lista de Álgebra Linear 2 (operadores autoadjuntos)

Prévia do material em texto

Lista de exercícios de álgebra linear 
 
1- Ache uma base para o complemento ortogonal do 
subespaço gerado pelos vetores 𝑢 = (3, −1,2) 𝑒 𝑣 =
(−1,2,3). 
2- Dado o operador 𝐴: ℝ3 → ℝ3 definido por 𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
(𝑥 + 𝑦 + 𝑧, 3𝑥 − 2𝑦 − 𝑧, −2𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧) ,obtenha bases 
para os seguintes subespaços de ℝ3: 
Im(𝐴), 𝑁(𝐴), 𝐼𝑚(𝐴∗) 𝑒 𝑁(𝐴∗). 
3- Prove que se (𝐴𝐵)∗ = 𝐵∗𝐴∗ . 
4- Prove que a adjunta de 𝐴: 𝐸 → 𝐸 onde Av=(v,a)b, é 𝐴∗𝑣 =
(𝑣, 𝑏)𝑎. 
5- Seja A uma matriz real quadrada . Se o traço de 𝐴𝑡𝐴 é 
zero então 𝐴 = 0. 
6- Considere as bases {𝑢, 𝑣, 𝑤} ⊂ ℝ3 onde u = (1,1,1) 𝑒 𝑣 =
(1,2,3) 𝑤 = (1, −2,1). Determine as matrizes em relação 
as bases canônicas dos funcionais lineares 𝑢∗, 𝑣∗ e 
, 𝑤∗: ℝ3 → ℝ . 
7- Para todo conjunto não vazio X num espaço vetorial 
munido de produto interno , prove que 𝑋⊥
⊥
= 𝑆(𝑋). 
Subespaço gerado por X. 
8- Sejam 𝐹1 e 𝐹2 subespaços do espaço vetorial F munido de 
um produto interno. Prove que (𝐹1 + 𝐹2)
⊥ = 𝐹1
⊥ ∩ 𝐹2
⊥ e 
𝐹1
⊥ + 𝐹2
⊥. 
9- Para toda transformação linear 𝐴: 𝐸 → 𝐹, entre espaços de 
dimensão finita munidos de produto interno ,prove que a 
restrição de A à imagem de 𝐴∗ define um isomorfismo 
𝐴: 𝐼𝑚(𝐴∗) → 𝐼𝑚(𝐴). Analogamente 𝐴∗ transforma o 
subespaço Im(A) isomorficamente sobre Im(𝐴∗) . 
10- Seja 𝑈 = {𝑢1,𝑢2, 𝑢3, … … . , 𝑢𝑟} uma base ortonormal 
do subespaço F contido no espaço vetorial E dotado de 
produto interno . Defina a aplicação 𝑃: 𝐸 → 𝐸 onde P(v)=u, 
𝑢 ∈ 𝑈 (aplicação projeção). Prove que 𝑃(𝑣) =
∑ (𝑣, 𝑢𝑖)𝑢𝑖
𝑟
𝑖=1 , Im(P)=F , N(P)=𝐹
⊥ e 𝑃2 = 𝑃. 
11- Sejam A e B operadores lineares de E em E ,munido de 
um produto interno. Prove que se 𝐴⋆𝐵(𝑢) = 0 então A(u) 
e B(u) são perpendiculares. 
12- Sejam 𝑈 = {𝑢1,𝑢2, 𝑢3, … … . , 𝑢𝑛} ⊂ 𝐸 e 
V={𝑣1,𝑣2, 𝑣3, … … . , 𝑣𝑚} ⊂ 𝐹 conjuntos de geradores nesses 
espaços vetoriais com produto interno. Sejam ainda 
𝐴: 𝐸 → 𝐹 e B: 𝐹 → 𝐸 transformações lineares tais que 
(𝐴𝑢𝑗,𝑣𝑖) = (𝑢𝑗,𝐵𝑣𝑖) para todo 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 e 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚. 
Então prove que 𝐵 = 𝐴∗. 
 Presente de feriado em homenagem ao nosso saudoso Ellon 
Lages Lima.