revisão prova 3 MAT146

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Exerc´ıcios de Revisa˜o para P3
1. Resolva cada uma das seguintes integrais:
a)
∫ 2
1
x2 + 1 + xex
x
dx
b)
∫
(x+ 1)(x+ 2)9dx
d)
∫
x3 lnxdx
e)
∫
ex(ex + 2)9dx
f)
∫
sin3 x cosxdx
g)
∫
xexdx
h)
∫
1
x
lnxdx
i)
∫ 1
−1
x(x2 + 1)5dx
j)
∫
(x2 + 1) lnxdx
h)
∫
(x− 1) cosxdx
i)
∫ (√
x+ sec2 x+
1
x
)
dx
2. Fac¸a o que se pede em cada um dos itens abaixo:
a) Verifique que
∫
sin3 xdx = −1
3
sin2 x cosx− 2
3
cosx+ C
b) Mostre que
∫ 1
0
(1−x2)dx = 2
3
e ale´m disso, justifique que esta integral
representa a a´rea entre o gra´fico de f(x) = x2 − 1, as retas x = 0,
x = 1 e o eixo x.
c) Verifique que:
∫
ex sinxdx =
1
2
ex(sinx− cosx) + C
d) Sabendo que h(0) = 3 e h′(x) = x2 + 2x+ 1, determine h(x).
3. O proprieta´rio de uma pousada pretende cercar um local para piquenique
a` margem de um rio reto, utilizando 2000 metros de cerca. O local devera´
ser retangular e ele na˜o cercara´ ao longo do rio. Quais devem ser as
dimenso˜es do local de piquenique para que sua a´rea seja a maior poss´ıvel?
1
4. Pretende-se estender um cabo de uma usina de forc¸a, localizada a` margem
de um rio de 9 m de largura, ate´ uma fa´brica situada do outro lado do rio,
30 m rio abaixo. O custo para estender um cabo pelo rio e´ de R$ 5, 00
o metro, enquanto que para estendeˆ-lo por terra custa R$ 4,00 o metro.
Qual e´ o percurso mais econoˆmico poss´ıvel?
5. Um tanque cil´ındrico (cilindro circular reto), com tampa, deve ser con-
stru´ıdo para conter 54pi m3 de a´gua. Determine a altura e o raio para
minimizar a quantidade de material usado na construc¸a˜o desse tanque.
(Se um cilindro circular reto tem raio da base r e altura h, enta˜o a a´rea
lateral e´ 2pirh.)
6. Sejam f e g func¸o˜es dadas por f(x) = x2 − 4 e g(x) = −x− 2.
a) Esboce a regia˜o limitada pelos gra´ficos de f e g.
b) Calcule a a´rea da regia˜o acima.
7. Sejam f e g duas func¸o˜es dadas por f(x) = −x2 + 4 e g(x) = x2 − 4.
a) Encontre os pontos de intersec¸a˜o entre os gra´ficos de f e g.
b) Esboce a regia˜o R delimitada pelos gra´ficos de f e g.
c) Calcule a a´rea de R.
8. Sejam f e g func¸o˜es dadas por f(x) = −x2 + 2 e g(x) = −x.
a) Esboce a regia˜o do plano, limitada pelos gra´ficos das func¸o˜es f e g.
b) Calcule a a´rea da regia˜o do item anterior.
9. Sejam f e g func¸o˜es definidas por f(x) = x2 + 1 e g(x) = −x2 + 3. Seja
R a regia˜o limitada pelos gra´ficos das func¸o˜es f e g.
a) Esboce a regia˜o R. Voceˆ deve hachurar tal regia˜o.
b) Calcule a a´rea da regia˜o R.
10. Resolva os Problemas de Valor inicial dados abaixo:
a)

dy
dx
= ex(1 + y), y > −1
y(0) = 1
b)

dy
dx
=
2xy + y
y2
, y 6= 0
y(0) = −1
c)

dy
dx
= sin3 x cos2(2y)
y(0) = 1
2