07 Prob Condicional e Independencia

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PROBABILIDADE CONDICIONAL E 
EVENTOS INDEPENDENTES
Prof. Ronaldo Portela
Probabilidade Condicional
• Definição: Para quaisquer dois eventos A e B com P(B) > 0, a
probabilidade condicional de A dado que ocorreu B é definida
por:
2
P A B
P A B
P B
Probabilidade Condicional
• Exemplo: Calcule a probabilidade de obter soma 8 no
lançamento de dois dados em que o resultado do lançamento foi
dois números ímpares.
• Exemplo: Qual é a probabilidade de extrair uma carta de um
baralho comum de 52 cartas e obter um Ás, sabendo que ela é
uma carta de copas?
• Exemplo: Seja o lançamento de 2 dados não viciados e a
observação das faces voltadas para cima. Calcule a
probabilidade de ocorrer faces iguais, sabendo-se que a
soma é menor ou igual a 5.
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Probabilidade Condicional
• Exemplo: Considere o quadro a seguir, representativo da
distribuição da renda anual de produtores rurais e duas
cooperativas em uma determinada região:
• Qual a probabilidade de um cooperado aleatoriamente escolhido
ter renda entre 25 e 30 dado que é da cooperativa B?
• Qual a probabilidade de um cooperado aleatoriamente escolhido
ser da cooperativa A dado que tem renda anual de 25 a 30?
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Regra da multiplicação para P(A∩B)
• A definição de probabilidade condicional fornece o seguinte
resultado:
5P A B P A B P B
• Exemplo: Uma cadeia de lojas de vídeo vende três marcas diferentes
de videocassetes. Dessas vendas, 50% são da marca 1 (a mais barata),
30% são da marca 2 e 20% são da marca 3. Cada fabricante oferece
um ano de garantia para peças e mão-de-obra. É sabido que 25 % dos
videocassetes da marca I necessitam de reparos de garantia, enquanto
os percentuais correspondentes para as marcas 2 e 3 são 20% e 10%,
respectivamente.
• 1. Qual é a probabilidade de que um comprador selecionado
aleatoriamente compre um videocassete da marca 1 que precise de
reparo durante a garantia?
• 2. Qual é a probabilidade de que um comprador selecionado
aleatoriamente possua um aparelho que necessite de reparos durante a
garantia?
• 3. Se um cliente voltar à loja com um videocassete que precise de
reparos em garantia, qual é a probabilidade de ele ser da marca 1? E
da marca 2? E da marca 3?
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Lei da Probabilidade Total
• Sejam A1, ... , Ak eventos mutuamente exclusivos e exaustivos.
Então, para qualquer outro evento B,
P(B) = P(B|A1)P(A1) + ... + P(B|Ak)P(Ak)
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Teorema de Bayes
• Sejam A1, ..., Ak eventos mutuamente exclusivos e exaustivos
com P(Ai) > 0 para i = 1, ... k. Então para qualquer outro evento
B em que P(B) > 0,
8 1
( ) ( | ) ( )
( | )
( )
( | ) ( )
j j j
j k
i i
i
P A B P B A P A
P A B
P B
P B A P A
Teorema de Bayes
• Exemplo:
• Incidência de doença rara. Apenas l em 1000 adultos é
acometido por uma doença rara para a qual foi desenvolvido um
teste de diagnóstico. O teste funciona de tal forma que, se o
indivíduo tiver a doença, o resultado do
teste será positivo em 99% das vezes e, se não a tiver, será
positivo em apenas 2% das vezes. Se um indivíduo
selecionado aleatoriamente for testado e o resultado for
positivo, qual é a probabilidade de ele ter a doença?
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Exercícios
• 1) Uma caixa contém seis bolas vermelhas e três verdes e
uma segunda caixa contém sete bolas vermelhas e três
verdes. Uma bola é retirada da primeira caixa e colocada na
segunda. Então uma bola é retirada da segunda caixa e colocada
na primeira.
• a. Qual é a probabilidade de uma bola vermelha ser selecionada
na primeira caixa e outra bola vermelha na segunda?
• b. No fim do processo de seleção, qual é a probabilidade
de o número de bolas vermelhas e verdes da primeira
e da segunda caixas ser idêntico ao do início?
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Exercícios
• 2) Em determinado posto de gasolina, 40% dos clientes usam gasolina
comum (A1), 35% usam gasolina aditivada (A2) e 25% usam
gasolina premium (A3). Dos clientes que usam gasolina comum,
apenas 30% enchem o tanque (evento B). Dos clientes que usam
gasolina aditivada, 60% enchem o tanque, enquanto dentre os que
usam premium, 50% enchem o tanque.
• a. Qual é a probabilidade de o próximo cliente pedir gasolina
aditivada e encher o tanque?
• b. Qual é a probabilidade de o próximo cliente encher o tanque?
• c. Se o próximo cliente encher o tanque, qual é a probabilidade de
pedir gasolina comum? E gasolina aditivada? E gasolina premium?
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Eventos Independentes
• Definição: Dois eventos A e B são independentes se
P(A | B) = P(A)
e dependentes em caso contrário.
• Proposição: A e B são independentes se, e somente se,
P(A∩B) = P(A) ∙ P(B)
• Exemplo: Considere o lançamento de um dado e defina os
seguintes eventos A = {2, 4, 6}, B = {1, 2, 3} e C = {1, 2, 3, 4}.
• A e B são independentes?
• A e C são independentes?
• B e C são independentes?
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Variável Aleatória
• Dado um experimento com espaço amostra S, uma variável aleatória
(va) é qualquer regra que associe um valor a cada resultado de S.
• Em termos matemáticos, uma variável aleatória é uma função cujo
domínio é o espaço amostrai e o contra-domínio é um conjunto de
números reais.
• Uma variável aleatória discreta é uma variável, cujos valores
possíveis constituem um conjunto finito ou podem ser relacionados
em uma sequência infinita na qual haja um primeiro elemento, um
segundo e assim por diante.
• Uma variável aleatória é contínua se seu conjunto de valores
possíveis consiste em um intervalo completo da reta de números
(Reta Real).
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Distribuição de Probabilidade
• A função distribuição de probabilidade ou função de massa de
probabilidade (fmp) de uma va discreta é definida para cada
número x por p(x) = P(X = x).
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