Aula 27 Vetores aleatórios; Distribuições de Probabilidades Conjuntas para Variáveis Discretas

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Aula 27 
Vetores aleatórios 
Distribuições de Probabilidades Conjuntas para Variáveis Discretas 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
Distribuições de Probabilidades Conjuntas para 
Variáveis Discretas 
Cássius Henrique Xavier Oliveira 
Universidade Federal de Ouro Preto 
Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas 
2015 
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Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
Contextualizando... 
 
 
 
 
 
 
 
 Até agora estudamos distribuições de probabilidade associadas a apenas uma VA de 
cada vez... Será que, na prática, apenas essa abordagem será necessária? Em caso 
negativo, como tratar situações em que há mais de uma VA de interesse em um 
processo? 
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Vetor aleatório 
 
 Na parte final desta disciplina iremos estudar conjuntamente o comportamento de n 
VA’s, por exemplo, X1,X2, ...,Xn. Sendo assim, é sempre conveniente usar a notação de 
vetor X = (X1,X2, ...,Xn) e se referir a X como um vetor aleatório. 
 Quando a notação de vetor é usada, deve-se ter em mente que, se X é um vetor 
aleatório n−dimensional, então sua função de distribuição é definida como uma função 
no espaço n−dimensional Rn. 
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Aplicação de Distribuição de probabilidades conjuntas 
 
 Classificação de sinais transmitidos e recebidos. Cada sinal pode ser classificado como 
“alta qualidade”, “,média qualidade” e “baixa qualidade”. 
 
 X: quantidade de sinais transmitidos com alta qualidade 
 Y: quantidade de sinais transmitidos com baixa qualidade 
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Aplicação de Distribuição de probabilidades conjuntas 
 
 Peças retangulares 
 
 X: variável aleatória para representar o comprimento da peça 
 Y: variável aleatória para representar a largura da peça 
 
 Variações podem ocorrer nas dimensões da peça em detrimento do molde de corte 
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Distribuição Bivariada 
 
 Em muitos experimentos é necessário considerar propriedades de 2 variáveis 
aleatórias simultaneamente. 
 A distribuição de probabilidade conjunta de 2 VA’s é chamada Distribuição Bivariada. 
 
Distribuição 
Bivariada 
Caso Discreto 
Caso Contínuo 
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Distribuição Bivariada 
 
 Em muitos experimentos é necessário considerar propriedades de 2 variáveis 
aleatórias simultaneamente. 
 A distribuição de probabilidade conjunta de 2 VA’s é chamada Distribuição Bivariada. 
 
Distribuição 
Bivariada 
Caso Discreto 
Caso Contínuo 
Interesse 
da 
disciplina 
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Distribuição Conjunta para o caso Discreto 
 
 Suponha que dado experimento aleatório envolve duas VAD’s: X e Y. 
 Se X e Y são discretas com um número finito de possíveis valores, então teremos 
um número finito de diferentes valores (x, y) para o par (X, Y) 
 Se X e Y são discretas com um número infinito de possíveis valores, então 
teremos um número infinito de diferentes valores (x, y) para o par (X, Y) 
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Distribuição Conjunta para o caso Discreto 
 A função de probabilidade conjunta de X e Y é definida como pXY ou fXY tal que, para 
qualquer ponto (x, y) no plano xy, temos pXY (x, y) = P(X = x e Y = y) 
 
 Se o par (x, y) não é um dos valores possíveis do par de VA’s (X, Y), então: 
 pXY (x, y) = zero 
 
 A sequência (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3),... Inclui todos os valores possíveis do par (X, Y), 
 então: 
 
 Para qualquer subconjunto A do plano xy, 
  1,
1 1




i j
jiXY yxp    
 



Ayx
iiXY
ii
yxpAYXP
,
,,
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Distribuição Bivariada para o caso Discreto 
 
 Tabela de Probabilidades: Tabela de Dupla entrada que especifica a probabilidade 
conjunta de X assumir o valor x e Y assumir o valor y. 
 
x1 
y1 P(x1, y1) 
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Distribuição Bivariada para o caso Discreto 
 
 Tabela de Probabilidades: Tabela de Dupla entrada que especifica a probabilidade 
conjunta de X assumir o valor x e Y assumir o valor y. 
 
x1 x2 
y1 P(x1, y1) P(x2, y1) 
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Distribuição Bivariada para o caso Discreto 
 
 Tabela de Probabilidades: Tabela de Dupla entrada que especifica a probabilidade 
conjunta de X assumir o valor x e Y assumir o valor y. 
 
x1 x2 x3 
y1 P(x1, y1) P(x2, y1) P(x3, y1) 
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Distribuição Bivariada para o caso Discreto 
 
 Tabela de Probabilidades: Tabela de Dupla entrada que especifica a probabilidade 
conjunta de X assumir o valor x e Y assumir o valor y. 
 
x1 x2 x3 ... 
y1 P(x1, y1) P(x2, y1) P(x3, y1) 
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Distribuição Bivariada para o caso Discreto 
 
 Tabela de Probabilidades: Tabela de Dupla entrada que especifica a probabilidade 
conjunta de X assumir o valor x e Y assumir o valor y. 
 
x1 x2 x3 ... 
y1 P(x1, y1) P(x2, y1) P(x3, y1) 
y2 P(x1, y2) P(x2, y2) P(x3, y2) 
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Distribuição Bivariada para o caso Discreto 
 
 Tabela de Probabilidades: Tabela de Dupla entrada que especifica a probabilidade 
conjunta de X assumir o valor x e Y assumir o valor y. 
 
x1 x2 x3 ... 
y1 P(x1, y1) P(x2, y1) P(x3, y1) 
y2 P(x1, y2) P(x2, y2) P(x3, y2) 
y3 P(x1, y3) P(x2, y3) P(x3, y3) 
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Distribuição Bivariada para o caso Discreto 
 
 Tabela de Probabilidades: Tabela de Dupla entrada que especifica a probabilidade 
conjunta de X assumir o valor x e Y assumir o valor y. 
 
x1 x2 x3 ... 
y1 P(x1, y1) P(x2, y1) P(x3, y1) 
y2 P(x1, y2) P(x2, y2) P(x3, y2) 
y3 P(x1, y3) P(x2, y3) P(x3, y3) 
... 
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Exemplo 1 
Uma urna contém 4 bolas pretas (P), 2 bolas brancas (B) e 2 bolas vermelhas (V). 
Extraem-se 2 bolasdessa urna, sem reposição. Seja X o número de bolas pretas e Y o 
número de bolas vermelhas. Apresente a tabela de distribuição bivariada de X e Y 
(Comece utilizando a estrutura apresentada abaixo). 
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Exemplo 1 – Solução 
Uma urna contém 4 bolas pretas (P), 2 bolas brancas (B) e 2 bolas vermelhas (V). 
Extraem-se 2 bolas dessa urna, sem reposição. Seja X o número de bolas pretas e Y o 
número de bolas vermelhas. Apresente a tabela de distribuição bivariada de X e Y 
(Comece utilizando a estrutura apresentada abaixo). 
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Exemplo 1 – Solução 
 
 
 
 
 
A Função de probabilidade Conjunta de X e Y será apresenta na tabela abaixo: 
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Exemplo 1 – Solução 
 
 
 
 
 
A Função de probabilidade Conjunta de X e Y será apresenta na tabela abaixo: 
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L5.1. Exercício 1 
(CEA012 – Teste T4/2014-adp) Uma empresa seguradora tem ao balcão dois vendedores 
de seguros de vida. A experiência tem revelado que 50% das pessoas que contatam o 
vendedor A e apenas 25% das pessoas que contatam o vendedor B fazem um seguro de 
vida. Considere o par aleatório (X, Y) que representa o número de apólices vendidas 
diariamente por A e B, respectivamente, num dia em que cada vendedor atende 2 pessoas. 
Admitindo que cada pessoa contatou um só vendedor, foi gerada a distribuição de 
probabilidade conjunta que se encontra na tabela abaixo. Note que X e Y são variáveis 
aleatórias discretas. 
 
Y 
X 
0 1 2 
0 0,140625 0,093750 0,015625 
1 0,281250 0,187500 0,031250 
2 0,140625 0,093750 0,015625 
a) Determine a probabilidade de x = 1 e y > 1 
b) Determine P (x < 1,8 1 e y < 1,95) 
c) Determine a probabilidade de x = 2 
d) Determine P (0,4 < x < 1 e 1,75 < y < 3,4) 
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L5.1. Exercício 2 
Suponha que sejam lançados 2 dados perfeitos. Seja X o número de vezes que a face 6 é 
sorteada e Y, o número de vezes em que a face 5 é sorteada. 
a) Organize a função de probabilidade conjunta em tabela e gráfico. 
b) Determine a probabilidade de x = 1 e y > 1 
c) Determine P (x < 1,56 1 e y < 1,765) 
d) Determine a probabilidade de x = 2 
e) Determine P (0,4777... < x < 1 e –0,5 < y < 3,8) 
 
 
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L5.1. Exercício 3 
(CEA012 – EE/2014-adp) Seja (X, Y) é uma variável aleatória bidimensional discreta, com 
a seguinte função de probabilidade 
 
 
a) Apresente a tabela de distribuição conjunta de X e Y (Utilize 4 casas decimais) 
b) Discorra sobre os axiomas de probabilidade para concluir se a função é uma densidade 
de probabilidade 
c) Determine a probabilidade de x = 2 e y > 1 
d) Determine P (x < 1,9333... e y < 10/3) 
e) Determine a probabilidade de y = 3 
f) Determine P (–0,55 < x < 0 e 1,6 < y < 5/2) 
 
 
 








contráriocaso
yexpara
yx
yxP ji
ji
ji
 , 0
3 ,2 ,1 ,0 2 ,1 ,0 ,
42
2
,
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Gabarito 
1. a) 0,21875; b) 0,703121; c) 0,25; d) 0,03125 
 
2. a) 
 
 
 
 b) zero; c) 34/36; d) 1/36; e) 10/36 
 
3. c) 0,3095; d) 0,4762; e) 0,3571; f) zero 
 
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Sugestão para a próxima aula... 
 
 
 
 
 
 Estudar o item 5.1.1 da referência abaixo: 
MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatística Aplicada e Probabilidade para 
Engenheiros. Editora LTC.