Aula 3 Deslocamentos em vigas de eixos retos

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Resistência dos Materiais III 
 
Deslocamentos (linear e angular) em viga de eixos retos 
 
Considerações: 
 
- Análise dos deslocamentos pela hipótese da Teoria aplicada em Vigas (pequenos 
deslocamentos resultantes pelo efeito da flexão). 
 
- A influência do cisalhamento nos deslocamentos será considerada desprezível. 
 
- Uma viga quando submetida à ação de forças, apresenta uma configuração de curva 
definida como “Linha Elástica ou Curva de Deslocamento”. 
 
 
Antes da aplicação das cargas, a superfície neutra se encontra contida em um plano 
horizontal. 
Com a aplicação das cargas a superfície neutra se transforma em uma superfície curva. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A curva da superfície neutra representa a deformação de toda a viga. 
Esta curva que se denomina curva elástica, é representada pela interseção do plano de 
simetria com a superfície neutra. 
Desta forma, a curva elástica representa os deslocamentos dos centros de gravidade de 
todas as seções transversais que formam a viga. 
 
 
 
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A Figura mostra uma representação plana da deflexão da viga, onde x coincide com o eixo 
da viga e v = v(x) é o deslocamento no caso vertical, de cada seção da viga. 
 
Deve-se observar também que as seções transversais, que inicialmente eram retas e 
perpendiculares ao eixo continuam, após a flexão, retas e perpendiculares ao eixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As seções transversais sofrem uma 
rotação θ = θ(x) em torno do eixo de rotação. 
 
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Equação diferencial da Linha Elástica 
Considere uma viga engastada, com extremidade oposta livre, para o desenvolvimento da 
Equação básica da Curva de Deslocamentos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ds é o comprimento do trecho do eixo compreendido entre A e B; 
A′ B′ um segmento de reta paralelo ao eixo e de comprimento ds+ds εx = ds(1+εx) 
Y distância entre A e A′ , B e B′ 
ρ raio de curvatura do trecho AB do eixo da barra após a atuação de M; 
dθ ângulo de curvatura do trecho do eixo entre AB que, por conseqüência, 
também é o ângulo de curvatura de A′ B′ 
 
Conceitos conhecidos: 
 As tensões normais na flexão se relacionam com o momento fletor atuante da seguinte 
forma: 
 
Lei de Hooke: 
 
 
 
 
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O comprimento de AB após atuação do carregamento é ds. 
Relação ρ e dθ: 
 
A curvatura κ da barra é expressa como: 
 
 
Para pequenas deformações, pode-se fazer a seguinte simplificação: 
 
 
 
Pela geometria analítica, a definição da curvatura “K”, a uma distância X do eixo Y, pode ser 
expressa por: 
 
 
 
A relação entre momento fletor e a curvatura K, é conhecida como Lei de Bernoulli-Euler, da 
Teoria Técnica de Flexão: 
 
 
Equação diferencial básica da Linha Elástica 
 
Forma alternativa da Equação diferencial básica da Linha Elástica com rigidez (EI) 
constante: 
 
 
 
 
 
 
 
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Método da Integração: 
- Admite-se que as vigas possuem rigidez constante à flexão, ou seja: E.I = cte. 
- A partir da derivada segunda, obtém-se os deslocamentos, linear e angular. 
- Expressões úteis: 
Deslocamento = 
 
Inclinação = Ɵ = Momento = M = 
 
 
Convenção de sinais: 
- Deslocamento linear ( Ʋ ) medido a partir do eixo X até a linha elástica, na direção de Y: 
Deslocamento positivo = deslocamento para cima 
 
- Deslocamento angular ( Ɵ ) medido entre o eixo X e a tangente à curva elástiva em um 
ponto qualquer: 
Ângulo positivo no sentido de rotação anti-horário 
 
 
Condições de Contorno: 
São restrições impostas à viga por seus apoios, são utilizados para a determinação das 
equações diferenciais. 
Exemplo: Apoio fixo ou engaste: Os deslocamentos, linear e angular da viga são nulos. 
 
 
 
 
 
 
Referências bibliográficas: 
Resistência dos Materiais – R. C. Hibbeler