AP3 2010 2 Gabarito

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ME´TODOS DETERMINI´STICOS - AP3 - 2010.2
Questa˜o 1 (2 pontos). Ao realizar uma pesquisa de mercado, certa empresa descobriu que
dentre uma amostra com 2000 consumidores:
1400 eram do sexo feminino;
1200 praticam esportes regularmente;
metade dos homens que participaram da pequisa pratica esporte.
Dentre as mulheres entrevistadas, quantas na˜o praticam esportes regularmente? Monte um
diagrama de Venn e justifique sua resposta.
Soluc¸a˜o: E´ claro que a intersec¸a˜o entre o conjunto dos homens e o conjunto das mulheres
e´ vazia. Montamos enta˜o o seguinte diagrama de Venn:
Das informac¸o˜es apresentadas no enunciado sabemos que 600 homens participaram da
pesquisa (2000-1400). Metade deles pratica esportes, logo ha´ 300 homens que praticam
esportes na pesquisa. O total de praticantes de esportes e´ de 1200 pessoas, como 300 sa˜o
homens, descobrimos que 900 sa˜o mulheres. Portanto ha´ 900 mulheres na pesquisa que
praticam esportes regularmente.
1
Questa˜o 2 (2 pontos). Sejam f(x) = |x2 − 2x− 7| e g(x) = 30√(x+ 1)120. Determine:
a) f(2)
Soluc¸a˜o: f(2) = |22 − 2× 2− 7| = |4− 4− 7| = | − 7| = 7
b) g(2)
Soluc¸a˜o: g(2) = 30
√
(2 + 1)120 = (2 + 1)120/30 = (2 + 1)4 = 34 = 81
Questa˜o 3 (2 pontos). A func¸a˜o h(x) e´ uma func¸a˜o do segundo grau, isto e´, pode ser
representada como h(x) = ax2 + bx+ c. Sabendo que:
h(0) = 1/2,
h(1) = 10
e h(−2) = −13/2,
descubra qual e´ a lei da func¸a˜o h.
Soluc¸a˜o: h(0) = a× 02 + b× 0 + c = c = 1/2. Logo, c = 1/2.
h(1) = a× 12 + b× 1 + c = a+ b+ 1/2 = 10. Logo, a+ b = 19/2.
h(−2) = a× (−2)2 + b× (−2) + c = 4a− 2b+ 1/2 = −13/2. Logo, 4a− 2b = −7.
Montando o sistema:
 a+ b = 19/24a− 2b = −7
Multiplicando a primeira equac¸a˜o por dois e somando com a segunda, obtemos: 6a = 12.
Logo, a = 2. Substituindo este valor na primeira equac¸a˜o, obtemos b = 15/2. Portanto,
h(x) = 2x2 + 15
2
x+ 1
2
.
Questa˜o 4 (4 pontos). Considere as func¸o˜es f(x) =
x2
3
− 4x
3
− 5
3
e g(x) =
x− 5
3
.
a) Calcule f(4) e g(4)
2
Soluc¸a˜o: f(4) =
42
3
− 4× 4
3
− 5
3
=
16
3
− 16
3
− 5
3
= −5
3
e
g(4) =
4− 5
3
= −1
3
b) Esboce o gra´fico da func¸a˜o g;
Soluc¸a˜o: A func¸a˜o g e´ linear. Logo para trac¸ar seu gra´fico precisamos de dois pontos.
Para x = 0, temos que g(0) = (0 − 5)/3 = −5/3. Por outro lado, para encontrar o
ponto em que o gra´fico que g cruza o eixo vertical procuramos x que satisfac¸a g(x) = 0.
g(x) = 0⇔ x− 5
3
= 0⇔ x− 5 = 0⇔ x = 5
Podemos, enta˜o, trac¸ar o gra´fico passando pelos pontos (0,−5/3) e (5, 0). (Ver pro´ximo
item.)
c) Esboce o gra´fico da func¸a˜o f ;
Soluc¸a˜o: Primeiro vamos encontrar as ra´ızes de f . Observe que x
2
3
− 4x
3
− 5
3
= 0 ⇔
x2 − 4x− 5 = 0. Usando Bhaskara:
∆ = 16 + 20 = 36 e x = (4±√36)/2 = (4± 6)/2 = 2± 3, isto e´, x = 5 ou x = −1.
Para trac¸ar o gra´fico, precisamos ainda de mais um ponto. Vamos usar o ve´rtice (xv, yv)
da para´bola. Por simetria, sabemos que xv = (−1+5)/2 = 2. Para encontrar yv basta
calcular f(xv) =
22
3
− 4×2
3
− 5
3
= 4
3
− 8
3
− 5
3
= −9
3
= −3.
3
d) Encontre o conjunto dos valores de x para os quais f(x) ≤ g(x).
Observando o gra´fico, vemos que f(x) ≤ g(x) se e somente se x ∈ [0, 5].
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