Valores Vectores Próprios- respostas

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Instituto Polite´cnico de Viseu Escola Superior de Tecnologia
Departamento: Matema´tica A´lgebra Linear e Geometria Anal´ıtica
Curso: Engenharia Electrote´cnica Ano: 1o Semestre: 1o Ano Lectivo: 2007/2008
Ficha Pra´tica no11 - Valores e Vectores Pro´prios
1. Determine os valores pro´prios e os vectores pro´prios das seguintes matrizes:
(a)
[
4 −5
2 −3
]
; (b)
[
2 1
−1 0
]
; (c)
[
0 1
1 0
]
; (d)
[
1 1
0 1
]
.
2. Para cada uma das seguintes matrizes, calcule os valores pro´prios e os respectivos espac¸os pro´prios
(indicando uma base para os espac¸os pro´prios):
(a)
 1 −1 0−1 2 −1
0 −1 1
 ; (b)
 3 2 42 0 2
4 2 3
 ; (c)
 −3 1 −1−7 5 −1
−6 6 −2
 ; (d)
 2 1 12 3 2
3 3 4
 .
3. Mostre que uma matriz e´ singular se e so´ se 0 for valor pro´prio dela.
4. (a) Prove que matrizes semelhantes teˆm os mesmos valores pro´prios.
(b) Verifique que as matrizes
[
2 0
0 2
]
e
[
2 1
0 2
]
teˆm os mesmos valores pro´prios mas na˜o sa˜o
semelhantes.
5. (a) Determine os valores e os vectores pro´prios da matriz
 3 0 00 −1 0
0 0 2
 .
(b) Generalize para uma matriz diagonal qualquer.
6. Quais sa˜o os valores pro´prios de uma matriz triangular?
7. Determine os vectores pro´prios das seguintes matrizes:
(a)
 4 1 00 3 1
0 0 2
 ; (c)
 α 1 00 α 1
0 0 β
 (estude os casos α = β e α 6= β).
8. Deˆ exemplos que mostrem que os valores pro´prios de uma matriz podem mudar
(a) quando se subtrai de uma linha um mu´ltiplo de outra linha;
(b) quando se trocam duas linhas.
Observac¸a˜o: Note-se que deste exerc´ıcio conclu´ımos que para calcular os valores pro´prios de uma
matriz na˜o se pode aplicar o me´todo de eliminac¸a˜o a` matriz.
9. Comparando os respectivos polino´mios caracter´ısticos, prove que A e At teˆm os mesmos valores
pro´prios.
1
10. Suponhamos que A tem os valores pro´prios µ1, . . . , µn. Prove que, enta˜o, µ
2
1, . . . , µ
2
n sa˜o valores
pro´prios de A2 e que qualquer vector pro´prio de A e´ tambe´m vector pro´prio de A2. Generalize para
qualquer poteˆncia de A.
11. Para cada uma das matrizes dos exs. 1 e 2 diga se e´ ou na˜o diagonaliza´vel, e em caso afirmativo
determine uma matriz diagonalizante.
12. Uma matriz real 2x2 A tem valores pro´prios 3 e 5, e a eles esta˜o associados, respectivamente, os
vectores pro´prios
[
1
2
]
e
[
2
−1
]
. Prove que A e´ sime´trica.
13. Considere a matriz
 1 1 11 1 1
1 1 1
 .
(a) Determine os valores pro´prios de A.
(b) Determine um vector pro´prio de A, associado ao valor pro´prio 0, que tenha norma 1.
(c) Diga se A e´ diagonaliza´vel e, em caso afirmativo, indique duas matrizes diagonalizan-
tes diferentes.
14. Calcule
[
3 4
5 2
]9
.
15. Considere a matriz A =
[
7 −4
9 −5
]
.
(a) Calcule os valores pro´prios de A.
(b) Sem calcular os vectores pro´prios de A, mostre que A na˜o e´ diagonaliza´vel.
2
Instituto Polite´cnico de Viseu Escola Superior de Tecnologia
Departamento: Matema´tica A´lgebra Linear e Geometria Anal´ıtica
Curso: Engenharia Electrote´cnica Ano: 1o Semestre: 1o Ano Lectivo: 2007/2008
Soluc¸o˜es da Ficha Pra´tica no11 - Valores e Vectores Pro´prios
1.a)
λ = 2 e E(2) =
{
(x1, x2) ∈ IR2 : (x1, x2) = (52 , 1)x2, x2 � IR
}
;
λ = −1 e E(−1) = {(x1, x2) ∈ IR2 : (x1, x2) = (1, 1)x2, x2 � IR} .
1.b) λ = 1 com ma (1) = 2 e E(1) = {(x1, x2) ∈ IR2 : (x1, x2) = (−1, 1)x2, x2 � IR} .
1.c)
λ = 1 e E(1) = {(x1, x2) ∈ IR2 : (x1, x2) = (1, 1)x2, x2 � IR} ;
λ = −1 e E(−1) = {(x1, x2) ∈ IR2 : (x1, x2) = (−1, 1)x2, x2 � IR} .
1.d) λ = 1 com ma (1) = 2 e E(1) = {(x1, x2) ∈ IR2 : (x1, x2) = (1, 0)x2, x2 � IR}.
2.a)
λ = 0 e E(0) = {(x1, x2, x3) ∈ IR3 : (x1, x2, x3) = (1, 1, 1)x2, x2 � IR} ;
λ = 1 e E(1) = {(x1, x2, x3) ∈ IR3 : (x1, x2, x3) = (−1, 0, 1)x3, x3 � IR} ;
λ = 3 e E(3) = {(x1, x2, x3) ∈ IR3 : (x1, x2, x3) = (1,−2, 1)x1, x1 � IR} .
2.b)
λ = −1 com ma (−1) = 2 e
E(−1) = {(x1, x2, x3) ∈ IR3 : (x1, x2, x3) = (−12 , 1, 0)x2 + (−12 , 0, 1)x3, x2, x3 � IR} ;
λ = 8 e E(8) =
{
(x1, x2, x3) ∈ IR3 : (x1, x2, x3) = (1, 12 , 1)x3, x3 � IR
}
.
2.c)
λ = −2 com ma (−2) = 2 e E(−2) = {(x1, x2, x3) ∈ IR3 : (x1, x2, x3) = (1, 1, 0)x2, x2 � IR} ;
λ = 4 e E(4) =
{
(x1, x2, x3) ∈ IR3 : (x1, x2, x3) = (17 , 1, 0)x2, x2 � IR
}
.
2.d)
λ = 1 com ma (1) = 2 e
E(1) = {(x1, x2, x3) ∈ IR3 : (x1, x2, x3) = (−1, 1, 0)x2 + (−1, 0, 1)x3, x2, x3 � IR} ;
λ = 7 e E(7) =
{
(x1, x2, x3) ∈ IR3 : (x1, x2, x3) = (13 , 23 , 1)x3, x3 � IR
}
.
4.b) λ = 2 de multiplicidade alge´brica 2.
3
5.a)
λ = 3 e E(3) = {(x1, x2, x3) ∈ IR3 : (x1, x2, x3) = (1, 0, 0)x1, x1 � IR} ;
λ = −1 e E(−1) = {(x1, x2, x3) ∈ IR3 : (x1, x2, x3) = (0, 1, 0)x2, x2 � IR} ;
λ = 2 e E(2) = {(x1, x2, x3) ∈ IR3 : (x1, x2, x3) = (0, 0, 1)x3, x3 � IR} .
5.b)

α1 0 0 · · · 0 · · · 0
0 α2 0 · · · 0 · · · 0
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
0 0 0 · · · αi · · · 0
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
0 0 0 · · · 0 · · · αn
, α1,α2, · · · , αn sa˜o os valores pro´prios e
E(αi) = {(x1, x2, . . . , xn) ∈ IRn : (x1, x2, . . . , xn) = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0)xi, xi � IR}
↑
posic¸a˜o i
6. Os elementos da diagonal principal.
7.a)
λ = 4 e E(4) = {(x1, x2, x3) ∈ IR3 : (x1, x2, x3) = (1, 0, 0)x1, x1 � IR} ;
λ = 3 e E(3) = {(x1, x2, x3) ∈ IR3 : (x1, x2, x3) = (−1, 1, 0)x2, x2 � IR} ;
λ = 2 e E(2) =
{
(x1, x2, x3) ∈ IR3 : (x1, x2, x3) = (12 ,−1, 1)x3, x3 � IR
}
.
7.b)
α 6= β 6= 0
λ = α com ma (α) = 2 e E(α) = {(x1, x2, x3) ∈ IR3 : (x1, x2, x3) = (1, 0, 0)x1, x1 � IR} ;
λ = β com ma (β) = 1 e E(β) =
{
(x1, x2, x3) ∈ IR3 : (x1, x2, x3) = ( 1(α−β)2 ,− 1α−β , 1)x3, x3 � IR
}
;
α = β
λ = α com ma (α) = 3 e E(α) = {(x1, x2, x3) ∈ IR3 : (x1, x2, x3) = (1, 0, 0)x1, x1 � IR}
11.
1.a) Diagonaliza´vel.
D =
[
2 0
0 −1
]
e S =
[
5
2
1
1 1
]
1.b) Na˜o e´ diagonaliza´vel.
1.c) Diagonaliza´vel.
D =
[
1 0
0 −1
]
e S =
[
1 −1
1 1
]
1.d) Na˜o e´ diagonaliza´vel.
2.a) Diagonaliza´vel.
D =
 0 0 00 1 0
0 0 3
 e S =
 1 −1 11 0 −2
1 1 1

2.b) Diagonaliza´vel.
4
D =
 −1 0 00 −1 0
0 0 8
 e S =
 −12 −12 11 0 1
2
0 1 1

2.c) Na˜o e´ diagonaliza´vel.
2.d) Diagonaliza´vel.
D =
 1 0 00 1 0
0 0 7
 e S =
 −1 −1 121 0 2
3
0 1 1

13.a) λ = 0 de multiplicidade alge´brica 2;
λ = 3 de multiplicidade alge´brica 1.
13.b) v = (−1, 1, 0)
u = v‖v‖ = (−
√
2
2
,
√
2
2
, 0)
13.c) A e´ diagonaliza´vel
A = SDS−1 com D =
 0 0 00 0 0
0 0 2
 e S =
 −1 −1 11 0 1
0 1 1
 ou S =
 −1 −1 10 1 1
1 0 1

14. A9 = SD9S−1 com D =
[ −2 0
0 7
]
e S =
[ −4
5
1
1 1
]
15. λ = 1 de multiplicidade alge´brica 2.
5