redacao matematica (versão 0.1)

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Redação Matemática
Rodrigo Toledo Teixeira Câmara
Dezembro - 2016
Resumo
Este trabalho é um guia simples, escrito em linguagem informal, que orienta sobre como
produzir um bom texto matemático. Este guia foi escrito precipuamente para alunos
de graduação de cursos de exatas, mas pode ser utilizado também por alunos de pós-
graduação, de ensino médio e qualquer um que precise escrever trabalhos - resoluções
de listas de exercícios, exames escritos, monografias, dissertações, teses, artigos - que
envolvam matemática. São utilizados principalmente exemplos e comparações como
ferramenta didática. Este guia não tem o intuito de ser uma norma técnica ou um
catálogo de todas as práticas existentes.
Palavras-chaves: redação matemática. redação científica. LaTeX. elaboração de
trabalhos acadêmicos.
Introdução
0.1 Redação? Mas eu estou em um curso
de exatas!
Provavelmente você, aluno de gradu-
ação de um curso de exatas, acredita que
para resolver um problema de matemática
basta ser hábil com os números. Daí você
deve estar se perguntando “por que a redação
matemática é importante no meu curso”?
A palavra grega mathemas, da qual
vem a palavra matemática, incorpora as no-
ções de conhecimento, aprendizado, compre-
ensão e percepção (BOYER; MERZBACH,
2011). A matemática é sobre ideias. Nas au-
las de matemática no nível universitário, as
ideias e conceitos encontrados são mais com-
plexos e sofisticados do que as vistas no en-
sino médio, conceitos estes que não podem
ser expressos usando apenas equações e fór-
mulas. Colocar os mathemas no papel exigirá
escrever também frases e parágrafos.
Cientistas passam muito tempo es-
crevendo. Para o conhecimento avançar, eles
devem ser capazes de comunicar as ideias de
uma forma que seja compreensível para os
outros. Portanto, ser capaz de escrever cla-
ramente é tão importante quanto ser capaz
de resolver equações.
Dominar a capacidade de escrever
explicações matemáticas claras é importante
para se comunicar com os não-matemáticos
também. Ao longo do seu curso de exatas
na faculdade, você aprenderá mais matemá-
tica do que a maioria das outras pessoas.
Quando você usar o seu conhecimento no fu-
turo, você pode ser obrigado a explicar o seu
processo de pensamento para outras pessoas
(como seu chefe, um colega de trabalho ou
um cliente), e é muito provável que estas pes-
soas saibam menos matemática do que você.
Aprender a comunicar ideias pode ajudá-lo
a avançar em sua carreira.
Você vai descobrir que escrever boas
explicações matemáticas irá melhorar seu co-
nhecimento e compreensão dos temas. Colo-
car uma ideia no papel requer atenção cuida-
1
dosa. Assim, a matemática escrita de forma
clara e cuidadosa é mais provável de ser cor-
reta. O processo de escrita irá ajudá-lo a
aprender e reter os conceitos estudados.
Além disso, seu professor certamente
irá apreciar se seus trabalhos estiverem bem
escritos. Muitos alunos perdem pontos em
provas devido à redação ruim: os professores
riscam uma grande interrogação quando as
respostas apresentadas são ilegíveis, mesmo
que “corretas”.
Este guia foi escrito baseado princi-
palmente no excelente texto de LEE e tem
por objetivo ajudá-lo a escrever matemática
de maneira clara. As orientações aqui encon-
tradas são úteis tanto para trabalhos e provas
da sua graduação (incluindo a famigerada
monografia de final de curso) como para suas
anotações de aulas. Alunos de ensino médio
(e de pós-graduação) também encontrarão
valiosas dicas neste guia.
0.2 Como é uma boa redação?
À medida que você aprende mais ma-
temática, a capacidade de expressar as ideias
se tornará cada vez mais importante. Não
será suficiente apenas escrever a “resposta
final”. Imagine se O Senhor dos Anéis fosse
uma única frase em vez de um romance:
“Frodo derrota Sauron”.
Por esta mesma razão, escrever so-
mente as conclusões finais em um trabalho
não será o bastante para um aluno universi-
tário.
Não confunda escrever matemática
com “mostrar as contas”. O objetivo da boa
escrita é apresentar os conceitos estudados.
Uma lista de cálculos sem qualquer contexto
ou explicação demonstra apenas que você
que você passou um bom tempo sentado
trabalhando. No entanto, esse amontoado de
contas não contém ideias. Como as ideias
são a matemática, essa página não contém
nenhuma matemática.
1 O básico: combinando números
e palavras
1.1 Seguindo as regras da gramática
A boa redação observa as regras da
gramática. Isso se aplica também à escrita
da matemática. Espera-se que você respeite
a ortografia, as regras de pontuação, conju-
gação, etc, de forma que a mensagem fique
clara.
Assim como a redação usual, a re-
dação matemática é escrita em parágrafos.
O parágrafo é uma “unidade de significação
completa” (MAMIZUKA, 2013), isto é, ele é
um “mini-texto”, com introdução, desenvol-
vimento e conclusão de uma ideia completa.
Há, no entanto, um elemento na re-
dação matemática que normalmente não é
encontrado em outros tipos de escrita: fórmu-
las. Apesar disto, mesmo para elas, existem
normas a serem seguidas. Por exemplo, aqui
temos uma oração perfeitamente escrita:
2 + 2 = 4
O símbolo “=” age como um verbo. A seguir,
mais alguns exemplos de orações:
3xy < −1,
2n ∈ R,
9− s 6= t.
Você conseguiu identificar os verbos dessas
orações? Por outro lado, veja que a expressão
3x2 + 5.
não é uma oração completa pois não possui
verbo. Nenhuma informação foi passada para
o leitor.
Fórmulas e equações precisam estar
contidas em frases completas e com pontua-
ção adequada. Veja este exemplo:
Em uma loja de roupas, a receita
total diária, R, obtida pela venda
de camisetas é dada pela equação
R = pq,
2
onde p é o preço unitário da ca-
miseta e q é a quantidade de ca-
misetas vendidas.
Sabe-se que se o preço da ca-
miseta for R$15,00 então serão
vendidas 200 camisetas em um
dia. Sabe-se também que para
cada um real que o preço au-
menta, diminui-se em 10 unida-
des a quantidade de camisetas
vendidas naquele dia.
Portanto, se x é o preço da ca-
miseta em reais em um certo dia,
então concluímos que a receita
diária é dada por
R = (15 + x)(200− 10x).
Por fim, podemos reescrever esta
equação como
R = −10x2 + 50x+ 3000.
Observe como as equações também
são pontuadas. Se a equação termina uma
frase, usa-se ponto final. Vírgulas também
são usadas se a situação exigir.
Uma excelente maneira de “testar”
sua redação é ler tudo em voz alta, inclusive
as equações. Seus ouvidos percebem melhor
os erros que seus olhos.
É comum escrever as frases com su-
jeito indeterminado (“sabe-se”). Diversos ma-
nuais de redação científica (LAKATOS; MAR-
CONI, 2001; SEVERINO, 2014), afirmam
que o texto científico deve evitar os pronomes
em primeira e segunda pessoa, para reforçar
o caráter impessoal e objetivo do texto. No
entanto, segundo SILVA, é aceitável utilizar
os verbos conjugados na segunda pessoa do
plural (“concluímos”, “podemos”).
Apenas evite o uso do pronome de
primeira pessoa do singular (“eu”). Além de
correr o risco de parecer egocêntrico, o argu-
mento vai parecer como se estivesse emba-
sado em opinião pessoal ou no senso comum
(PERROTA, 2004).
Outro detalhe importante é como as
equações mais importantes são escritas se-
paradas do texto. Observe como é difícil ler
este exemplo:
Seja d a distância entre o ob-
jeto e o solo em metros. O mo-
vimento deste corpo é descrito
por d = 100 − 16t2, onde t é o
tempo, em segundos, após o ar-
remesso. Resolvendo a equação
0 = 100− 16t2 para t, encontra-
mos t = 2.5. Concluímos que o
objeto atinge o chão 2.5 segundos
após ser arremessado.
Esse texto é muito mais legível quando
reescrito desta forma:
Seja d a distância entre o objeto
e o solo em metros. O movimento
deste corpo é descrito por
d = 100− 16t2,
onde t é o tempo, em segundos,
após o arremesso. Resolvendoa
equação
0 = 100− 16t2
para t, encontramos t = 2.5. Con-
cluímos que o objeto atinge o
chão 2.5 segundos após ser ar-
remessado.
1.2 Símbolos e palavras
Parte do que é considerado boa reda-
ção é saber quando usar palavras e quando
usar símbolos. Espera-se também que as re-
gras sobre o uso dos símbolos matemáticos
sejam respeitados.
Como exemplo, observe este mal uso
do símbolo “=”, muito comum entre estu-
dantes:
32x − 2(3x) = −1 = (3x)2 − 2(3x) + 1 = 0
= (3x − 1)2 = 0 = 3x = 1
3
Não use o símbolo “=” quando você
quer dizer “aquilo é igual a isto que é igual
a isto que é igual a isto...”. Pergunte para
seu professor (ou consulte seu livro) qual é
a sintaxe (regras) do uso de cada símbolo
novo. O “=”, no contexto da álgebra usual
dos números reais, por exemplo, é definido
como:
Uma relação binária entre dois
números reais, a e b, na qual a
não é maior nem menor que b.
Da forma que foi colocada no úl-
timo exemplo, além de ocorrer o mal uso
pela grande quantidade de termos listados
(a igualdade é binária, só poderíamos com-
parar dois elementos), teríamos que
−1 = 0
e
0 = 1,
duas conclusões absurdas.
Uma maneira de reescrever o exem-
plo, respeitando a sintaxe do símbolo “=”,
seria:
32x − 2(3x) = −1,
(3x)2 − 2(3x) + 1 = 0,
(3x − 1)2 = 0,
3x = 1,
x = 0.
Quando for difícil para o leitor enten-
der cada passo, uma boa prática é explicar
com palavras o que está sendo feito em cada
equação. Observe como a leitura melhora:
Queremos resolver a seguinte equa-
ção para x:
32x − 2(3x) = −1.
Primeiro reescrevemos esta equa-
ção colocando 3x em evidência e
somamos 1 em ambos os lados:
(3x)2 − 2(3x) + 1 = 0.
Em seguida, utilizando produtos
notáveis, reescrevemos a equação
como
(3x − 1)2 = 0.
Segue daí que 3x−1 = 0, ou seja,
x = 0.
Algumas informações são melhor ex-
pressadas com palavras, enquanto outras são
com números. Por exemplo, a informação
Se um número positivo é menor
que um então o quadrado desse
número é menor do que ele pró-
prio,
seria muito mais legível como
Se x > 0 e x < 1 então x2 < x.
1.3 Mais alguns comentários
Seguem algumas orientações adicio-
nais para ajudar na sua redação:
• Evite começar a frase com fórmulas.
Apesar de não ser errado, é estranho.
p = 2000 quando t = 5. Con-
cluímos daí que dentro de
cinco anos a fábrica terá 2000
baratas.
f se anula quando x = ξ.
Para consertar, basta colocar alguma
palavra no começo da frase:
Temos que p = 2000 quando
t = 5. Concluímos daí que
dentro de cinco anos a fá-
brica terá 2000 baratas.
A função f se anula quando
x = ξ.
4
• Quando estiver escrevendo, não trans-
forme sua folha em um “labirinto”, com
números espalhados, respostas perdi-
das e setas “indicando o caminho”. Em
vez disso, escreva as informações de
maneira ordenada, de cima para baixo.
Se quiser, divida a folha em duas colu-
nas (mas evite dividir em três).
• Muitos softwares de processamento de
texto atuais possuem ferramentas de
escrever equações. No entanto, se pos-
sível, aprenda LATEX(pronuncia-se "lêi-
tec"). É uma linguagem gratuita de-
senvolvida entre as décadas de 1970
e 1980 pelo professor Donald Kunuth,
da Universidade de Stanford, e Leslie
Lamport, doutor em Matemática. Foi
criada especialmente para a redação
de textos científicos e é considerada
padrão na Academia.
Apesar de ser um pouco complicada
de se aprender, esta linguagem facilita
o trabalho do autor. Se estiver bem
configurada, ela formata o conteúdo
automaticamente às normas da ABNT.
Este artigo foi escrito em LATEX.
• Evite a linguagem conotativa. Prefira
a linguagem denotativa.
• Seja objetivo e direto. Evite textos lon-
gos ou prolixos.
2 Colocando suas ideias no papel
2.1 Organizando o trabalho
Um trabalho bem organizado é mais
fácil de ler que um desorganizado. Esta seção
traz alguns padrões utilizados na ciência.
Primeiro, coloque alguma introdu-
ção. Normalmente, descreve-se o problema
na introdução. Mesmo que seu trabalho seja
as respostas de uma lista de exercícios que
seu professor passou, você não pode contar
que ele (ou algum outro leitor) esteja com
essa lista consigo na hora de corrigir.
Não basta apenas copiar o enunciado
do problema: reescreva-o com suas próprias
palavras e discuta o significado dele. Uma
boa introdução deve “fisgar” a atenção do
leitor.
Também é recomendável comentar
na introdução o que será feito no trabalho.
Dê ao leitor alguma noção do que ele irá
encontrar. Observe estes exemplos:
Iremos analisar a receita desta
loja utilizando um ajuste por cur-
vas. Será usado o ajuste parabó-
lico, com duas casas decimais de
precisão.
Neste trabalho iremos calcular a
tensão máxima que a coluna con-
segue suportar. Para isso, traça-
remos o gráfico da função pelo
software Geogebra para obter uma
aproximação inicial e em seguida
utilizaremos o método da secante
para encontrar a raiz da função.
Analisaremos o crescimento da
população de mosquitos por meio
da resolução analítica de uma
equação diferencial. Depois utili-
zaremos métodos numéricos. Por
fim, iremos comparar as duas so-
luções.
Alguns autores preferem apresentar
a “resposta” logo na introdução. Outros no
final do trabalho. Ambas as abordagens são
aceitáveis, então você tem a liberdade de es-
colher a que preferir. Em ambos os casos, é
imprescindível que a resposta seja apresen-
tada contextualizada, com palavras. Jamais
responda o problema desta forma:
A resposta é i = 2.
Em vez disso, escreva
A solução da equação é i = 2.
Concluímos então que a corrente
desse circuito é 2 amperes.
5
2.2 Definindo variáveis e fórmulas
Normalmente quantidades e funções
são representadas por letra. É importante
que você avise ao seu leitor explicitamente
o que cada letra significa. Não se engane
acreditando que não será necessário explicar
algum significado simplesmente pelo fato de
o seu livro didático já ter feito isso. Observe
este exemplo:
É verdade afirmar que n ou n+1
é par.
Quem é n? Se n for
√
2 essa afirmação ainda
vai ser verdade? Uma melhor maneira de
escrever seria:
Para qualquer número natural n
é verdade afirmar que n ou n+1
é par.
Mais alguns exemplos:
Seja v a velocidade do pássaro
em metros por segundo.
Seja z um número complexo.
Seja c(t) a função que descreve a
temperatura c em kelvin da má-
quina ao longo do tempo t em
segundos.
Ao escolher as letras que vão identi-
ficar cada variável, tenha muito cuidado de
não repeti-las dentro de um mesmo trabalho.
Veja este exemplo:
Seja P a população de andori-
nhas, em milhares de indivíduos,
t anos após o ano de 2010 e su-
ponha que
P = 0.5(1.12)t.
A população de andorinhas em
2012 foi de aproximadamente 670
indivíduos. A equação condiz com
este dado, pois, ao se fazer t = 2,
temos que
P = 0.5(1.12)2
= 0.672.
Para estimar em que ano a popu-
lação de andorinhas vai chegar a
2000 indivíduos, fazemos P = 2
e resolvemos a equação para t:
2 = 0.5(1.12)t,
log(2) = log(0.5) + t log(1.12),
t = log(2)− log(0.5)log(1.12) ,
A solução desta última equação
com duas casas decimais é t =
12.33. Concluímos daí que a po-
pulação de andorinhas chegará a
2000 no ano 2022.
À uma primeira vista, parece que
essa redação está boa. No entanto, observe
que no primeiro parágrafo a variável P se
refere à população em qualquer momento. Já
no parágrafo seguinte, P é a população no
ano 2012. No último parágrafo, P é a popu-
lação de 2000 andorinhas. Se escrevêssemos
o P mais uma vez, o leitor não saberia qual
dessas quantidades P iria significar.
Para resolver essa ambiguidade, uma
boa prática é criar novas variáveis. Uma su-
gestão é fazer isso adicionando-se índices.
Veja o exemplo reescrito:
Seja P a população de andori-
nhas, em milhares de indivíduos,
t anos após o ano de 2010 e su-
ponha queP = 0.5(1.12)t.
A população de andorinhas em
2012 foi de aproximadamente 670
indivíduos. A equação condiz com
este dado, pois, ao se fazer t = 2,
temos que
P2 = 0.5(1.12)2
6
= 0.672.
Para estimar em que ano a po-
pulação de andorinhas vai chegar
a 2000 indivíduos, chamamos de
t2000 o ano no qual a população
alcançará 2000 indivíduos. Daí,
resolvendo a equação para t2000,
temos:
2 = 0.5(1.12)t2000 ,
log(2) = log(0.5)+t2000 log(1.12),
t2000 =
log(2)− log(0.5)
log(1.12) ,
A solução desta última equação
com duas casas decimais é t2000 =
12.33. Concluímos daí que a po-
pulação de andorinhas chegará a
2000 animais no ano 2022.
O exemplo mostrado foi simples, en-
tão a confusão das variáveis traria apenas
alguma dificuldade para ler. Já para proble-
mas mais intrincados, a repetição de variá-
veis pode causar erros graves nos cálculos e
nas soluções.
Assim como as variáveis precisam ser
apresentadas ao leitor, as fórmulas também
precisam de alguma explicação quando sur-
girem.
2.3 Uso de multimídia na matemática
Diversos estudos recentes (DOTTA
et al., 2013; VALENTE, 2014; CAOVILLA;
FARIA, 2014) mostram que recursos multi-
mídia são auxílios importantes na didática
(consequentemente na transmissão de ideias).
Ao apresentar seu trabalho, utilize-se de to-
dos os recursos possíveis, seja vídeos, sons,
imagens, diagramas, fotos, linhas do tempo,
etc.
Entretanto, tenha atenção com o uso
desses recursos: eles são apenas auxiliares do
pensamento, nunca argumentos (DOMIN-
GUES, 2002; POLYA, 1978). Por exemplo,
digamos que queremos demonstrar que a
soma dos ângulos internos de um triângulo
é 180o. A figura 1 fornece uma boa ideia de
como provar essa propriedade:
Figura 1 – Uma triângulo e uma reta para-
lela a um dos lados.
No entanto, a prova só será válida
com argumentos baseados em teoremas ou
outras propriedades demonstradas anterior-
mente. Não podemos simplesmente colocar
um transferidor sobre o papel, medir os ân-
gulos e somar tudo.
Considerações finais
Escrever matemática não é fácil. Esta
é uma habilidade que exige prática. Procure
outros guias na internet, participe de mini-
cursos sobre o tema na sua universidade e
peça ajuda para seus professores. Ser capaz
de escrever matemática é um talento que
será útil em toda sua vida acadêmica e pro-
fissional.
7
Mathematical Writing
Rodrigo Toledo Teixeira Câmara
Dezembro - 2016
Abstract
This work is a simple guide, written
in informal language, that guides
how to produce a good mathemat-
ical text. This guide is written pri-
marily for undergraduate students
from STEM (science, technology, en-
gineering and mathematics) courses,
but can also be used by graduate
students, high school students and
anyone who needs to write an Aca-
demic activity - resolutions of lists
of exercises, written exams, mono-
graphs, dissertations, Theses, arti-
cles - involving math. Examples and
comparisons are used as a didactic
tool. This guide is not intended to
be a technical standard or a catalog
of existing practices.
Key-words: mathematical writing.
scientific writing. LaTeX. making of
written Academic activity.
Referências
BOYER, C. B.; MERZBACH, U. C. A
history of mathematics. Nova Jersey: John
Wiley & Sons, 2011. Citado na página 1.
CAOVILLA, C. A.; FARIA, E. B. d. O uso
de ferramentas de multimídia na educação.
Nativa-Revista de Ciências Sociais do Norte
de Mato Grosso, v. 1, n. 1, 2014. Citado na
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DOMINGUES, H. H. A demonstração ao
longo dos séculos. Boletim de Educação
Matemática-BOLEMA, v. 18, p. 55–67,
2002. Citado na página 7.
DOTTA, S. C. et al. Análise das preferências
dos estudantes no uso de videoaulas: Uma
experiência na educação a distância. In:
Anais do Workshop de Informática na
Escola. Santo André/São Paulo: [s.n.], 2013.
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LAKATOS, E. M.; MARCONI, M. de
A. Metodologia do trabalho científico:
procedimentos básicos, pesquisa bibliográfica,
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estudo do parágrafo, problemas de
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PERROTA, C. Um texto para chamar
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POLYA, G. A arte de resolver problemas.
Rio de Janeiro: interciência, v. 2, 1978.
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SEVERINO, A. J. Metodologia do trabalho
científico. São Paulo: Cortez editora, 2014.
Citado na página 3.
8
SILVA, S. Estudo enunciativo da
pessoalização do discurso de divulgação
científica infanto-juvenil: o emprego
do pronome você. SIMPÓSIO
INTERNACIONAL DE ESTUDOS DE
GÊNEROS TEXTUAIS, v. 4, 2007. Citado
na página 3.
VALENTE, J. A. A comunicação e a
educação baseada no uso das tecnologias
digitais de informação e comunicação.
UNIFESO-Humanas e Sociais, v. 1, n. 01, p.
141–166, 2014. Citado na página 7.
9
	Resumo
	Introdução
	Redação? Mas eu estou em um curso de exatas!
	Como é uma boa redação?
	O básico: combinando números e palavras
	Seguindo as regras da gramática
	Símbolos e palavras
	Mais alguns comentários
	Colocando suas ideias no papel
	Organizando o trabalho
	Definindo variáveis e fórmulas
	Uso de multimídia na matemática
	Considerações finais
	Abstract
	Referências