diferencial?
Chamamos de equação diferencial toda equação em que aparece pelo menos uma derivada ou diferencial da função incógnita.
Vamos a alguns exemplos:
Reparou que os exemplos que vimos de equações diferenciais são bem diferentes uns dos outros em sua estrutura?
Por conta disso, vamos estabelecer algumas classificações para facilitar a organização e estruturação do estudo das ED:
Equações diferenciais ordinárias (EDO)
Envolvem funções de uma variável e suas derivadas.
Exemplos:
Equações diferenciais parciais (EDP)
Envolvem funções de muitas variáveis e suas respectivas derivadas parciais.
Exemplo:
Grau e ordem de uma equação diferencial
A ordem de uma equação diferencial corresponde à ordem da mais alta derivada da equação.
Este exemplo é uma equação diferencial de segunda ordem.
O grau de uma equação diferencial é o maior expoente da derivada de mais alta ordem da função incógnita que aparece na equação.
Vamos voltar ao exemplo da ordem.
Note que a maior ordem é a segunda derivada. Esta derivada está elevada ao expoente 1.
Resolvendo uma equação diferencial
Após desenvolvermos os modelos matemáticos representativos de problemas reais, com equações que contém algumas derivadas, precisamos resolver estas equações diferenciais.
Você deve estar se perguntando o que significa “resolver estas equações diferenciais”?
Resolver ou integrar uma equação diferencial significa determinar todas as funções que verificam a equação, isto é, que a transformem numa identidade.
Vamos agora à solução de uma equação diferencial
Considere uma equação diferencial de ordem n:
Resolver ou integrar uma equação diferencial significa determinar todas as funções que verificam a equação, isto é, que a transformem numa identidade.
Vamos agora à solução de uma equação diferencial
Considere uma equação diferencial de ordem n:
Vejamos um exemplo
Consideremos a equação diferencial y" + 4y = 0.
Será que y = cos2x - 3sen2x é solução para a equação diferencial dada?
Precisamos determinar a segunda derivada e substituir na equação diferencial, verificando se realmente será uma identidade válida.
Tipos de solução
Vejamos agora os três tipos de solução:
Solução geral
É a solução que contém tantas constantes arbitrárias quantas são as unidades da ordem da equação.
Solução particular
É toda solução obtida da solução geral, quando atribuímos valores particulares às constantes.
Solução singular
É toda solução que não pode ser obtida a partir da solução geral, atribuindo-se às constantes valores particulares.
Vamos aos exemplos para entender melhor:
Gráfico da solução geral
Você sabe o que o gráfico da solução geral de uma equação diferencial representa?
Uma família de curvas chamadas curvas integrais.
Esta solução denomina-se primitiva ou integral da equação diferencial.
Assim, a solução geral de uma equação diferencial ordinária (EDO) de ordem n em um intervalo I é uma família de soluções y(t) no intervalo I, que depende de n constantes arbitrárias, de tal forma que qualquer solução particular pode ser obtida da solução geral, atribuindo-se valores às constantes.
Exemplo 1
Exemplo 2
Problema de valor inicial
Um problema de valor inicial para uma equação diferencial de ordem n: F(x, y', y'', y''',..., yn) = 0 consiste na equação diferencial e mais n condições do tipo:
Exemplo
Vamos utilizar a mesma equação diferencial do exemplo em que encontramos a solução geral. Consideremos o problema de valor inicial (PVI)
Equações de 1ª ordem e 1º grau
A forma geral das equações de 1ª ordem é:
São equações de 1ª ordem e 1º grau as equações da forma:
Ou ainda:
Vejamos agora, os 7 tipos de equações de 1ª ordem e 1º grau:
ATIVIDADE PROPOSTA
1- Para cada uma das equações a seguir, identifique sua ordem, seu grau e se é uma equação diferencial ordinária (EDO) ou uma equação diferencial parcial (EDP).