RESUMO SOBRE DERIVADAS

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FACULDADE ESTÁCIO DE JOÃO PESSOA
ENGENHARIA CIVIL
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
PROF. MILARÉ
RESUMO SOBRE DERIVADAS
Inclinação da reta tangente a uma curva.
A inclinação da reta secante à curva y  fx, que passa pelos pontos P  x0, fx0 e
Q  x0  h, fx0  h é dada por: s 
fx0  h  fx0
h
, h  0, ou de forma equivalente s 
fx  fx0
x  x0 ,
onde x  x0  h e x  x0. Quando o ponto Q se aproxima do ponto P, a inclinação da secante se
aproxima da inclinação da tangente à curva y  fx no ponto x0,y0.
Exemplo.
A inclinação da reta secante à curva y  x2  1 no ponto 2,5, será:
s 
fx0  h  fx0
h

2  h2  1  5
h
 4  2h  h
2  1  5
h

hh  2
h
 h  2, se h  2. Agora
para h suficientemente pequeno, (assim o ponto Q estará bastante perto de P, a inclinação s, da
secante, se aproxima de 2, que é a inclinação da tangente.
Assim:
s 
fx0  h  fx0
h
é a inclinação da secante, e
m  lim
h0
fx0  h  fx0
h
será a inclinação da tangente, desde que este limite exista.Observe que
também podemos expressar m como m  lim
xx0
fx  fx0
x  x0 .
Vamos aplicar esta última expressão de m à função fx  x2  1, no ponto 2,5
m  lim
x2
fx  fx0
x  x0  limx2
x2  1  5
x  2
 lim
x2
x2  4
x  2
 lim
xx0
x  2x  2
x  2
 lim
xx0
x  2  4.
Definição de derivada
A derivada de uma função f em um ponto x0 de seu domínio, denotada por f´

x0, (f linha de x
zero), é dada por f´

x0  limxx0
fx  fx0
x  x0 , (ou de forma equivalente f
´x0  lim
h0
fx0  h  fx0
h
,
desde que este limite exista.
Neste caso, dizemos que a função f é derivável ou diferenciável nesse ponto. Se f for derivável em
todos os pontos do seu domínio, dizemos, simplesmente, que f é derivável ou diferenciável. Logo, em
um ponto genérico x, fx temos:
f

x  lim
h0
fx  h  fx
h
 lim
xx0
fx  fx0
x  x0 ,
desde que este limite exista.
Além da notação f

x, temos também a notação de Leibniz:
df
dx
x, logo f


df
dx
.
MILARÉ 23/02/2016 1
Interpretação geométrica da derivada:
 f

x0 é a inclinação da reta tangente ao gráfico da curva y  fx no ponto P  x0, fx0.
No exemplo acima, temos f

2  4, isto nos diz que a inclinação da tangente à curva
y  fx  x2  1, no ponto 2,5 é m  4. Podemos então calcular a equação desta reta tangente.
Sabemos que a equação de uma reta que passa por um ponto x0,y0 com inclinação a é dada por:
y  y0  ax  x0, como neste caso a  f

x0  f

2  4, temos:
y  5  4x  2  y  4x  8  5  y  4x  3.
Regras de derivação.
a) Derivada de uma constante.
Teorema 1: Se fx  c, para todo x do seu domínio, então f é derivável e f

x  0, para todo x do
seu domínio.
Exemplo : fx  5  f

x  0.
É fácil ver que;
b) A função fx  x é derivável e sua derivada é f

x  1 ou
dx
dx
 1.
c) A função fx  x2 é derivável e sua derivada é f

x  2x ou
dx2
dx
 2x.
De fato:
f

x  lim
h0
fx  h  fx
h
 lim
h0
x  h2  x2
h
 lim
h0
x2  2xh  h2  x2
h
 lim
h0
2xh  h2
h
 lim
h0
h2x  h
h
 lim
h0
d) De um modo geral podemos mostrar que a derivada de fx  xn, onde n é um inteiro
qualquer que f

x  nxn1 ou
dxn
dx
 nxn1. Pode-se provar também que vale esta mesma fórmula
para qualquer número n real.
Exemplo:  x 

 x
1
2

 1
2
x
1
2
1
 1
2
x

1
2  1
2 x
.
e) Derivada de uma constante vezes uma função.
Teorema 2: Sejam f uma função derivável e c uma constante. Então a função cf é derivável e
cf

 cf

.
Exemplo: 3x2

 3x2

 32x  6x.
f) Derivada de uma soma
Teorema 3: Se as funções f e g são deriváveis, então a sua soma f  g é derivável e
f  g

 f

 g

.
Exemplo: Combinando os resultados anteriores, temos:
d2x3  3x4  2
dx
 6x2  12x5.
g) Derivada de um produto.
Teorema 4: Se f e g são duas funções deriváveis, então o produto h  fg é derivável e
h

 fg

 f

g  fg

ou
dfg
dx

df
dx
g  f
dg
dx
.
Exemplo: Calcule a derivada de hx  5x4  2x2  16x5  8x4  2x.
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h

x  5x4  2x2  1

6x5  8x4  2x  5x4  2x2  16x5  8x4  2x


 20x3  4x6x5  8x4  2x  5x4  2x2  130x4  32x3  2.
Vamos adiantar as derivadas das funções fx  lnx e gx  ex  expx :
dlnx
dx
 1x .
dex
dx

dexpx
dx
 ex  expx.
Exemplos:
Calcule as derivadas das funções;
a) fx  x lnx
b) gx  x2ex.
Solução:
a) f

x  x

lnx  xlnx

 lnx  x 1x  1  lnx.
b) g

x  x2

ex  x2ex

 2xex  x2ex  exx2  x.
Obs
Podemos aplicar a regra do produto, repetidamente, para achar a derivada do produto de três ou
mais funções deriváveis. Por exemplo,
fgh

 fg

h  fgh

 f

g  fg

h  fgh

 f

gh  fg

h  fgh

.
Vamos supor agora que f  g  h. Então temos:
f3

 fff

 f

ff  ff

f  fff

 3f2f

Regra da cadeia para a função potência
Seja n um inteiro positivo, se f é uma função derivável, então
fn

 nfn1f

.
Exemplos:
a)
d3x2  x  1
4
dx
 43x2  x  1
3
6x  1.
b)
dlnx5
dx
 5lnx4 1x
h) Derivada de um quociente.
Teorema 5: Se f e g são duas funções deriváveis. e gx  0 então o quociente h 
f
g é derivável e
h


f
g


f

g  fg

g2
ou
d
f
g
dx

df
dx
g  f
dg
dx
g2
Exemplos:
a) x
x  1


x

x  1  xx  1

x2
 x  1  x
x2
 1
x2
.
b) ( lnxx 


lnx

x  lnxx

x2
 1  lnx
x2
.
Derivadas de ordem superior
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Dada uma função f, através do processo de derivação obtemos uma outra função g  f

. Pode
acontecer que esta função g seja derivável, se este for o caso, sua derivada g

é a derivada segunda
de f, que será denotada por f

, isto é, f

 f


. Se h  f

for derivável, sua derivada será a derivada
terceira de f, e assim por diante. Notação fnx: derivada de ordem n.
Exemplos;
a) fx  x2  f

x  2x  f

x  2x

 2  f

x  2

 0  f4x    fnx  0
b) gx  lnx  g

x  1x  g

x  1x

 1
x2
 g3x  ?. . . . . . .gnx  ???
c) hx  expx  h

x  expx  h

x  h3x    hnx  expx.
Funções implícitas
Todas as funções com as quais trabalhamos até agora são funções dadas explicitamente, isto é,
são funções do tipo y  fx,em que y é dado diretamente ou explicitamente. Mas, frequentemente a
relação entre x e y é determinada por uma equação da forma Fx,y  0, que não está resolvida para
y.
Definição
Seja Fx,y  0 uma equação em x e y. Se existir uma função f tal que para todo x de seu domínio
se tenha Fx, fx  0, diz-se que f é dada implicitamente por esta equação.
Exemplos
a) A hipérbole equilátera pode ser representada pela equação xy  1. Esta equação determina
uma função implícita de x, que pode ser dada explicitamente como y  1x .
b) A circunferência de centro na origem e raio 1 é representada no plano xy pela equação
x2  y2  1. Tal circunterência não é o gráfico de uma função, pois existe uma reta vertical que
encontra a circunferência em dois pontos. Isto também fica evidente se explicitarmos y :
y  1  x2 .
Podemos obter uma função g escolhendo um arco da circunferência acima do eixo 0x, caso em que
ela tem por expressão
y  gx  1  x2 .
Escohlendo um arco abaixo do eixo 0x, obteremos uma função h, que tem por expressão
y  hx   1  x2 .
Note que
x2  gx2  1  0 e x2  hx2  1.
Chamando Fx,y  x2  y2  1,estas relações ficam
Fx,gx  0 e Fx,hx  0.
c) Nos exemplos acima, pudemos explicitar y em função de x. Mas não é sempre assim. Por
exemplo, sendo Fx,y  x4  y4  x2  y2  x  y  1, a equação Fx,y  0 é
x4  y4  x2  y2  x  y  1  0, e neste caso não há como explicitar y em termos de x. Mas pode
suceder que exista uma função f que satisfaz a equação, no sentido de que
x4  fx4  x2  fx2  x  fx  1,
para todo x do seu domínio.
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Derivação implícita
Vamos admitir que a função y  fx,definida implicitamente pela equação Fx,y  0, seja
derivável, podemos calcular sua derivada sem ser necessário primeiro explicitar y em função de x.
Para tanto faremos uso da regra da cadeia para a função potência, (os demais casos são resolvidos
usando a regra da cadeia em sua versão geral).
Exemplo 1 Supondo que a função y  fx,  definida implicitamente pela equação x2  y2  1, seja
derivável, podemos usar a regra da cadeia para obter f

x. Substituindo y por fx, temos
x2  fx2  1.
Derivando ambos os lados da equação em relação a x, obtemos
2x  2fxf

x  0  x  fxf

x  0  f

x  x
fx
 xy .
Ou seja
dy
dx
 xy .
Vamos agora calcular, primeiro, a inclinação m da reta tangente à curva y  fx no ponto  3
5
, 4
5
e
depois a equação da reta tangente.
a)
m 
dy
dx x,y
3
5
, 4
5
 xy x,y 35 ,
4
5

 3
5
4
5
 3
4
b)
y  y0  mx  x0  y  45
 3
4
x  3
5

y  3
4
x  9
20
 4
5
 3
4
x  5
4

y  3
4
x  5
4
Exemplo 2 Calcule
dy
dx
por derivação implícita: x4  y4  x2  y2  x  y  1.
Supondo que a equação acima defina y como uma função de x, fazendo y  fx,
:x4  fx4  x2  fx2  x  fx  1, agora derivando ambos os membros em relação a x temos
4x3  4fx3f

x  2x  2fxf

x  1  f

x  0 
f

x 4fx3  2fx  1  4x3  2x  1 
f

x  4x
3  2x  1
4fx3  2fx  1
  4x
3  2x  1
4y3  2y  1
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EXERCÍCIOS
1) Calcule a equação da reta tangente às curvas fx  x100 no ponto de abscissa x0, .nos casos
a) x0  1 b x0  1 c x0  1/10.
2) Calcule
ax30  x

b d
dx
x10  x  1 c d
du
u2  3
d d
dt
t15  t9  t ex9  73

f d
dx
x13  x  5
g1  x2  x4

h d
ds
s2  s7 i d
dz
z23  z  1
3) Calcule
a d
dx
2x  3 b d
dt
3t2  t  4 c 5x3  5x
4
4

d 3x
4
4
 4x  212

e d
du
u4  u3  u2  2u f x
2  9x  2
4

4) Calcule a derivada de:
ax10  1x2  1 b2x6  x4  13x7  x2
c5x6  x  12x  4 d3x3  2x2/7  1x4  x/9
5) Calcule h

1 nos casos:
a hx  9x101  909xx2  2x b hx  x9  x  10x  1
6) Calcule a derivada de:
ax2 lnx b3x  1 lnx c2 lnx  3x2
dx3 expx e4x2  2ex f  3x2ex
7) Calcule a derivada de:
a5x  210 b5x2  2
5 c x  1x
5
d3x3  lnx
3
e x
2
3  2 lnx f ln5x
g3x  expx5 hlnx  ex7 iexp5x
8) Sendo f  f

, g  3g
, mostre que fg

 4fg/3
9) Calcule a derivada de:
a 10
x2
b 1x 
3
x2
 2 c  x  1
lnx
d 3
x2  2
e 4
3x3  2
f 5
expx
g x
x2  1
h 2x
2  1
x2  2
i ln
2x
1  x
10) Calcule todas as derivadas não nulas de fx  x5  x4  x3  x2  x  1.
11) Determine, se possível, uma fórmula para a derivada de ordem n de fx  1/x.
12) Derive implicitamente
ax2  5y3  x  5 bx3  y3  4xy  0 cx2y  3xy3  3  x
dxy  lnx  8 e x  y  x  y2 fy lnx  xy  5y  x
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