Aula 16 Distribuições Hipergeométrica e Geométrica

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Cássius Henrique 
Aula 16 
Distribuições Hipergeométrica e geométrica 
CEA 012 – Probabilidade 
Distribuições Hipergeométrica e geométrica 
Cássius Henrique Xavier Oliveira 
Universidade Federal de Ouro Preto 
Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas 
2015 
Cássius Henrique 
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CEA 012 – Probabilidade 
Distribuição Geométrica 
 
 Consideremos uma sequência ilimitada de ensaios de Bernoulli, com probabilidade de 
sucesso p em cada ensaio. Designemos sucesso por S e falha por F. Realizamos os 
ensaios até que ocorra o primeiro sucesso. 
 
 O espaço amostral para este experimento é o conjunto {S, FS, FFS, FFFS, FFFFS,...}. 
 
 Ou seja, um elemento típico desse espaço amostral é uma sequência de n em que 
nos n – 1 primeiros ensaios temos F e na n-ésima temos S. 
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Distribuição Geométrica 
 
 A distribuição geométrica apresenta duas parametrizações importantes, que têm 
interpretações distintas. 
 
 Uma das parametrizações da função geométrica conta o número de falhas até 
que ocorra o primeiro sucesso. Notemos que nessa parametrização podemos 
incluir o zero como sendo um possível resultado, pois podemos ter sucesso já no 
primeiro ensaio de Bernoulli. 
 A segunda parametrização da geométrica conta o número de ensaios de 
Bernoulli necessário para se obter um sucesso. Assim nessa parametrização 
não é possível se ter o zero, portanto nessa parametrização da geométrica o 
domínio será todo número natural, exceto o zero. 
 
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Distribuição Geométrica 
 
Definição 1 (conta o número de falhas até o sucesso) 
 Seja X a v.a. que fornece o número de falhas até o primeiro sucesso. A v.a. X tem 
distribuição Geométrica com parâmetro p, 0 < p < 1, se a f.d.p é dada por: 
 
 
 Notação X ~ Geo(p) 
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Distribuição Geométrica 
 
Definição 2 (conta o número ensaios para se obter um sucesso) 
 Seja X a v.a. que fornece o número de ensaios de Bernoulli realizados até que se 
obtenha o primeiro sucesso. A v.a. X tem distribuição Geométrica com parâmetro p, 0 < 
p < 1, se a f.d.p é dada por: 
 
 
 Notação X ~ Geo(p) 
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Distribuição Geométrica 
 ²
²
1
)(
1
)(
 




p
p
XVar
p
p
XE
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Exemplo 1 
Considere o experimento em que uma moeda viciada é lançada sucessivas vezes, até que 
ocorra a primeira cara. Seja X a variável aleatória que conta o número de coroas obtidos 
no experimento (ou seja, a quantidade de lançamentos anteriores à obtenção da primeira 
cara). Sabendo que a probabilidade de cara é de 0,4, calcule P(2 < X < 4) e P(X > 1|X < 2). 
 
 
 
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Exemplo 1 – Solução 
Considere o experimento em que uma moeda viciada é lançada sucessivas vezes, até que 
ocorra a primeira cara. Seja X a variável aleatória que conta o número de coroas obtidos 
no experimento (ou seja, a quantidade de lançamentos anteriores à obtenção da primeira 
cara). Sabendo que a probabilidade de cara é de 0,4, calcule P(2 < X < 4) e P(X > 1|X < 2). 
 
 
 
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L3.3. Exercício 1 
Considere os dados do Exemplo 1. Calcule o P(X > 1) 
 
 
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L3.3. Exercício 1 – Solução 
Considere os dados do Exemplo 1. Calcule o P(X > 1) 
 
 
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L3.3. Exercício 2 
Um pesquisador está realizando um experimentos químico independente e sabe que a 
probabilidade de que cada experimento apresente uma reação positiva é 0,3. Qual é a 
probabilidade de que menos de 5 reações negativas ocorram antes da primeira positiva? 
 
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L3.3. Exercício 2 – Solução 
Um pesquisador está realizando um experimentos químico independente e sabe que a 
probabilidade de que cada experimento apresente uma reação positiva é 0,3. Qual é a 
probabilidade de que menos de 5 reações negativas ocorram antes da primeira positiva? 
 
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L3.3. Exercício 3 
Um dado honesto é lançado sucessivas vezes até que apareça pela primeira vez a face 1. 
Seja X a variável aleatória que conta o número de ensaios até que corra o primeiro “1”. 
Qual a probabilidade de obtermos “1” no terceiro lançamento. 
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L3.3. Exercício 3 – Solução 
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Distribuição Hipergeométrica 
 Considere uma população com N objetos nos quais M são classificados como do tipo 
A e (M – N) são classificados como do tipo B. Por exemplo, em um lote de 100 (= N) 
peças temos 10 (= M) peças defeituosas e 90 (N – M) peças conformes. Tomamos uma 
amostra ao acaso, sem reposição e não ordenada de objetos. 
 Seja X a variável aleatória que conta o número de objetos classificados como do 
tipo A na amostra. Então a distribuição de probabilidade de X é dada por: 
 
 
 
 
 Notação X ~ Hgeo (M, N, n) 
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 Podemos reescrever P(X) como: 
 
 
 
 
 
 
 
 Legenda: A objetos de um tipo; B objetos restantes de outro tipo; n objetos extraídos 
sem reposição; x: objetos do tipo A 
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 
²
1
1
1)(
)(
 












N
n
N
MN
N
M
nXVar
N
M
nXE
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Exemplo 2 
Numa Loteria, um apostador escolhe 6 números de 1 a 54. Qual a probabilidade dele 
acertar 5 números? 
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Exemplo 2 – Solução 
Numa Loteria, um apostador escolhe 6 números de 1 a 54. Qual a probabilidade dele 
acertar 5 números? 
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L3.3. Exercício 4 
Uma empresa fabrica um tipo de tomada que são embalados em lote de 25 unidades. Para 
aceitar o lote enviado por essa fábrica, o controle de qualidade da empresa tomou o 
seguinte procedimento: sorteia-se um lote e desse lote selecionam-se 8 tomadas para 
teste, sem reposição. Se for constatado, no máximo, duas tomadas defeituosas, aceita-se 
o lote fornecido pela fábrica. Se o lote sorteado tiver 7 peças defeituosas, qual a 
probabilidade de se aceitar o lote? 
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L3.3. Exercício 4 – Solução 
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L3.3. Exercício 5 
Suponha que 3 moedas comemorativas foram colocadas por engano em um cofrinho no 
qual já haviam algumas moedas comuns, o qual ficou contendo um total de 12 moedas. 
Suponha que, devido à dificuldade de tirar as moedas do cofrinho sem quebrá-lo, vamos 
retirar ao acaso um total de 4 moedas, qual a probabilidade de retirarmos no 
mínimo 1 moeda comemorativa? 
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L3.3. Exercício 5 – Solução 
Suponha que 3 moedas comemorativas foram colocadas por engano em um cofrinho no 
qual já haviam algumas moedas comuns, o qual ficou contendo um total de 12 moedas. 
Suponha que, devido à dificuldade de tirar as moedas do cofrinho sem quebrá-lo, vamos 
retirar ao acaso um total de 4 moedas, qual a probabilidade de retirarmos no 
mínimo 1 moeda comemorativa? 
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Gabarito 
1. 0,6 
2. 0,83193 
3. 0,09645 
4. 0,0010069 
5. 0,7454 
 
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Sugestão para a próxima aula... 
 
 
 
 
 Estudar os itens 3.7 (apenas a distribuição geométrica) e 3.8 da referência abaixo; 
fazer exercícios de todas as aulas até esta. 
MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatística Aplicada e Probabilidade para 
Engenheiros. Editora LTC.