Resolucao homomorfismo 2015

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
CENTRO DE EDUCAÇÃO ABERTA E A DISTÂNCIA
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
	
Introdução à Álgebra
Lista 4: Homomorfismo de anéis.
Verifique se as funções abaixo são homomorfismos e diga quais são injetoras.
a) 
b) 
c) 
d) 
RESOLUÇÃO:
2) 
RESOLUÇÃO:
Sejam (a, b), (c, d) 
Z x Z. Assim
f[(a, b) + (c, d)]= f(a+c, b+d) = a+c – (b+d) = (a – b) + (c – d) =f(a, b) + f(c, d).
f[(a, b). (c, d)] = f(ac, bd) = ac – bd, mas f(a, b). f(c, d) = (a – b). (c – d) = ac – ad – bc + bd. Então f[(a, b). (c, d)] 
 f(a, b). f(c, d).
Logo f não é homomorfismo.
RESOLUÇÃO:
Sejam x, y 
Z. Assim
f(x+y) = (x+y, x+y) = (x, x) + (y, y) = f(x) + f(y).
f(x.y) = (x.y, x.y) = (x, x). (y, y) = f(x).f(y).
Logo f é um homomorfismo.
RESOLUÇÃO:
Sejam (a, b), (c, d) 
Z x Z. Assim
f[(a, b) + (c, d)]= f(a+c, b+d) = (b+d, -a-c) = (b, -a) + (d, -c) = f(a, b) + f(c, d)
f[(a, b). (c, d)] = f(ac, bd) = (bd, -ac) , mas f(a, b). f(c, d) = (b, -a). (d, -c) = (bd, ac). Então f[(a, b). (c, d)] 
 f(a, b). f(c, d).
Logo f não é homomorfismo.
RESOLUÇÃO:
Sejam 
. Assim
i)
ii) 
Então 
.
Logo f não é homomorfismo.
RESOLUÇÃO:
Sejam 
. Assim
i) 
ii) 
Logo f é um homomorfismo.
RESOLUÇÃO:
Sejam 
. Assim
i) 
ii) 
Então 
Logo f não é um homomorfismo.
Sejam (a, b), (c, d) 
A x A.
4) Seja H = 
. Mostre que Z[
] 
H.
(Sugestão: Crie o isomorfismo 
tal que 
 e prove isso.)
RESOLUÇÃO:
Primeiro, devemos criar uma função 
 e verificar se ela é um homomorfismo.
De fato, seja a função: 
tal que 
Pois
.
Enquanto que:
.
Pois 
Por outro lado,
.
Portanto, 
 é um homomorfismo.
Agora, precisamos mostrar que 
 é injetiva e sobrejetiva.
De fato;
Se 
, então 
. Mas 
.
Assim 
Logo 
 e, portanto 
 é injetiva.
Seja 
. Então 
 e existe 
tal que 
 e 
. Ou seja 
. Como 
, então existe 
 tal que 
. Portanto 
 é sobrejetiva.
Mostre que 3Z não é isomorfo a 5Z.
RESOLUÇÃO:
Suponhamos por absurdo que 3Z seja isomorfo a 5Z. Então existe um homomorfismo 
 bijetor.
Temos que 9= 3+3+3=3x 3.
Como 6
3Z então 
Como 
 é injetor e 
, então 
. Além disso, 3
5Z, o que implica 
.
Logo não existe isomorfismo
 e portanto 3Z não é isomorfo a 5Z.
� EMBED Equation.3 ��� será um homomorfismo se preservar as operações do anel, isto é, se forem verificadas as duas condições:
� EMBED Equation.3 ���para todos a e b no anel.
Assim:
a) � EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���.
Mas, 
� EMBED Equation.3 ���.
Portanto, � EMBED Equation.3 ��� não é um homomorfismo.
b) � EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
Vejamos se essa afirmação é verdadeira.
� EMBED Equation.3 ���
 � EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���.
Porém, 
� EMBED Equation.3 ���
Logo, � EMBED Equation.3 ��� não é um homomorfismo.
c) � EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
Vejamos se essa afirmação é verídica.
� EMBED Equation.3 ���
 Por outro lado, � EMBED Equation.3 ���.
Ou seja, � EMBED Equation.3 ���.
� EMBED Equation.3 ���
Inicialmente, temos que:
� EMBED Equation.3 ���.
Mas;
� EMBED Equation.3 ���
Portanto, � EMBED Equation.3 ��� não é um homomorfismo.
																							
d) � EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
Enquanto que;
� EMBED Equation.3 ���
Logo, � EMBED Equation.3 ���
E;
� EMBED Equation.3 ���
Inicialmente, temos que:
� EMBED Equation.3 ���.
Mas;
� EMBED Equation.3 ���
Portanto, � EMBED Equation.3 ��� não é um homomorfismo.
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