UERJ DISCURSIVA

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Professor João da Costa 
GEOMETRIA - PV NOITE 
 
GEOMETRIA - EXAME DIRCURSIVO UERJ 
 
Este apanhado de exercícios foi feito para que o aluno tenha uma referência para o exame discursivo de 
Matemática do Vestibular Estadual de 2018 (UERJ), especificamente em geometria. Segue abaixo o conteúdo 
programático listado pelo edital para este exame. 
GEOMETRIA E TRIGONOMETRIA 
• Geometria de posição: projeções ortogonais; distâncias e ângulos 
• Semelhança de figuras: congruências; proporcionalidades; comprimentos; áreas; volumes 
• Polígonos e círculos: relações métricas e angulares; lei dos senos e dos cossenos; áreas; perímetros 
• Círculo trigonométrico: linhas trigonométricas; identidades; adição, subtração e duplicação de arcos 
• Sólidos com arestas: poliedros; prismas; pirâmides; áreas; volumes; inscrição; circunscrição 
• Sólidos sem arestas: cilindros; cones; esferas; troncos; áreas; volumes 
• Geometria analítica no R²: reta; circunferência; elipse; hipérbole; parábola 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 1 
Um observador, situado no ponto A, distante 30 m do ponto B, vê um edifício sob um ângulo de 30º, 
conforme a figura abaixo. Baseado nos dados da figura, determine a altura do edifício em metros e divida o 
resultado por √2 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenvolvimento e resposta: 
 
QUESTÃO 2 
Calcule a área do triângulo ABC tal que AB= 1 cm, BC= 0,5 cm e o ângulo ABC tem o dobro da medida do 
ângulo BAC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenvolvimento e resposta: 
 
QUESTÃO 3 
Marca-se em um pneu, no ponto de seu contato com o solo, um ponto com tinta, que chamaremos de A. O 
carro percorre um determinado trecho, onde o pneu gira 18780◦ . Qual a distância do ponto A ao novo ponto 
de contato do pneu com o solo, chamado de P, em funcão do raio r do pneu? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenvolvimento e resposta: 
 
QUESTÃO 4 
Considere as funções definidas f: IR  IR e g: IR  IR, repectivamente, por f(x) = x2 + 1 e g(x) = cosx - senx. 
Explicite a função composta h(x) = f(g(x)) e determine seu valor máximo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenvolvimento e resposta: 
 
QUESTÃO 5 
a) Construa o gráfico das funções f(x) = 2 + sen x e g(x) = 2 + cos 2x para 0  x  2  . 
 
b) Admita que f(x) e g(x) indiquem as cotações das ações das empresas F e G na bolsa de valores de São Paulo 
no intervalo de horas 0  x  2  (x = 0 indica 12h00, e x = 2   6,28 indica, aproximadamente, 18h17). 
Determine algebricamente (equações e/ou inequações) o intervalo de horas, com 0  x  2  , em que a 
cotação das ações da empresa F foi maior ou igual à cotação das ações da empresa G. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenvolvimento e resposta: 
 
QUESTÃO 6 
Os números reais a, b e y são tais que a  0 e a cos y  b sen y . Se 
 
 
 
a seny b cos y
tg x ,
a cosy b seny



 calcule o valor de 
 tg (x – y) em função de a e b somente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenvolvimento e resposta: 
 
QUESTÃO 7 
Observe esta figura, formada por dois triângulos ABC e CDF e dois quadrados ACDE e BCFG 
 
 
 
 
Se os lados dos quadrados ACDE e BCFG medirem, respectivamente, 5 cm e 8 cm, a área do triângulo CDF 
será, em cm², igual a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenvolvimento e resposta: 
 
QUESTÃO 8 
A figura mostra um triângulo equilatero de lado 1, um circulo inscrito e um segundo círculo tangente a dois 
lados do triângulo e tangente exteriormente ao primeiro círculo. 
 
 
 
Calcule a área da região sombreada, limitada por um lado do triângulo e pelos dois círculos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenvolvimento e resposta: 
 
QUESTÃO 9: 
Dois quadrados de papel se sobrepõem como na figura. A região não sobreposta do quadrado menor 
corresponde a 52% de sua área e a região não sobreposta do quadrado maior corresponde a 73% de sua área. 
Qual é a razão entre o lado do quadrado menor e o lado do quadrado maior? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenvolvimento e resposta: 
 
QUESTÃO 10: 
Calcule a área, em cm², de um triângulo retângulo cuja a hipotenusa mede 10 cm e cujo o raio da 
circunferência inscrita mede 1 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenvolvimento e resposta: 
 
QUESTÃO 11: 
Dois terrenos, A e B, ambos com a forma de trapézio, têm as frentes de mesmo comprimento voltadas para a 
Rua Alfa. Os fundos dos dois terrenos estão voltados para a Rua Beta. Observe o esquema: 
 
 
 
As áreas de A e B são, respectivamente, proporcionais a 1 e 2, e a lateral menor do terreno A mede 20 m. 
Calcule o comprimento x, em metros, da lateral maior do terreno B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenvolvimento e resposta: 
 
QUESTÃO 12: 
Na figura temos um trapézio isósceles, no qual a base AB mede o dobro da base CD e E é a interceseção das 
diagonais. Se T é a área do trapézio, qual a área do triângulo BEC? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenvolvimento e resposta: 
 
QUESTÃO 13: 
Determine a medida da aresta de um cubo, sabendo que essa medida, sua área total e seu volume formam, 
nessa ordem , uma progressão aritmética crescente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenvolvimento e resposta: 
 
QUESTÃO 14: 
Mostre que a soma das distancias de um ponto interior a um tetraedro regular às suas faces é constante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenvolvimento e resposta: 
 
QUESTÃO 14: 
As medidas em centímetros das arestas de um bloco retangular são as raízes da equação polinomial 
   3 2x 14x 64x 96 0. Denominando-se r, s e t essas medidas, se for construído um novo bloco retangular, 
com arestas medindo  r 1 ,  s 1 e  t 1 , ou seja, cada aresta medindo 1cm a menos que a do bloco 
anterior. Assim, qual será a medida do volume desse novo bloco ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenvolvimento e resposta: 
 
QUESTÃO 15: 
Determine a medida da aresta de um cubo, sabendo que essa medida, sua área total e seu volume formam, 
nessa ordem , uma progressão aritmética crescente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenvolvimento e resposta: 
 
QUESTÃO 15: 
Na ilustração a seguir, à esquerda, uma pirâmide regular invertida, com base quadrada de lado medindo 2 e 
altura 6, está preenchida por um líquido, até dois terços de sua altura. Se a pirâmide é colocada na posição 
ilustrada à direita, qual será então a altura h do líquido? Indique (h + 2∛19)².Desenvolvimento e resposta: 
 
QUESTÃO 16: 
A pirâmide ABCD é tal que as faces ABC, ABD e ACD são triângulos retângulos cujos catetos medem 
a. Considere o cubo de volume máximo contido em ABCD tal que um de seus vértices seja o ponto A, como 
ilustra a figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenvolvimento e resposta: 
 
QUESTÃO 17: 
Um sorvete de casquinha consiste de uma esfera (sorvete congelado) de raio 3 cm e um cone circular reto 
(casquinha), também com 3 cm de raio. Se o sorvete derreter, ele encherá a casquinha completa e exatamente. 
Suponha que o sorvete derretido ocupe 80% do volume que ele ocupa quando está congelado. Calcule a altura 
da casquinha. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenvolvimento e resposta: 
 
QUESTÃO 18: 
De um disco circular, de raio medindo 6 e centro C, cortamos um setor cujo arco mede 13. Usando o pedaço 
maior, fazemos um cone reto juntando os lado CA e CB, como nas figuras abaixo. 
 
 
 
 
Não use aproximações para � e determine: 
 
a) O perímetro da base do cone 
b) O volume do cone 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenvolvimento e resposta: 
 
QUESTÃO 19: 
Um cilindro reto de ferro é derretido, e o ferro obtido, que tem o mesmo volume do cilindro, é moldado em 
esferas com raio igual a metade do raio da base do cilindro. Se a altura do cilindro é quatro vezes o diâmetro 
de sua base, quantas são as esferas obtidas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenvolvimento e resposta: 
 
QUESTÃO 19: 
Num laboratório há dois tipos de recipientes, conforme a figura abaixo. O primeiro chamado tubo de ensaio 
possui internamente o formato de um cilindro circular reto e fundo semiesférico. O segundo, chamado de 
“cone de Imhoff”, possui internamente o formato de um cone circular reto. 
 
 
 
a) Sabendo que o volume de um “cone de Imholf, com raio da base igual a 2cm, é de 60ml, calcule a altura h 
desse cone. 
 
b) Calcule o volume (em ml) do tubo de ensaio com raio da base medindo 1cm e que possui a mesma altura h 
do cone de Imhoff. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenvolvimento e resposta: 
 
QUESTÃO 20: 
Considere a superfície cilíndrica S obtida a partir da superposição dos segmentos AB e DC do retângulo 
ABCD indicado a seguir. 
 
Uma formiga percorreu o caminho mais curto sobre a superfície S, partindo do ponto P para chegar ao ponto 
Q. 
Determine o comprimento desse caminho. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenvolvimento e resposta: 
 
QUESTÃO 21 
Considere as retas de equações 
 
r : y 2x a  e s : y bx c,  
 
em que a, b, c são reais. Sabendo que r e s são perpendiculares entre si, com r passando por (0, 1) e s, por ( 2, 4), determine 
a área do triângulo formado pelas retas r, s e o eixo x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenvolvimento e resposta: 
 
QUESTÃO 22: 
Uma ferrovia foi planejada para conter um trecho retilíneo cujos pontos são equidistantes dos centros A e B de dois 
municípios. Em seu projeto de construção, utilizou-se o plano cartesiano, com coordenadas em quilômetros, em que 
A (1, 2) e B (7,14). Observe o gráfico: 
 
 
 
Determine, utilizando esse sistema referencial, a equação da reta suporte desse trecho retilíneo da ferrovia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenvolvimento e resposta: 
 
QUESTÃO 23: 
Considere o quadrado ABCD como na figura. Assuma que A (5,12) e B (13,6). 
 
 
 
Determine a equação do círculo inscrito no quadrado ABCD. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenvolvimento e resposta: 
 
QUESTÃO 24 
Uma reta passando pelo ponto P(16, 3) é tangente ao círculo 2 2 2x y r  em um ponto Q. Sabendo que a medida do 
segmento PQ é de 12 unidades calcule: 
 
a) a distância do ponto P à origem do sistema cartesiano; 
b) a medida do raio r da circunferência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenvolvimento e resposta: 
 
QUESTÃO 25 
A figura abaixo representa a superfície plana de uma mesa retangular BFGH na qual estão apoiados os seguintes 
instrumentos para desenho geométrico, ambos de espessuras desprezíveis: 
 
– um transferidor com a forma de um semicírculo de centro O e diâmetro AB; 
– um esquadro CDE, com a forma de um triângulo retângulo isósceles. 
 
 
 
Considere as informações abaixo: 
 
ED está contido em BF; 
OA está contido em BH; 
AB = 10 cm; 
BD = 13 cm. 
 
Calcule a medida, em centímetros, do menor segmento que liga a borda do transferidor à borda do esquadro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenvolvimento e resposta: 
 
QUESTÃO 26 
A figura mostra um plano cartesiano no qual foi traçada uma elipse com eixos paralelos aos eixos coordenados. 
 
 
 
Valendo-se das informações contidas nesta representação, determine a equação reduzida da elipse. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenvolvimento e resposta: 
 
QUESTÃO 27 
Existem pessoas que nascem com problemas de saúde relacionados ao consumo de leite de vaca. A pequena Laura, 
filha do Sr. Antônio, nasceu com este problema. Para solucioná-lo, o Sr. Antônio adquiriu uma cabra que pasta em um 
campo retangular medindo 20 m de comprimento e 16 m de largura. Acontece que as cabras comem tudo o que aparece 
à sua frente, invadindo hortas, jardins e chácaras vizinhas. O Sr. Antônio resolveu amarrar a cabra em uma corda presa 
pelas extremidades nos pontos A e B que estão 12 m afastados um do outro. A cabra tem uma argola na coleira por 
onde é passada a corda, de tal modo que ela possa deslizar livremente por toda a extensão da corda. Observe a figura e 
responda a questão a seguir. 
 
Qual deve ser o comprimento da corda para que a cabra possa pastar na maior área possível, dentro do campo 
retangular? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenvolvimento e resposta: 
 
QUESTÃO 28 
A parábola de equação y = x2 corta a circunferência de centro (0, 0) e raio 2 nos pontos A e B. Onde, no plano 
cartesiano, o ponto médio do segmento AB está localizado? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenvolvimento e resposta: 
 
QUESTÃO 29 
Uma hipérbole equilátera é aquela em que b=a. Determine a equação reduzida de uma hipérbole de focos 
F1(-4,0) e F2(4,0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenvolvimento e resposta: 
 
QUESTÃO 30 
Determine a equação da hipérbole cujos focos são os pontos F1(-10,0) e F2(10,0) e a excentricidade é e=5/3 e 
faça seu esboço. 
 
 
Desenvolvimento e resposta: