Exercícios Resolvidos - Variáveis Complexas

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Varia´veis Complexas - Resoluc¸a˜o da 1a Lista
Orientador: Prof. Ms. Celso Eduardo Brito
Euna´polis
2015
Instituto Federal de Educac¸a˜o, Cieˆncia e Tecnologia da Bahia - Campus Euna´polis
Lista de Exerc´ıcios no 04
Disciplina: Func¸a˜o de uma Varia´vel Complexa
Professor: Celso Eduardo Brito
2o. Semestre de 2014
Elaborada por: Bianca Gonc¸alves, Islane Dutra e Tamires Rigoti
1. Expresse os seguintes nu´meros complexos na forma x+ yi:
a) log(−e3) + ii
Soluc¸a˜o:
Seja log(−e3) = ln | − e3|+ i(arg(−e3 + 2kpi)). Com isso, temos: log(−e3) + ii =
= ln | − e3|+ i arg(−e3) + ii.
Sabendo que:
| − e3| =
√
(−e3)2 =
√
e6 = e3, e tambe´m
ii = ei log i = ei(log |i|+i arg(i)) = ei(log 1+i(
pi
2
+2kpi)) = ei(i(
pi
2
+2kpi)) = e−
pi
2
−2kpi =
= e(−
pi+4kpi
2 ) = e−(
pi
2
+ 4kpi
2 ).
Portanto,
log(−e3)+ ii = ln |−e3|+ i(arg(−e3 +2kpi))+ ii = ln(e3)+ i(pi+2kpi)+e−pi+4kpi2 =
= 3 + e−(
pi
2
+ 4kpi
2 ) + i(pi + 2kpi); k ∈ Z.
b) (−1)i log(−i)
Soluc¸a˜o:
Seja log(−i) = ln | − i| + i(arg(−i) + 2kpi) e (−1)i = ei log(−1) Com isso, temos:
1
Disciplina: Func¸a˜o de uma Varia´vel Complexa Lista de Exerc´ıcios no 04 2
(−1)i log(−i) = ei log(−1) (ln | − i|+ i(arg(−i) + 2kpi)) =
= ei(ln |−1|+i(arg(−1)+2kpi))
(
ln(1) + i
(
3pi
2
+ 2kpi
))
= e−(pi+2kpi) · i
(
3pi
2
+ 2kpi
)
=
=
i
(
3pi
2
)
+ 2kpi
epi+2kpi
.
2. Verifique se a func¸a˜o abaixo e´ anal´ıtica, e em caso afirmativo determine e esboce num
mesmo plano complexo as curvas de n´ıvel das parte real e imagina´ria dela.
f(z) =
z − 2i
z + 2i
Soluc¸a˜o:
Sabendo que f(z) = x+ yi, enta˜o:
f(z) =
z − 2i
z + 2i
=
x+ yi− 2i
x+ yi+ 2i
⇒ f(z) = x+ yi− 2i
x+ yi+ 2i
· (x− yi− 2i)
(x− yi− 2i) ⇒
⇒ f(z) = x
2 − xyi− 2xi+ xyi− y2i2 − y2i2 − 2xi+ 2yi2 + 4i2
x2 − xyi− 2xi+ xyi− y2i2 − 2yi2 + 2xi− 2yi2 − 4i2 ⇒
⇒ f(z) = x
2 + y2 − 4− 4xi
x2 + y2 + 4y + 4
.
Com isso, u(x, y) =
x2 + y2 − 4
x2 + y2 + 4y + 4
e v(x, y) =
−4x
x2 + y2 + 4y + 4
. Verificaremos a
analiticidade pelas equac¸o˜es de Cauchy.
∂u
∂x
=
2x(x2 + y2 + 4y + 4)− (x2 + y2 − 4) · (2x)
(x2 + y2 + 4y + 4)2
⇒
⇒ ∂u
∂x
=
2x3 + 2xy2 + 8xy + 8x− 2x3 − 2xy2 + 8x
(x2 + y2 + 4y + 4)2
=
8xy + 16x
(x2 + y2 + 4y + 4)2
.
Disciplina: Func¸a˜o de uma Varia´vel Complexa Lista de Exerc´ıcios no 04 3
∂v
∂y
=
4x(2y + 4)
x2 + y2 + 4y + 4)2
=
8xy + 16x
(x2 + y2 + 4y + 4)2
.
−∂u
∂y
= −
(
2y(x2 + y2 + 4y + 4)− (x2 + y2 + 4y + 4)(2y + 4)
(x2 + y2 + 4y + 4)2
)
⇒
⇒ −∂u
∂y
= −
(
2yx2 + 2y3 + 8y2 + 8y)− (2yx2 + 4x2 + 2y3 + 4y2 − 8y − 16)(2y + 4)
(x2 + y2 + 4y + 4)2
)
⇒
⇒ −∂u
∂y
= −
(
8y2 + 8y − 4x2 − 4y2 + 8y + 16
(x2 + y2 + 4y + 4)2
)
= −
(
4y2 + 16y − 4x2 + 16
(x2 + y2 + 4y + 4)2
)
.
∂v
∂x
=
−4(x2 + y2 + 4y + 4) + 4x · (2x)
(x2 + y2 + 4y + 4)2
=
4x2 − 4y2 − 16y − 16
(x2 + y2 + 4y + 4)2
.
Como
∂u
∂x
=
∂v
∂y
e
∂v
∂x
= −∂u
∂y
a f(z) e´ anal´ıtica.
? Curvas de n´ıvel:
• Parte real: x
2 + y2 − 4
x2 + y2 + 4y + 4
= k1, k1 ∈ R.
x2 + y2 − 4
x2 + y2 + 4y + 4
= k1 ⇒ x2 + y2 − 4 = k1(x2 + y2 + 4y + 4)⇒
⇒ x2 + y2− 4 = k1x2 + k1y2 + k14y+ 4k1 ⇒ x2 + y2− k1x2− k1y2− k14y = 4k1 + 4⇒
⇒ x2(1− k1) + y2(1− k1)− k14y = 4(k1 + 1)⇒
⇒ (1− k1)
(
x2 + y2 − 2y · 2k1
1− k1 +
4k21
(1− k1)2 −
4k21
(1− k1)2
)
= 4(k1 + 1)⇒
⇒ (1− k1)
(
x2 +
(
y − 2k1
1− k1
)2)
= 4(k1 + 1) +
4k21
1− k1 ⇒
Disciplina: Func¸a˜o de uma Varia´vel Complexa Lista de Exerc´ıcios no 04 4
⇒ x2 +
(
y − 2k1
1− k1
)2
=
(
4(k1 + 1) +
4k21
1− k1
)
· 1
(1− k1) ⇒
⇒ x2 +
(
y − 2k1
1− k1
)2
=
4k1 + 4
1− k1 +
4k21
(1− k1)2 ⇒
⇒ x2 +
(
y − 2k1
1− k1
)2
=
(4k1 + 4)(1− k1) + 4k21
(1− k1)2 ⇒
⇒ x2 +
(
y − 2k1
1− k1
)2
=
4k1 − 4k21 + 4− 4k1 + 4k21
(1− k1)2 ⇒
⇒ x2+
(
y − 2k1
1− k1
)2
=
(
2
1− k1
)2
. Ou seja, circunfereˆncias de centro C
(
0,
2k1
1− k1
)
e raio
2k1
1− k1 , {k1 ∈ R/k1 6= 1}. Quando k1 = 1, teremos a reta y = −2.
• Parte imagina´ria: −4x
x2 + y2 + 4y + 4
= k2, k2 ∈ R.
−4x
x2 + y2 + 4y + 4
= k2 ⇒ −4x = k2(x2 + y2 + 4y + 4)⇒
⇒ −4x = k2x2 + k2y2 + k24y + 4k2 ⇒ k2x2 + k2y2 + 4x+ k24y = −4k2 ⇒
⇒ k2
(
x2 +
4x
k2
)
+ k2
(
y2 + 4y
)
= −4k2 ⇒
⇒ k2
(
x2 + 2x · 2
k2
+
4
k22
− 4
k22
)
+ k2
(
y2 + 2 · 2y + 4y) = −4k2 ⇒
⇒ k2
((
x+
2
k2
)2
− 4
k22
)
+ k2
(
(y + 2)2 − 4) = −4k2 ⇒
⇒
(
x+
2
k2
)2
− 4
k22
+ (y + 2)2 − 4 = −4⇒
(
x+
2
k2
)2
− 4
k22
+ (y + 2)2 =
4
k22
⇒
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⇒
(
x+
2
k2
)2
+ (y + 2)2 =
4
k22
⇒
(
x+
2
k2
)2
+ (y + 2)2 =
(
2
k2
)2
. Ou seja, circun-
fereˆncias de centro C
(
− 2
k2
,−2
)
e raio
2
k2
, {k2 ∈ R/k2 6= 0}. Quando k2 = 0, teremos
a reta x = 0.
? Gra´fico das curvas:
3. Calcule as integrais dadas ao longo dos caminhos indicados: (Esboce os caminhos
indicados)
a)
∫
γ
(z + 3)dz, sendo γ(t) = 2t+ (4t− 1)i, 1 6 t 6 3.
Soluc¸a˜o:
Seja o caminho γ(t) = 2t + (4t − 1)i, 1 6 t 6 3. Com isso, x = 2t e y = 4t − 1, como
ilustrado na figura abaixo.
Disciplina: Func¸a˜o de uma Varia´vel Complexa Lista de Exerc´ıcios no 04 6
Dessa forma,
∫
γ
(z + 3)dz =
∫ 3
1
(2t+ (4t− 1)i+ 3) · (2 + 4i)dt =
∫ 3
1
(2t+ 4it− i+ 3) · (2 + 4i)dt =
=
∫ 3
1
4t+8it+8it+16i2t−2i−4i2+6+12idt =
∫ 3
1
4t+16it−16t−2i+4+6+12idt =
=
∫ 3
1
−12t+16it+10i+10dt = −12t
2
2
+
16it2
2
+ 10it+ 10t
∣∣∣∣3
1
= −6t2 + 8it2 + 10it+ 10t∣∣3
1
=
=
(−6 · 32 + 8i · 32 + 10i · 3 + 10 · 3)− (−6 + 8i+ 10i+ 10) =
= −54 + 72i+ 30i+ 30 + 6− 8i− 10i− 10 = −28 + 84i.
b)
∫
γ
(2z − z)dz, sendo γ(t) = −t+ (t2 + 2)i, 0 6 t 6 2.
Soluc¸a˜o:
Seja o caminho γ(t) = −t+ (t2 + 2)i, 0 6 t 6 2. Com isso, x = −t e y = t2 + 2, como
Disciplina: Func¸a˜o de uma Varia´vel Complexa Lista de Exerc´ıcios no 04 7
ilustrado na figura abaixo.
Dessa forma,
∫
γ
(2z − z)dz =
∫ 2
0
(
2
(−t− (i(t2 + 2))))− (−t+ i(t2 + 2)) (1− 2it)dt =
=
∫ 2
0
(2(−t− it2 − 2i) + t− it2 − 2i)(−1 + 2it)dt =
=
∫ 2
0
(−2t− 2it2 − 4i+ t− it2 − 2i)(−1 + 2it)dt =
∫ 2
0
(−3it2 − t− 6i)(−1 + 2it)dt =
=
∫ 2
0
3it2 + t+ 6i− 6i2t3 − 2it2 − 12i2tdt =
∫ 2
0
it2 + 13t+ 6i+ 6t3dt =
=
it3
3
+
13t2
2
+ 6it+
6t4
4
∣∣∣∣2
0
=
(
23i
3
+
13 · 22
2
+ 6 · i · 2 + 6 · 2
4
4
)
− (0 + 0 + 0 + 0) =
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=
8i
3
+ 26 + 12i+ 24 = 50 +
44i
3
.
c)
∫
γ
ezdz, sendo γ o caminho poligonal formado pelos segmentos de reta z = 0 para
z = 2 e z = 2 para z = 1 + pii.
Soluc¸a˜o:
Seja o caminho formado pelo segmentos de z = 0 para z = 2 e z = 2 para z = 1 + pii,
como ilustra a figura abaixo.
TERMINAR
d)
∫
γ
Im(z − i)dz, sendo γ o caminho poligonal formado pelo arco circular ao longo de
|z| = 1 de z = 1 para z = i e o segmento de reta z = i para z = −1.
Soluc¸a˜o:
Seja a parametrizac¸a˜o ao longo de |z| = 1 de z = 1 para z = i e o segmento de reta
z = i para z = −1 dada por:
Disciplina: Func¸a˜o de uma Varia´vel Complexa Lista de Exerc´ıcios no 04 9
 γ1(t) = cos(t) + isen(t), 0 6 t 6
pi
2
γ2 = t+ i(t+ 1), 0 6 t 6 −1
Assim, temos:
Ale´m disso, como z = x+ yi⇒ Im(z) = y − 1. Com isso:
∫
γ
Im(z − i)dz =
∫
γ1
(y − 1)dz +
∫
γ2
(y − 1)dz =
=
∫ pi
2
0
(sen(t)− 1) · (−sen(t) + icos(t))dt+
∫ −1
0
(t · (1 + i))dt =
=
∫ pi
2
0
(sen2(t) + icos(t)sen(t) + sen(t)− icos(t))dt+
∫ −1
0
(t+ it)dt =
=∫ pi
2
0
−sen2(t)dt+i
∫ pi
2
0
cos(t)sen(t)dt+
∫ pi
2
0
sen(t)dt+i
∫ pi
2
0
cos(t)dt+
∫ −1
0
(t+it)dt =
Disciplina: Func¸a˜o de uma Varia´vel Complexa Lista de Exerc´ıcios no 04 10
=
(
− t
2
+
sen(2t)
4
+ i
sen(2t)
4
+ i
sen2(t)
2
− cos(t)− isen(t)
)∣∣∣∣pi2
0
+
(
t2
2
+
it2
2
)∣∣∣∣−1
0
=
= −pi
4
+
i
2
+ 1− i+ 1
2
+
i
2
=
3
2
− pi
4
.