Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro AP1 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 26/03/2017 Nome: Matr´ıcula: Atenc¸a˜o! • Identifique a Prova, colocando nome e matr´ıcula. • Sua prova sera´ corrigida online. Siga as • Resoluc¸o˜es feitas nesta folha ou no rascunho na˜o sera˜o corrigidas. instruc¸o˜es na capa deste caderno. • Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao aplicador. Questa˜o 1 (2.0 pt) Este ano, o carnaval de Ladeiro´polis levou 100 mil folio˜es para suas sinuosas e ı´ngremes ruas. Uma pesquisa realizada durante o desfile dos tradicionais blocos Queda Livre e Ladeira Abaixo, apurou que: • O Queda Livre atraiu o dobro de pu´blico que o Ladeira Abaixo • Apenas um terc¸o dos folio˜es que participaram do Queda Livre tambe´m desfilaram no Ladeira Abaixo. • 30 mil folio˜es na˜o desfilaram em qualquer um destes dois blocos, preferindo se divertir em blocos menores. Construa o Diagrama de Venn relativo a este problema, escolhendo as varia´veis que achar conveni- ente e, utilizando este diagrama, determine o nu´mero de folio˜es que desfilaram em ambos os blocos. Importante!!! Tenha atenc¸a˜o no preenchimento do Diagrama. Lembre-se que uma resposta bem justificada deve conter as equac¸o˜es que modelam o problema, montadas a partir do Diagrama de Venn constru´ıdo, com as varia´veis escolhidas, e na˜o a simples verificac¸a˜o de valores intu´ıdos. Soluc¸a˜o: Vamos chamar de U o conjunto de todos os folio˜es de Ladeiro´polis, de L o conjunto dos folio˜es que desfilaram no Ladeira Abaixo e de Q o conjunto dos folio˜es do Queda Livre. Considerando que um folia˜o pode desfilar em nenhum dos dois blocos, apenas um deles ou ambos, temos enta˜o o seguinte diagrama de Venn: Me´todos Determin´ısticos I AP1 2 Utilizando as informac¸o˜es dadas, podemos preencher o diagrama com a quantidade conhecida: Vamos agora utilizar as demais informac¸o˜es. Fac¸amos x = n(Q∩L), isto e´, x folio˜es desfilaram em ambos os blocos. A segunda informac¸a˜o nos diz que x representa um terc¸o dos folio˜es que desfilaram no Queda Livre, logo, o total de folio˜es do queda livre foi de n(Q) = 3 ·n(Q∩L) = 3x. Com isso, o nu´mero de folio˜es que desfilou apenas no Queda Livre foi de n(Q− (Q∩L)) = n(Q)−n(Q∩L) = 3x− x = 2x. Completando o diagrama com essa informac¸a˜o, temos: Sabe-se ainda que o Queda Livre atraiu o dobro de folio˜es que o Ladeira Abaixo, logo n(Q) = 2·n(L), e, portanto, n(L) = 12 n(Q) = 1 2 · 3x = 3 2x. Com isso, n(L− (Q ∩ L)) = 32x− x = x2 . Temos agora todas as informac¸o˜es do diagrama: Para determinar o valor de x, note que x 2 + x+ 2x+ 30.000 = 100.000, Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP1 3 logo x 2 + 2x 2 + 4x 2 = 100.000− 30.000 e, enta˜o, 7x 2 = 70.000. Com isso, 7x = 140.000 e, portanto, x = 20.000, que e´ o nu´mero de folio˜es que desfilou nos dois bolcos. (Este texto e´ comum a`s questo˜es 2 e 3 a seguir.) A Secretaria de Patrimoˆnio de Ladeiro´polis e´ responsa´vel por administrar a frota de automo´veis de servic¸o da cidade. Em func¸a˜o das ı´ngremes ladeiras da cidade, calcula que um ve´ıculo perde 20% de seu valor patrimonial a cada ano completo de uso, relativo ao valor que tinha no ano anterior. Ao final de cada ano completo de uso, a Secretaria recalcula o valor patrimonial de um automo´vel. Se for constatado que ele e´ inferior a 61% do valor original, o ve´ıculo deve ser leiloado. Questa˜o 2 (1.0 pt) Um automo´vel adquirido por R$100.000,00 pela Secretaria sera´ colocado a leila˜o apo´s quantos anos completos? Que valor tera´ enta˜o? Soluc¸a˜o: Primeiramente, note que o ve´ıculo sera´ leiloado quando seu valor for inferior a 61% · 100.000 = 61100 · 100.000 = 61 · 1.000 = 61.000. A cada ano, o valor v do ve´ıculo reduz em 20% = 20100 = 1 5 , logo, seu novo valor sera´ v − 20% v = v − 15 v = ( 1− 15 ) v = 45v. Com isso, para um ve´ıculo adquirido por R$100.000,00, temos o seguinte, • Valor apo´s um ano: v1 = 45 · 100.000 = 4 · 20.000 = 80.000. • Valor apo´s dois anos: v2 = 45 · v1 = 45 · 80.000 = 4 · 16.000 = 64.000. • Valor apo´s treˆs anos: v3 = 45 · v2 = 45 · 64.000 = 4 · 12.800 = 51.200 < 61.000. Logo, o ve´ıculo sera´ leiloado por R$ 51.900,00, apo´s o treˆs anos completos de uso. Questa˜o 3 (1.0 pt) Chamando de V o valor patrimonial do carro (o valor pelo qual foi adquirido), determine a expressa˜o do novo valor de patrimoˆnio apo´s decorridos n anos completos. Soluc¸a˜o: Vimos, na questa˜o anterior, que o valor do ve´ıculo apo´s o fim de um ano completo e´ 45 do valor do ano anterior. Assim, sendo V o valor inicial, • Valor apo´s um ano: V1 = 45 · V . Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP1 4 • Valor apo´s dois anos: V2 = 45 · V1 = 45 · 45 · V = ( 4 5 )2 V . • Valor apo´s treˆs anos: V3 = 45 · V2 = 45 · ( 4 5 )2 V = ( 4 5 )3 V . • Valor apo´s quatro anos: V4 = 45 · V3 = 45 · ( 4 5 )3 V = ( 4 5 )4 V . Prosseguindo assim, vemos que o valor apo´s n anos sera´ dado por Vn = (4 5 )n V. Questa˜o 4 (2.0 pt) Para imprimir folhetos de propaganda, uma gra´fica tem um custo C, composto por um valor fixo de R$ 500,00, mais R$ 500,00 por milheiro de folhetos. A receita que a gra´fica obte´m imprimindo folhetos para seus cliente e´ de R$ 1.000,00 por milheiro. O lucro L com um trabalho de impressa˜o dos folhetos e´ dado pela diferenc¸a entre a receita R e o custo C, isto e´, R − C. Como pol´ıtica comercial, a gra´fica na˜o aceita trabalhos que rendam lucro inferior a R$ 1.000,00. Determine a quantidade m´ınima de folhetos que esta gra´fica aceita imprimir. Soluc¸a˜o: Com as informac¸o˜es dadas, sendo n o nu´mero de milheiros de folheto, C = 500 + 500n R = 1000n logo L = R− C = 1000n− (500 + 500n) = 1000n− 500− 500n = 500n− 500. Como queremos L > 1000, temos 500n− 500 > 1000⇔ 500n > 1500⇔ n > 3. Assim, devem ser impressos, no m´ınimo, 3 milheiros de folhetos, isto e´, 3000 folhetos. (Este texto e´ comum a`s questo˜es 5 e 6 a seguir.) Considere os nu´meros A e B abaixo: A = 7√ 2− √ (−3)2 , B = − √ 18√ 3 . Questa˜o 5 (1.0 pt) Racionalize os nu´meros A e B. Soluc¸a˜o: Temos A = 7√ 2− √ (−3)2 = 7√ 2−√9 = 7√ 2− 3 = 7√ 2− 3 · √ 2 + 3√ 2 + 3 = 7( √ 2 + 3) ( √ 2)2 − 32 = = 7( √ 2 + 3) 2− 9 = 7( √ 2 + 3) −7 = −( √ 2 + 3) = −√2− 3. e B = − √ 18√ 3 = − √ 3 · 6√ 3 = − √ 3 · √6√ 3 = −√6. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP1 5 Questa˜o 6 (1.0 pt) Calcule o valor de A − 1√ 3 +B − √ 33. Soluc¸a˜o: Temos A − 1√ 3 +B − √ 33 = A · ( − √ 3 1 ) +B − √ 32 · 3 = −√3 · A+B − 3√3 = = −√3 · ( −√2− 3 ) + √ 6− 3√3 = √3√2 +√3 · 3−√6− 3√3 = = √ 6 + 3 √ 3−√6− 3√3 = 0. (Este texto e´ comum a`s questo˜es 7, 8 e 9 a seguir.) Considere os conjuntos A = {1, 2, 4, 5} e B = {1, 2, 4, 6, 8, 10}. Questa˜o 7 (0.5 pt) Diga se e´ verdeira ou falsa a proposic¸a˜o p abaixo, justificando. p : ∀b ∈ B, ∃a ∈ A | b = 2a. Soluc¸a˜o: A proposic¸a˜o e´ falsa, pois, tomando b = 1 ∈ B, na˜o existe a ∈ A para o qual 1 = 2a. Para 1 = 2a, precisar´ıamos ter a = 12 , que na˜o e´ elemento de A. O mesmo ocorre com b = 6, pois a = 3 /∈ A. Questa˜o 8 (1.0 pt) Diga se e´ verdeira ou falsa a proposic¸a˜o q abaixo, justificando. q : ∀a ∈ A, ∃b ∈ B | b = 2a. Soluc¸a˜o: Verdadeira! Vamos verificar que ∃b ∈ B | b = 2a e´ verdadeira para todo valor de a ∈ A. • Sendo a = 1, existe b = 2 ∈ B tal que b = 2 = 2 · 1 = 2a. • Sendo a = 2, existe b = 4 ∈ B tal que b = 4 = 2 · 2 = 2a. • Sendo a = 4, existe b = 8 ∈ B tal que b = 8 = 2 · 4 = 2a. • Sendo a = 5, existe b = 10 ∈ B tal queb = 10 = 2 · 5 = 2a. Questa˜o 9 (0.5 pt) Quais sa˜o os elementos do conjunto R abaixo ? R = {(a, b) ∈ A×B | a+ b = 12} Soluc¸a˜o: Vamos procurar os pares (a, b), com a ∈ A e B ∈ B tais que a+ b = 12. Para a = 1 ∈ A, na˜o existe b ∈ B tal que 1 + b = 12. Para a = 2 ∈ A, tomando b = 10 ∈ B, temos a + b = 2 + 10 = 12. Com isso, (2, 10) ∈ R. Note que na˜o existe outro valor de b ∈ B que satisfac¸a a igualdade 2 + b = 12. Para a = 4 ∈ A, tomando b = 8 ∈ B, temos a + b = 4 + 8 = 12. Com isso, (4, 8) ∈ R. Note que na˜o existe outro valor de b ∈ B que satisfac¸a a igualdade 4 + b = 12. Para a = 5 ∈ A, na˜o existe b ∈ B que satisfac¸a a igualdade 5 + b = 12. Para tanto, precisar´ıamos ter b = 7, mas 7 /∈ B. Assim R = {(2, 10), (4, 8)}. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Compartilhar