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PROF. HERSON ROCHA 
CÁ LCULO I 
PARAUAPEBAS 
 2014 
5 
C lculo I 
CÁ LCULO I 
Cap. 1 - FUN Õ ES 9 
1. Definiç o 9 
2. Dom nio, Imagem e Gr fico de uma Funç o 14 
19 3. Determinando o Dom nio de uma Funç o 
4. Funç es Pares e mpares 21 
5. Funç es Crescentes e Decrescentes 22 
Cap. 2 - MODELOS LINEARES 25 
 
1. Definiç o de Modelo Matem tico 25 
2. Modelos Lineares 26 
3. Retas 29 
4. Outros Tipos de Funç es 35 
Cap. 3 - INTRODU O TRIGONOMETRIA 41 
1. O Tri ngulo Ret ngulo 41 
2. Teorema de Pit goras 42 
3.4 ngulos Not veis 45 
 
 
Cap. 4 - FUN Õ ES EXPONENCIAIS E 
LOGAR TMICAS 55 
 
1.Equaç es Exponenciais 57 
2.Problemas que Envolvem Equaç es Exponen- 
ciais 58 
3. Gr fico da Funç o Exponencial 61 
4. Funç es Inversas 62 
5. Logaritmos 66 
6. Equaç es Logar tmicas 67 
7. Mudança de Base 68 
8. O N mero e 69 
 
 
Cap. 5 - LIMITES E CONTINUIDADE 77 
 
1. Noç o Intuitiva de Limite 77 
2. Limite Trigonométrico Fundamental 85 
3. Limites Laterais 86 
4. Limites Infinitos 89 
5. Limites no Infinito 90 
6 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
6. O N mero de E ler 93 
7. Continuidade 95 
 
 
Cap. 6 - DERIVADAS E SUAS APLICA Õ ES 101 
 
1. Tangentes 101 
2. A Derivada Como uma Funç o 105 
3. Regras de Derivaç o 107 
4. Derivadas de Ordem Superior 110 
5. A Regra da Cadeia 114 
6. Diferenciaç o Impl cita 118 
7. Taxas Relacionadas 121 
 
 
Cap. 7 - INTEGRAIS 129 
 
7.1 C lculo de Primitivas 129 
 
 
REFER NCIAS BIBLIOGRÁ FICAS 135 
7 
C lculo I 
Olá Aluno(a)! 
 
A disciplina de Cálculo é muito importante para sua formação, pois oferece a base 
matemática que será utilizada para resolver problemas dentro e fora de sua área 
de conhecimento. Tem como objetivo criar condições para o desenvolvimento de 
sua capacidade de mani- pular fórmulas, compreender conceitos, resolver 
equações e pensar logicamente. Portanto, serão estudados neste curso tanto os 
concei- tos fundamentais, como as técnicas formais do cálculo. 
 
Nosso curso de Cálculo será dividido em 4 partes (Figura 1). Na primeira, 
formaremos a base de nossos estudos: funções, gráficos, tri-gonometria básica e 
geometria analítica. Na segunda, estudaremos limites e continuidade, bem como 
suas propriedades e aplicações. Na terceira parte, veremos derivadas e suas 
propriedades e as regras de derivação e, além disso, aprenderemos a resolver 
problemas aplicando o que foi discutido. Por fim, estudaremos as integrais de 
algumas funções simples. 
Figura 1 – Estudo de Cálculo 
 
 
Um curso de Cálculo requer um tempo diário de estudo e dedicação. Por isso é muito 
importante que você realize todas as atividades pro- postas, tanto neste material, como na 
sua sala de aula virtual. 
 
•Leia os textos com bastante atenção, sempre com espírito questio- nador e investigativo. 
APRESENTAÇÃO 
9 
C lculo I 
 
Olá Aluno(a)! 
 
 
 
O objeto fundamental do Cálculo são as funções. Este capítulo, abrindo o caminho de nossos 
estudos, tem como objetivo discutir as idéias básicas sobre funções e seus gráficos, bem como as 
formas de combiná-los e transformá-los. Bons estudos! 
Você já pensou sobre a importância de saber que duas grandezas podem se relacionar em 
pares? A equipe de um piloto de Fórmula 1 registra em com- putadores a velocidade de 
seu piloto em cada instante (velocidade versus tempo); o gerente de uma empresa 
acompanha a receita obtida na venda de uma determinada quantidade de um artigo (receita 
versus quantidade); um biólogo acompanha o crescimento diário de uma planta (altura 
versus tem- po). Até o movimento de um martelo pode ser descrito por uma função! 
 
O termo função apareceu pela primeira vez em 1692, num artigo escrito pelo 
matemático alemão Gottfried Wihelm Von Leibniz (1646 – 1716). O surgimento das 
variáveis na Matemática e a criação da Geometria Analítica fizeram com que, já no 
século XVII, os matemáticos apresen- tassem para o termo uma definição, muito 
próxima da atual, que adian- te vamos conhecer. 
 
Hoje, graças às equações, aos gráficos no plano cartesiano e à teoria dos conjuntos, a 
idéia de função tornou-se muito mais simples e acessível às pessoas, mesmo as mais 
jovens ou as iniciantes no estudo da Matemática. 
 
1.1 Definição 
 
Para iniciarmos, considere a seguinte situação: 
 
 
Exemplo 1 
 
Numa padaria, o pão é vendido a R$ 6,00 o quilo. A Tabela 1 relaciona a quantidade de 
pão comprada com o valor total a ser pago. 
FUNÇÕES
 
10 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
Repare que se a quantidade comprada for x quilos, será pago o valor V, ob- tido pela 
expressão V = 6x reais. 
Função: Dados dois conjuntos A e B, uma função f: A  B (lê-se “uma função de A 
em B”) é uma regra que diz como associar a cada elemento x de A um elemento y = f(x) 
de B. O conjunto A chama-se o domínio e o B, é o contra-domínio da função. Para 
cada elemen- to x de A, o elemento f(x) de B chama-se imagem de x. 
Na situação apresentada anteriormente, podemos observar os conjun- tos A 
(conjunto das quantidades compradas) e B (dos valores pagos), além da 
regra que permite associar os elementos de A com os de B. A regra é 
“multiplicar cada elemento de A por 6” , o que fica expresso pela fórmula V = 
6.x. 
 
Exemplo 2 
 
Em uma safra, um produtor de morangos tem um custo de R$ 0,50 por caixa 
produzida, relativo a sementes, defensivos agrícolas, embalagens, etc., além de 
uma despesa fixa de R$ 1.500,00, relativa ao aluguel do terreno onde produz, 
ao maquinário e ao salário de empregados. 
 
Se representarmos a quantidade de caixas produzidas por C e a despesa para 
essa produção por D, montamos a relação D = 0,50.C + 1500, que é a regra da 
nossa função. Essa regra também poderia ser expressa em palavras: “multiplicar 
C por 0,50 e depois somar com 1500”. 
Cap tulo 1 
Tabela 1 – Quantidade de Pão versus Valor Pago 
Quantidade comprada Total a ser pago 
250 g 0,250 x 6 = R$ 1,50 
500 g 0,500 x 6 = R$ 3,00 
1 kg 1,000 x 6 = R$ 6,00 
2 kg 2,000 x 6 = R$ 12,00 
3,5 kg 3,500 x 6 = R$ 21,00 
7 kg 7,000 x 6 = R$ 42,00 
11 
 
Observe a Tabela 2: 
C lculo I 
Tabela 2 – Caixas produzidas versus Despesa total em Reais 
 
A respeito da situação acima, algumas perguntas podem ser feitas, como por 
exemplo: 
 
• Quantas caixas de morangos podem ser produzidas aplican- do-se 
R$15.000,00? 
Solução 
 
Nesse caso, temos D = 15.000 e queremos encontrar C. Assim, basta resol- ver uma 
equação do 1º grau. 
0,50.C + 1500 = 15000 
 
0,50.C = 15000 – 1500 
 
0,50.C = 13500 
 
C = 27000 
Logo, podem ser produzidas 27.000 caixas. 
 
•Se forem produzidas 50.000 caixas, qual deverá ser o preço de ven da de cada caixa 
para se obter um lucro total de R$ 10.000,00? 
 
 
 
Solução: 
 
 
Primeiro, encontramos o total a ser gasto para a produção das 50000 caixas: 
 
 
 
D = 0,50.50 000 + 1500 
 
D = 25000 + 1500 
 
D = 26500 
Caixas produzidas (C) Despesa total em reais (D) 
100 0,50 x 100 +1500 = 1550 
500 0,50 x 500 +1500 = 1750 
1000 0,50 x 1000 +1500 = 2000 
2000 0,50 x 2000 +1500 = 2500 
5000 0,50 x 5000 +1500 = 4000 
10000 0,50 x 10000 +1500 = 6500 
12 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
Conforme o resultado acima, serão gastos 26.500 reais. Então, para obter-se o lucro de 
10.000 reais, será necessária uma arrecadação de 
26.500 + 10.000 = 36.500 reais com as vendas (para pagar as despe- sas e sobrar 
10.000). Assim, para encontrar o preço de venda de cada caixa, basta dividir 36.500por 50.000. 
 
36 500 ÷ 50 000 = 0,73. 
 
Portanto, cada caixa deverá ser vendida por R$ 0,73. 
ATIVIDADE 1: 
 
A)Em relação à situação anterior, muitas outras perguntas pode riam ser feitas. Use 
sua imaginação e elabore e responda a mais duas perguntas. Exercite sua 
criatividade! 
 
B)Um vendedor recebe, por mês, um valor fixo de R$ 160,00 mais um adicional de 
2% das vendas efetuadas por ele no mês. Qual a função que expressa o valor do seu 
rendimento mensal em função de sua venda mensal? 
Pessoal, vamos analisar mais um exemplo de função presente no nosso dia-a-dia. 
 
 
Exemplo 3 
 
a)Uma bomba para transferência de produtos derivados de petróleo (inflamáveis) tem 
capacidade de transferir 70 litros de gasolina por minuto. Imagine que um posto de 
gasolina tenha instalado essa bomba e esteja vendendo um litro de gasolina por R$ 2,65. 
 
 
Perguntamos: 
 
• Qual é a expressão matemática que relaciona o volume V (em litros) de 
combustível transferido com o tempo t (em minutos) gasto para a 
transferência? 
Solução: 
Em 1 minuto, a bomba transfere 70 litros; em 2, a bomba transfere 2  70 = 140 litros; em 3, transfere 3  70 = 210 
litros. Continuando esse raciocínio, em t minutos ela transferirá t  70 = 70t litros. 
Cap tulo 1 
Funç es 
 
 
Assim, a expressão matemática que relaciona V e t é V = 70t. 
 
• Qual é a expressão matemática que fornece o valor (em reais) da gasolina 
transferida em minutos? 
 
 
 
Solução: 
 
Se o volume transferido em t minutos é V = 70t litros e o preço de cada litro de gasolina é 
R$ 2,65, então o preço de 70t litros é 70t  2,65 = 185,5t reais. 
 
Assim, a expressão matemática é R=185,5t, em que R é o valor da gasoli- na transferida 
em t minutos. Na prática, isso significa que, utilizando-se a bomba acima para 
transferência de gasolina, consegue-se transferir o equi- valente a R$185,50 de gasolina 
por minuto. 
 
b)Uma grande empresa comprou 10.500 litros de gasolina no posto mencionado. 
Ela vai transportar o combustível num caminhão tanque. Quanto tempo demorará 
para transferir os 10.500 litros para o caminhão tanque, utilizando-se, ao mesmo 
tempo, de duas bombas de vazão de 70 litros por minuto? 
 
 
Solução: 
 
Com as duas bombas trabalhando juntas, consegue-se transferir 140 litros por minuto. 
Logo, a fórmula que relaciona V com t é V = 140t litros. Temos V = 10.500 e queremos 
encontrar t. Para isso, basta dividir 10.500 por 140; logo, o resultado é 75. 
 
Portanto, serão gastos 75 minutos, ou seja, 1 hora e 15 minutos para a 
transferência. 
 
ATIVIDADE 2: 
 
A)Uma caixa d’água de 1000 litros tem um furo no fundo, pelo qual escoa água 
a uma vazão constante. Ao meio-dia de certo dia, ela foi enchida e, às 6 da tarde 
desse dia, só havia 850 litros. Como se relaciona o volume V de água na caixa (em 
litros) com o tempo t decorrido (em horas) após meio-dia (t  40 )? 
 
 
B)Uma fábrica de bolsas tem um custo fixo mensal de R$ 5.000,00. Cada bolsa 
fabricada custa R$ 25,00 e é vendida por R$ 45,00. Para que a fábrica tenha um 
lucro mensal de R$ 4.000,00 , ela deverá fabricar e vender mensalmente quantas 
bolsas? 
C lculo I 
14 
Tabela 3 – Ano vs População (milhões) 
 
Observe que em 1950 a população era de 2.520.000.000. Representamos isso 
matematicamente escrevendo P(1950) = 2.520.000.000. Da mesma for- ma, temos P(1940) 
= 2.300.000.000 e assim por diante. 
 
Para cada valor do tempo t existe um valor de P correspondente; dizemos que P é uma 
função de t. 
 
Com base no que foi observado nos dois exemplos anteriores, podemos elaborar uma 
definição alternativa de função, equivalente à já apresentada. 
 
 
Definição alternativa de função 
Uma função f é uma lei que para cada elemento x em um conjunto A, faz 
corresponder exatamente um elemento chamado f(x) em um conjunto B. 
 
 
 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
1.2 Dominio, Imagem e Gráfico de uma Função 
 
 
Vamos agora nos aprofundar mais um pouco no estudo de funções. Para isso, 
observe com bastante atenção os exemplos: 
 
Exemplo 4 
 
A área A de um círculo depende do seu raio r. A lei que conecta r e A é dada pela equação A 
= . r2 . A cada número r positivo associa-se um único valor de A, e dizemos que A é uma 
função de r. 
 
Exemplo 5 
 
A população humana mundial P depende do tempo t. A tabela 3 fornece es- timativas da 
população mundial P(t) no instante t, para determinados anos. 
Cap tulo 1 
Ano População (milhões) 
1900 1650 
1910 1750 
1920 1860 
1930 2070 
1940 2300 
1950 2520 
1960 3020 
1970 3700 
1980 4450 
1990 5300 
1996 5770 
C lculo I 
Considerando a função D = 0,50.C + 1500, analisada no exemplo 2, se o valor de entrada 
for 100, o valor de saída será 1550, ou seja, D(100) = 1550. No exemplo, todas as entradas 
possíveis são números naturais (quantidades de caixas produzidas) e as saídas são 
números racionais positivos (valores pagos pela produção). 
 
O método mais comum de visualizar uma função consiste em fazer seu gráfico. O 
gráfico de uma função f é o conjunto de todos os pontos (x, y) do plano coordenado, tais que y  f (x) 
e x está no domínio de f. 
 
O gráfico de uma função f nos dá uma imagem rica do comportamento ou da “história de 
vida” de uma função, uma vez que podemos interpretar o valor y  f (x) como a altura do 
ponto, no gráfico, acima de x (Figura 3). 
Funç es 
 
 
O conjunto A é chamado de domínio da função. O número f(x) é o valor de f em x e deve 
ser lido como “f de x”. A variação de f é o conjunto de todos os valores possíveis de f(x) 
quando x varia por todo o domínio. O símbolo que representa um número arbitrário no 
domínio de uma função f é chama- do de variável independente, e o que representa um 
número qualquer na variação de f é chamado de variável dependente. No exemplo 4, a 
variável independente é r, enquanto A é a dependente. 
 
É muito proveitoso considerar uma função como sendo uma máquina. Se x estiver no 
domínio da função f, quando x entrar na máquina, ele será aceito como input (entrada), e a 
máquina produzirá um output (uma saída) f(x), de acordo com a lei que define a função. 
Assim, podemos pensar o domínio como sendo o conjunto de todos os inputs, enquanto a 
variação é o conjun- to de todos os outputs possíveis (Figura 2). 
Figura 2 – Função considerada como uma máquina 
16 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
O gráfico de f também nos permite visualizar o domínio sobre o eixo x e a variação 
(imagem) sobre o eixo y, conforme Figura 4. 
Exemplo 6 
 
 
Na figura abaixo, temos os gráficos de duas funções f e g. 
 
a)Calcule os valores de f(4) e g(-3). 
 
b)Descubra para quais valores de x tem-se f(x) = g(x). 
 
c)Estime a solução da equação f(x) = -1. 
 
 
d)Encontre o domínio e a imagem das funções f e g. 
Cap tulo 1 
Figura 4 – Domínio e imagem de uma função 
Figura 3 – y =f(x) visto como altura 
C lculo I 
x  
2 
e, em x  
2 . 
c)Temos que descobrir os pontos cuja altura seja de 1 unidade, mas abaixo do eixo x. Isso 
ocorre em 2 pontos: em x  4 e, em x  3 . Portanto, a solução da equação f(x) = -1 é S  {3, 
4} . 
 
d)Vamos analisar, inicialmente, o gráfico de f. O ponto mais à esquerda é x  4 e o mais à 
direita é x  4 . Isso significa que o domínio da função é o intervalo de -4 a 4. Ou seja, D( f ) 
 [4, 4] . Da mesma forma, o ponto mais baixo ocorre em y  2 e o mais alto em y  3 . 
Portanto, a imagem da função é o intervalo de -2 a 3. Assim, Im( f )  [2,3] . 
 
 
Fazendo a mesma análise, mas em relação ao gráfico de g, descobrimos que 
D(g)  [4,3] e que Im(g)  [0,5; 4] . 
 
 
Exemplo 7 
 
Umacaixa aberta em cima tem um volume de 10 m³. O comprimento da base é o dobro 
do da largura. O material da base custa R$ 10,00 o metro quadrado. Já o material das 
laterais custa R$ 6,00 o metro quadrado. Ex- presse o custo total do material em função 
da largura da base. 
 
 
Solução: 
 
Primeiramente vamos fazer uma figura relativa ao problema, completan- do-a com os 
dados fornecidos. 
17 
Funç es 
Solução: 
 
 
a)Vemos na figura que f (4)  1 e g(3)  2 , aproximadamente. 
 
b)Os valores de x tais que f(x) = g(x) correspondem aos pontos em que os dois gráficos se 
cruzam (se intersectam). Isso ocorre em dois pontos: em 
18 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
Na Figura 5, x representa a largura da base, 2x representa o comprimento da base (que é o 
dobro da largura) e h representa a altura da caixa. 
• Custo das laterais da frente e de trás = 2xh 2 6 
120 
x 
   2x. .2.6  
x2 
 5  
  
. 
Finalizamos o problema somando os custos de cada parte: 
180 
x 
Custototal  20x    20x  
x x 
60 120 2 2 
Figura 5 – Caixa retangular aberta 
 
O segundo passo é calcular as áreas de cada face da figura. A área da base é 2x  x  2x 2 . As laterais da direita e da esquerda 
têm área xh cada uma. As laterais da frente e de trás têm área 2xh cada uma. 
 
O terceiro passo é observar que o volume da figura, que é 10m³, pode ser obtido multiplicando-se a área da base pela 
altura da caixa. Assim: 
2x2  h  10  h  
x2 2x2 
10 5 
 
Agora, substituímos h  
x2 
nas áreas das faces e multiplicamos cada uma delas pelo custo do m² do material utilizado em 
sua fabricação: 
5 
• Área da base = 2x2  Custo da base = 2x
2 10  20x2 . 
• Custo das laterais da direita e da esquerda = xh  2  6  x. 
5 
.2.6  
60 
x  x2  
  
Cap tulo 1 
C lculo I 
ATIVIDADE 3 
 
A)Um retângulo tem perímetro (soma das medidas dos lados) 
de 20 metros. Expresse a área do retângulo como uma função do 
comprimento de um dos seus lados. 
 
B)Uma caixa retangular aberta com volume de 2m³ tem a base 
quadrada. Expresse a área superficial da caixa como função de um 
dos lados da base. 
 
 
 
 
1.3 Determinando o Dominio de uma Função 
 
 
Muitas vezes, quando estamos resolvendo um problema, precisamos 
determinar o domínio de uma função. Ou seja, precisamos determinar 
os valores possíveis para a variável independente. Como fazer isso? 
 
Considere a função y = 2x – 1. Note que não há restrição quanto aos valores 
que x pode assumir, pois qualquer número real x pode ser multiplicado por 
2 e, em seguida, pode-se subtrair 1 do resultado sem nenhum problema. 
Nesse caso, dizemos que o domínio da função é o conjunto dos números 
reais, que representamos pela letra  . 
Observe agora a função 
x  2 
1 
y  f (x)  . Perceba que x não pode ser 
2, senão ficaríamos com a conta 0 , que não faz sentido. Nesse caso, 
dizemos que o domínio da função é todo o conjunto dos números re- 
ais, exceto o número 2. Representamos assim: D( f )    {2} ou, ainda, 
D( f )  {x   / x  2} . 
y  
1 
Tenha cuidado principalmente em dois casos: 
 
 
1º caso - quando a variável aparece no denominador. 
 
Nesse caso, devemos lembrar que não existe divisão por zero. Assim, basta 
excluir os valores da variável que anulam o denominador. 
 
 
 
Exemplo 8 
Para encontrar o domínio da função 
x 2  9 
y  f (x)  
 x  2 x  x  7 3 2 
, desco- 
brimos os valores que anulam o denominador: 
19 
Funç es 
20 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
x 2  9  0 
 
x 2  9 
x  3 ou x  3 . 
 
 
 
Agora excluímos esses valores: D( f )    {3,3}ou D( f )  {x   / x  3} . 
 
2º caso - quando a variável aparece como radicando de uma raiz 
índice par. 
 
Nesse caso, devemos lembrar que não existe raiz real de números negativos 
quando o índice da raiz for um número par. Basta obrigar que o radicando 
seja um número não negativo. 
 
Exemplo 9 
Como encontrar o domínio da função f (x)  2  x ? 
Como o índice da raiz é par (no caso é 2), basta obrigar o radicando 2  x a 
ser um número não-negativo: 2  x  0  x  2 . 
 
 
Assim, o domínio da função é D( f )  {x   / x  2} . 
ATIVIDADE 4 
 
Encontre o domínio de cada uma das funções: 
 
1) f (x)  x  4 
2) y  
2 x  6 
x  2 
3) 
x  1 
1 
f (x)  
4) y  
3 x  2 
x3  13 
5) 
x  2 
y  
 3  x 
Cap tulo 1 
21 
Funç es 
 
 
1.4 Funções Pares e ímpares 
 
 
As funções podem, ainda, ser classificadas em funções pares ou ímpares, 
dependendo do tipo de simetria que seu gráfico apresentar. Vamos ver isso 
detalhadamente. 
 
 
Na Tabela 4, temos alguns valores da função f (x)  x² . 
 
Repare que, aplicando a função em quaisquer dois números de sinais opos- 
tos, o resultado obtido é o mesmo. Sempre que isso acontecer, dizemos que 
a função é par. 
C lculo I 
Agora vamos analisar a função . f (x)  x
3 
Repare que, aplicando a função em quaisquer dois números de sinais opos- 
tos, os resultados obtidos são opostos (Tabela 5). Sempre que isso acontecer, 
dizemos que a função é ímpar. 
Tabela 4 – Valores da função f(x) = x² 
Tabela 5 – Valores da função f(x) = x³ 
Valor de x Valor de f (x)  x² 
-2 4 
+2 4 
-3 9 
+3 9 
-10 100 
+10 100 
-20 400 
+20 400 
Valor de x Valor de f (x)  x3 
-2 -8 
+2 +8 
-3 -27 
+3 +27 
-10 -1000 
+10 +1000 
-20 -8000 
+20 +8000 
22 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
Função par - Uma função é chamada de par se cumprir 
a condição f (x)  f (x) , qualquer que seja o elemento x em 
seu domínio. 
 
Função ímpar - Uma função f é chamada de ímpar se cum- 
prir a condição f (x)   f (x) , qualquer que seja o elemento 
x em seu domínio. 
f 
Na Figura 6, temos os gráficos das funções f (x)  x² e f (x)  x
3 
. Repare que o gráfico de f (x)  x² apresenta simetria em relação 
ao eixo y. Essa é uma característica importante das funções pares. 
Todas elas são simétricas em relação ao eixo y. 
Já o gráfico da função apresenta outro tipo de simetria. f (x)  x
3 
Tente descobrir qual é e depois descreva-o com suas palavras. 
1.5 Funções Crescentes e Decrescentes 
 
 
O gráfico da função y  f (x) representada na Figura 7 se eleva de A para 
B, cai de B para C e se eleva novamente de C para D. Dizemos, então, que 
a função é crescente nos intervalos e e decrescente no intervalo [a,b] e 
 
[c, d ] e decrescente no intervalo [b, c] . 
Cap tulo 1 
Figura 6 – Gráficos das funções f(x) = x2 e f(x) = x3 
C lculo I 
• A função é crescente para valores acima 
de 1, ou seja, no intervalo [1,[ e decrescente para va- 
lores abaixo de 1, ou seja, no intervalo ]  ,1] . 
ATIVIDADE 5 
 
 
A)Dadas as funções abaixo, determine os intervalos em que elas são 
crescentes e os intervalos em que são decrescentes: 
 
1) f (x)  x  5 
 
2) f (x)  2x  8 
23 
Funç es 
Função crescente - Uma função f é crescente em um intervalo I se 
x1  x2 então f (x1 )  f (x2 ) , quaisquer que sejam os elementos 
x1 e x2 de I. 
Função decrescente - Uma função f é decrescente em um inter- 
valo I se x1  x2 então f (x1 )  f (x2 ) , quaisquer que sejam os 
elementos x1 e x2 de I. 
Observações: 
 
• A função f (x)  x² é crescente pra valores de x positi- 
vos, e, decrescente, para valores de x negativos. 
• Já a função é crescente em todo o seu 
domínio. 
f (x)  x3• A função que fornece a população do planeta Ter- 
ra é exemplo de uma função crescente em todo o 
seu domínio. 
f (x)  (x 1)2 
Figura 7 – Crescimento e decrescimento de uma função 
24 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
3) f (x)  x
2  4 
4) f (x)  (x  3)
2 
5) f (x)  (2x  4)
2 
___________________________________________________ 
___________________________________________________ 
___________________________________________________ 
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___________________________________________________ 
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___________________________________________________ 
___________________________________________________ 
___________________________________________________ 
___________________________________________________ 
___________________________________________________ 
Cap tulo 1 
25 
C lculo I 
Olá, Turma! 
 
São inúmeros os fenômenos do mundo real que podem ser descritos 
matematicamente. O tamanho de uma população, a demanda por 
um produto, a velocidade de um objeto caindo, a concentração de 
um produto em uma reação química, a expectativa de vida de uma 
pessoa ao nascer e o custo das reduções dos poluentes são alguns 
exemplos. Neste capítulo, estudaremos um tipo especial de modelo 
matemático: o modelo linear e suas aplicações. 
 
Bons estudos! 
2.1 Definiç o de Modelo Matem tico 
 
 
Modelo matemático – É uma descrição matemática (frequente- 
mente feita por meio de uma função ou de uma equação) de um 
fenômeno do mundo real. 
Os modelos matemáticos são utilizados praticamente em todas as áreas 
científicas, por exemplo, na biologia, química, física, economia, enge- 
nharia e na própria matemática pura. O propósito de um modelo ma- 
temático é entender e, se possível, fazer predições sobre um comporta- 
mento futuro, relativo a determinado fenômeno. 
 
Quando temos um problema do mundo real e queremos modelá-lo 
matematicamente, a primeira coisa a fazer é identificar as variáveis de- 
pendentes e independentes e elaborar um conjunto de hipóteses que 
simplifiquem o fenômeno. Depois, utilizamos nossos conhecimentos 
matemáticos para obter equações que relacionam as variáveis. No caso 
de não existir uma lei física para nos guiar, pode ser necessário coletar 
dados e examiná-los na forma de uma tabela, a fim de percebermos 
padrões. Pode-se fazer uma representação gráfica dos dados obtidos, 
o que, muitas vezes, ajuda na descoberta de uma fórmula algébrica que 
modele o problema. 
MODELOS LINEARES 
26 
Tabela 6 – Exemplos de função afim 
 
 
 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
Cap tulo 2 
A Figura 8 apresenta o processo de modelagem. 
Figura 8 – Processo de modelagem 
 
 
 
2.2 Modelos Lineares 
 
 
Quando dizemos que y é uma função linear de x, queremos dizer que 
o gráfico da função é uma reta. Para modelar uma função cujo gráfico 
é uma reta, utilizamos a expressão y  f (x)  m.x  b , na qual m e b são 
números reais; m é o coeficiente angular da reta e b é o coeficiente line- 
ar (ou intersecto-y). A expressão y  f (x)  m.x  b define uma função 
polinomial do 1º grau ou simplesmente função afim. 
 
 
 
Função afim – Uma função real é chamada de afim quando exis- 
tem constantes m e b tais que y  f (x)  m.x  b , qualquer que seja 
o valor real de x. 
 
 
Exemplo 1 
 
A tabela 6 mostra alguns exemplos de funções afins. 
Função afim Valores de m e b 
y  2x  3 m = 2 e b = 3 
f (x)  4x  5 m = -4 e b = -5 
g(x)  12x  1 m = 12 e b = -1 
f (x)  5x m = 5 e b = 0 
y  x m = 1 e b = 0 
f (x)  2 m = 0 e b = 2 
27 
Modelos Lineares 
C lculo I 
Observações 
 
• O gráfico de qualquer função afim é uma reta. 
 
• A função y  x é chamada função identidade ou bissetriz dos 
quadrantes ímpares. 
 
• A função y  x é chamada bissetriz dos quadrantes pares. 
 
• Se m  0 , a função y  b é chamada função constante. 
 
• Chamamos a função y  0 (em que m e b são iguais a zero) 
função nula. 
 
• Se y  0 , a função é crescente e se m  0 , é decrescente. 
Vamos ver alguns exemplos em que modelamos fenômenos utilizando 
modelos lineares. 
 
 
Exemplo 2 
 
Quando um passageiro entra num táxi, o taxímetro começa a marcar o 
valor a ser pago pela corrida a partir de uma quantia inicial pré-estabe- 
lecida pelo taxista, a qual costuma ser chamada de bandeirada. Geral- 
mente, é cobrado um valor por quilômetro rodado. Se um táxi cobra, 
por exemplo, R$3,00 de bandeirada mais R$1,20 por quilômetro roda- 
do, podemos determinar o preço de qualquer corrida pela expressão 
y  1,2  x  3 . Note que o valor inicial é igual a b. 
 
 
Exemplo 3 
 
Uma caixa d’água de 4.000 litros tem um furo no fundo por onde escoa 
água a uma vazão constante. Suponha que ao meio-dia de certo dia ela 
foi enchida e, às 6 da tarde desse dia, só havia 850 litros. Vamos encon- 
trar uma função que forneça o volume (em litros) de água na caixa após 
certo tempo t. 
 
Repare que houve uma diminuição de 4000 – 850 = 3150 litros de água 
no intervalo de 18 – 12 = 6 horas. Como, por hipótese, a vazão é cons- 
tante, concluímos que, a cada hora, vaza o equivalente a  525 li- 
6 
3150 
tros. A partir daí, monta-se a função. Basta tomar m  525 (diminui- 
ção de 525 litros por hora, por isso o sinal negativo) e b  4000 (valor 
inicial da função). 
28 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
Portanto, o volume de água restante na caixa após um tempo de t horas 
é V  525t  4000 litros. 
 
 
Exemplo 4 
 
À medida que o ar seco move-se para cima, ele se expande e esfria. Se a 
temperatura no solo for de 20°C e a temperatura a uma altura de 1 km for 
de 10°C, vamos determinar a temperatura T (em °C) como uma função 
da altura h (em km), supondo que um modelo linear seja apropriado: 
 
 
1ª solução: 
 
 
Inicialmente, sabemos que é preciso determinar m e b na expressão 
T  m.h  b . 
 
 
Mas, se h  0 , então T  20. Vamos substitu ir esses dois valores 
na expressão: 
 
 
T  m.h  b 
20  m.0  b 
b  200 
 
 
 
Por outro lado, se h  1 , então T  100 . Substituindo esses dois valores e 
também o valor de b na equação, temos: 
 
 
 
T  m.h  b 
10  m.1  20 
m  10 
 
 
 
Assim , chegamos à expressão T  10.h  20 .2ª solução: 
 
Como estamos supondo uma variação linear, à proporção que o ar seco 
sobe 1 km, a temperatura diminui 10°C. Considerando o estágio inicial do 
nosso problema em h  0 , temos o valor inicial b  20C . Então, basta 
tomar m  10(diminuição de 10°C a cada km que se sobe) e b  20 (va- 
lor inicial da função). Desse modo, chegamos a T  10.h  20. 
 
Vimos que o gráfico de uma função afim é uma reta. Para prosseguirmos 
em nossa jornada, precisamos estudar um pouco mais a fundo algumas 
propriedades das retas. Vamos nessa? 
Cap tulo 2 
29 
Modelos Lineares 
 
 
2.3 Retas 
 
 
Coeficiente angular de uma reta – Sejam P1 (x1 , y1 ) e P2 (x2 , y2 ) 
pontos de uma reta L não vertical. Seu coeficiente angular é 
C lculo I 
x x2  x1 
. 
m  
y 
 
y2  y1 
Coeficiente linear de uma reta – É o valor da coordenada-y do 
ponto em que a reta corta o eixo vertical. 
A Figura 9 apresenta os elementos utilizados para o cálculo do coefi- 
ciente angular. 
Figura 9 – Coeficiente angular de uma reta 
 
 
 
Exemplo 5 
 
 
Para calcular o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos 
(4,3) e (2,5) , basta aplicar diretamente a fórmula 
com x1  4 , y1  3 , x2  2 e y2  5 . 
2 1 
m  
y 
 
y2  y1 
x x  x , 
m  
y 
 
5  (3) 
 
 8 
 4 
x 2  4  2 
 
 
 
Observação 
 
Uma reta vertical não tem coeficiente angular. Por que você acha 
que isso ocorre? Pense na expressão 
2 1 
m  
y 
 
y2  y1 
x x  x . 
30 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
Teorema (retas paralelas e perpendiculares) 
 
•Duas retas paralelas têm o mesmo coeficiente angular. 
•Se duas retas são perpendiculares, então o produto dos seus co- 
eficientes angulares será igual a -1. 
Retas paralelas - O coeficiente angular de uma reta também pode ser 
interpretado como a tangente do ângulo que a reta forma com o eixo x, 
medido no sentido anti-horário. Observe na figura abaixo duas retas, L1 
e L2 , formando ângulos com o eixo x, θ e θ , respectivamente. Se duas 
1 2 
retas são paralelas, elas formam ângulos iguais com o eixo x, ou seja, 
θ1 = θ2. E como ângulos iguais têm tangentes iguais, consequentemente 
elas têm mesmo coeficiente angular. 
Figura 10 – Retas paralelas 
 
 
Retas perpendiculares - Observe na Figura 11 duas retas L1 e L2 , for- 
mando ângulos com o eixo x (medidos no sentido anti-horário), 01 e 
02, respectivamente. Se duas retas são perpendiculares (cruzam-se for- 
mando um ângulo de 90°), elas formam ângulos 01 e 02 que satisfazem 
a relação tg(01). tg(02)= -1 . Daí conclui-se que, ao multiplicarmos seus 
coeficientes angulares, encontraremos -1. 
 
 
Se designarmos os coeficientes angulares de duas retas perpendiculares 
por mr e ms , vemos que mr  . 
ms 
1 
Cap tulo 2 
C lculo I 
Se L é uma reta de coeficiente angular igual a 
7 
, qualquer reta perpen- 
 
 7 
dicular a L terá coeficiente angular igual a , pois 7 5 5 
1 . 
5 
 
 7 
  
Retas verticais e horizontais – Considere duas retas perpendiculares 
(uma vertical e outra horizontal) que passam pelo ponto (a,b) . A reta 
vertical tem equação x  a e a horizontal tem equação y  b . 
 
Constantemente precisamos determinar equações de retas quando são 
conhecidos pelo menos dois de seus pontos. 
 
 
 
Equações de retas 
 
Podemos encontrar a equação de uma reta de diversas maneiras. 
Vejamos cada uma delas: 
Equação reduzida: y  m.x  b 
 
Nessa equação, m representa o coeficiente angular e b, o coeficien- 
te linear (valor inicial da função); 
Equação geral: Ax + By + C = 0 
 
A, B e C são constantes reais, mas A e B não podem ser iguais a 
zero ao mesmo tempo; 
Equação segmentária: x  y  1 
p q 
Nessa equação, p é a coordenada x do ponto em que a reta corta o 
eixo x e q é coordenada y do ponto em que a reta corta o eixo y (p 
e q devem ser diferentes de zero); 
 
Equação ponto-coeficiente angular: y  y0  m(x  x0 ) 
 
Nessa equação, m é o coeficiente angular e (x0 , y0 ) é um ponto 
qualquer da reta. 
31 
Modelos Lineares 
Exemplo 6 
5 
Figura 11 – Retas perpendiculares 
32 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
Não importa qual das quatro expressões acima você utilize para 
determinar a equação da reta! A equação encontrada no final será 
sempre a mesma! Veja o exemplo a seguir e depois compare as 
quatro soluções. 
 
 
 
 
Exemplo 7 
 
 
Determine a equação da reta que passa pelos pontos (2,0) e (0,3) . 
 
 
Solução 1 (equação reduzida): 
Substituindo x = 0 e y = 3 na equação y  m.x  b , encontramos b = 3. 
Substituindo x = -2, y = 0 e b = 3 na equação y  m.x  b , encontramos 
m = 3/2. 
 
Concluímos, então, que a equação da reta é 
 
 
 
y  
3 
x  3 
2 
Solução 2 (equação geral): 
 
 
Substituindo x = -2 e y = 0 na equação Ax + By +C = 0, temos: 
A  (2)  B.0  C  0 
 
 2 A  C  0 
C  2 A 
 
A  
C 
2 
 
 
 
Substituindo x = 0 e y = 3 na equação Ax + By + C = 0: 
 
 
 
A  0  B.3  C  0 
3B  C  0 
C  3B 
 
B   
C 
3 
Cap tulo 2 
C lculo I 
3   2   
x 
 
y 
 1  0 
2 3 
 
(na última passagem, os dois membros da 
equação foram divididos por C) 
Solução 3 (equação segmentária): 
x 
 
y 
 1 
p q 
x 
 
y 
 1 
 2 3 
x 
 
y 
 1  0 
2 3 
 
 
 
Solução 4 (equação ponto-coeficiente angular): 
Tente fazer você sozinho. Encontre primeiro o m pela fórmula 
x2  x1 
e depois use a equação m  
y 
 
y2  y1 
x 
y  y  m(x  x ) 0 , substituindo 0 
o valor de m e as coordenadas de qualquer um dos dois pontos dados. 
ATIVIDADE 6 
 
 
A) Se a reta da equação (2+k)x + (k-3)y + 2 = 0 passa pelo ponto 
P(2,3), então o valor de k é: 
a)-3/4 
b) -5/3 
c)-2/5 
d) 3/5 
e) 5/3 
 
 
B) Um táxi cobra R$ 2,60 de bandeirada e mais R$ 0,40 por quilô- 
metro rodado. Ao final de um percurso de p quilômetros, o taxí- 
metro marca R$8,20. O valor de p é: 
33 
Modelos Lineares 
 
 
Daí, 
 
 
Ax + By +C = 0 
 x     y  C  0 
 C   C  
34 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
a) 10 
 
b) 11 
 
c) 12 
 
d) 13 
 
e) 14 
 
 
 
C) Duas empresas financeiras, E1 e E2, operam emprestando um 
capital C, a ser pago numa única parcela após um mês. A empre- 
sa E1 cobra uma taxa fixa de R$ 60,00 mais 4% de juros sobre o 
capital emprestado, enquanto a empresa E2 cobra uma taxa fixa 
de R$ 150,00 mais juros de 3% sobre o capital emprestado. Dessa 
forma, 
 
a)determine as expressões que representam o valor a ser pago em 
função do capital emprestado, nas duas empresas; 
 
b)calcule o valor de C, de modo que o valor a ser pago seja o mes- 
mo nas duas empresas. 
 
 
 
D) Um provedor de acesso à Internet oferece dois planos para 
seus assinantes: 
 
Plano A - Assinatura mensal de R$ 8,00 mais R$ 0,03 por minuto 
de conexão durante o mês. 
 
Plano B - Assinatura mensal de R$ 10,00 mais R$ 0,02 por minuto 
de conexão durante o mês. 
 
 
Acima de quantos minutos de conexão por mês é mais econômico 
optar pelo plano B? 
a) 160 
b) 180 
c) 200 
d) 220 
 
e) 240 
 
 
E)A academia “Fique em Forma” cobra uma taxa de inscrição de R$ 
80,00 e mensalidade de R$ 50,00. A academia “Corpo e Saúde” cobra 
uma taxa de inscrição de R$ 60,00 e mensalidade de R$ 55,00. 
 
a)Determine as expressões algébricas das funçõesque represen- 
tam os gastos acumulados em relação aos meses de aulas, em cada 
academia. 
 
b)Qual academia oferece menor custo para uma pessoa que pre- 
tende “malhar” durante um ano? 
Cap tulo 2 
ro inteiro não negativo e a0 , a1 ,..., an são constantes chamadas 
de coeficientes. 
 
 
 
C lculo I 
F) Para transformar graus Fahrenheit em graus centígrados, usa- 
se a fórmula C  5  (F  32) , em que F é o número de graus Fahre- 
9 
nheit e C é o número de graus centígrados. 
 
a)Transforme 35 graus centígrados em graus Fahrenheit. 
 
b)Qual a temperatura (em graus centígrados) em que o número 
de graus Fahrenheit é o dobro do número de graus centígrados? 
G) A troposfera, que é a primeira camada da atmosfera, estende- 
se do nível do mar até a altitude de 40.000 pés; nela, a temperatura 
diminui 2°C a cada aumento de 1.000 pés na altitude. Suponha 
que em um ponto A, situado ao nível do mar, a temperatura seja 
de 20°C. Pergunta-se: 
a) Em que altitude, acima do ponto A, a temperatura é de 0°C? 
 
b) Qual é a temperatura a 35.000 pés acima do mesmo ponto A? 
 
 
H) Sejam as retas r, s, t e v dadas, respectivamente, pelas equações: 
( r ) 2x – y + 1 = 0 
( t ) x – y + 2 = 0 
( s ) 3x + y – 6 = 0 
( v ) x + y – 4 = 0 
Marque a alternativa verdadeira: 
 
 
a) r, s, t e v formam um feixe de retas paralelas. 
b) r e s passam pela origem. 
c) t é perpendicular a v e r é paralela à s. 
d) r, s, t e v formam um feixe de retas concorrentes no ponto (1, 3). 
 
e) t é paralela à s e perpendicular à v. 
 
 
DICA: Escreva as quatro equações na forma reduzida (isolando o y). 
2.4 Outros Tipos de Funç es 
Função polinomial – Uma função P é denominada fun- 
ção polinomial se é dada por uma expressão do tipo 
 a1 x  a0 , em que n é um núme- P(x)  a x
n  a x n1  ...  a x 2 
n n1 2 
35 
Modelos Lineares 
36 
Figura 12 – Funções quadráticas 
 
 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
Observações 
 
O domínio de qualquer função polinomial é  ; 
 
O coeficiente não-nulo correspondente à parcela que tem o 
maior valor de n é chamado coeficiente líder; 
 
O valor de n na parcela que contém o coeficiente líder é chama- 
do grau do polinômio; 
 
Um polinômio de grau 1 é representado por P(x)  m.x  b e é, 
portanto, uma função afim, cujo gráfico é uma reta; 
Um polinômio de grau 2 é representado por P(x)  ax
2  bx  c 
e é chamado função quadrática, cujo gráfico é uma curva de- 
nominada parábola, que se abre para cima quando a  0 e para 
baixo quando a  0 . 
 
 
 
Exemplo 8 
 
 
A tabela 7 mostra alguns exemplos de polinômios: 
Tabela 7 – Exemplos de polinômios 
 
 
Os gráficos (a) e (b) da Figura 12 são gráficos de funções quadráticas. 
Repare que na expressão referente ao gráfico (a), que tem a concavidade 
voltada para cima, o coeficiente líder é positivo (vale 1). Na expressão 
referente ao gráfico (b), que tem a concavidade voltada para baixo, o 
coeficiente líder é negativo (vale -2). 
Cap tulo 2 
Polinômio Coeficiente líder Grau 
P(x) = 2x5+3x4-13x2+9 2 5 
P(x) = -2x5-83x9-3x2+9x -83 9 
P(x) = x100+9x2+1 1 100 
P(x) = -3x2+9x-7 -3 2 
P(x) = 9x-8 9 1 
P(x) = 10 10 zero 
37 
Modelos Lineares 
Figura 13 – Parábola cúbica 
 
 
1 
2º caso: a é um número da forma n , em que n é um número 
inteiro positivo. 
 
A Tabela 9 contém alguns exemplos de funções que se encaixam 
nesse caso. 
 
 
 
C lculo I 
Função potência – É toda função da forma 
é uma constante. 
f (x)  x a , em que a 
Em relação às funções potência, vamos analisar separadamente dois ca- 
 
sos: quando a é um número inteiro positivo e quando a  
1 , sendo n 
n 
um número inteiro positivo. 
1º caso: a é um número inteiro positivo. 
 
A Tabela 8 contém alguns exemplos de funções que se encaixam nesse 
caso. 
O gráfico da função y  x3 (Figura 13) é chamado de parábola cúbica. 
Tabela 8 – Funções potência com expoente inteiro 
Valor de a Função 
1 y  x 
2 y  x 2 
3 y  x3 
4 y  x 4 
38 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
1 
A Figura 14 apresenta o gráfico da função y  x 2  y  x . 
Caso especial: a  1 
 
 
 
ATIVIDADE 7 
 
 
A) Identifique o grau e o coeficiente líder de cada polinômio: 
1) f (x)  x 
2 
2) f (x)  x 2  4x  1 
 
3) f (x)  x3  43x 
 
4) f (x)  10 x 
5) y  x 
4 
Tabela 9 – Funções potência com expoente 1 
n 
Figura 14 – Gráfico de y  x 
Cap tulo 2 
Valor de a Função 
1/2 
1 
y  x 2  y  x 
1/3 1 
y  x 3  y  3 x 
1/4 1 
y  x 4  y  4 x 
1/5 1 
y  x 5  y  5 x 
39 
Modelos Lineares 
C lculo I 
Quando a  1 , a função potência correspondente fica y  x 1 ou y  . O 
x 
domínio da função é {x   / x  1} e o gráfico está apresentado na Figura 15. 
1 
A Figura 16 apresenta uma hipérbole com os eixos x e y como assínto- 
tas. Isso significa que o gráfico da função não corta nem o eixo x nem 
o eixo y. Ele simplesmente fica cada vez mais próximo dos eixos, mas 
nunca os toca. 
Figura 15 – Gráfico de y  1 
x 
Figura 16 – Hipérbole equilátera 
40 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
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Cap tulo 2 
41 
C lculo I 
Neste capítulo estudaremos trigonometria básica. O objetivo é que 
aprendamos a resolver problemas que envolvam funções trigonomé- 
tricas, como seno, co-seno e tangente.Bons estudos! 
 
 
 
A trigonometria é o ramo da matemática que trata das relações en- 
tre os lados e os ângulos de triângulos. Seu estudo iniciou-se de 
forma puramente prática, com o objetivo de determinar distâncias 
que não podiam ser medidas diretamente. Serviu à navegação, à 
agrimensura e à astronomia. 
 
As primeiras civilizações a estudar a trigonometria foram a babilô- 
nica e a egípcia. Mas foram os gregos e indianos que disseminaram 
esse conhecimento. 
 
 
 
3.1 O Tri ngulo Ret ngulo 
 
 
Em trigonometria, os lados dos tr iângulos retângulos assumem 
nomes particulares, apresentados na figura a seguir. O maior lado, 
oposto ao ângulo reto, chama-se hipotenusa; os lados restantes 
chamam-se catetos (Figura 17). 
INTRODU O 
TRIGONOMETRIA 
Figura 17 – O triângulo retângulo 
42 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
3.2 Teorema de Pit goras 
 
 
Da vida de Pitágoras, quase nada pode ser afirmado com certeza, já 
que ele foi objeto de uma série de relatos tardios e fantasiosos, como 
os referentes as suas viagens e aos seus contatos com as culturas orien- 
tais. Parece certo, contudo, que o filósofo e matemático grego nasceu 
entre os anos de 571 a.C. e 570 a.C., na cidade de Samos. Em Crotona 
(colônia grega na península itálica) fundou uma escola mística e filo- 
sófica, cujos princípios foram determinantes para a evolução geral da 
matemática e da filosofia ocidental, as quais tinham como principais 
enfoques a harmonia matemática, a doutrina dos números e o dualis- 
mo cósmico essencial. 
 
Os adeptos da filosofia de Pitágoras interessavam-se pelo estudo das 
propriedades dos números - para eles o número (sinônimo de harmo- 
nia) era considerado como essência das coisas. 
 
A observação dos astros sugeriu-lhes a idéia de que uma ordem domina 
o universo. Evidência disso estaria no dia e na noite, no alterar-se das es- 
tações e no movimento circular e perfeito das estrelas. Por isso o mundo 
poderia ser chamado de cosmos, termo que contém as idéias de ordem, 
de correspondência e de beleza. 
 
Os pitagóricos concluíram que a Terra é esférica. Eles diziam que nosso 
planeta era uma “estrela entre as estrelas que se movem ao redor de um 
fogo central”. Alguns chegaram até a falar da rotação da Terra sobre seu 
eixo, mas a maior descoberta de Pitágoras ou de seus discípulos (já que 
há obscuridades que cercam o pitagorismo devido ao caráter esotérico 
e secreto da escola) deu-se no domínio da geometria e se refere às rela- 
ções entre os lados do triângulo retângulo. 
Teorema de Pitágoras 
 
Num triângulo retângulo de catetos x e y e hipotenusa h, vale a 
seguinte relação: 
 
x 2  y 2  h2 
 
Em palavras: 
 
Num triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é 
igual ao quadrado da hipotenusa. 
Cap tulo 3 
43 
C lculo I 
Considere um triângulo retângulo de catetos x e y e hipotenusa 
h. Seja ainda α a medida do ângulo oposto ao cateto y, conforme 
mostra a figura. 
Seno de α 
 
É o quociente do comprimento do cateto oposto ao ângulo α pelo 
comprimento da hipotenusa do triângulo, ou seja, 
hipotenusa h 
sen(α)  cateto oposto  y 
Co-seno de α 
 
É o quociente do comprimento do cateto adjacente ao ângulo α 
pelo comprimento da hipotenusa do triângulo, ou seja, 
 
 
cos(α)  
cateto adjacente 
 
 x 
hipotenusa h 
 
Tangente de α 
 
É o quociente dos comprimentos do cateto oposto pelo cateto ad- 
jacente, ou seja, 
 
 cateto oposto 
 
 y 
cateto adjacente x 
Definição alternativa de tangente de α 
 
A tangente de um ângulo também pode ser obtida dividindo-se o 
seno pelo co-seno. 
cos(a ) x / h h x x 
tg(α)  
sen(a ) 
 
 y / h 
 
 y 
 
h 
 
 y 
tg(α) 
Introduç o Trigonometria 
44 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
3.3 Trigonometria no Tri ngulo Ret ngulo 
 
 
 
Considere um triângulo retângulo de catetos x e y e hipotenusa 
h. Seja ainda α a medida do ângulo oposto ao cateto y, conforme 
mostra a figura. 
Co-tangente de α 
 
É definida como o recíproco (inverso) da tangente de α: 
 
 
cot g(α) = 1  x  cateto adjacente 
tg(α) y cateto oposto 
Ou, equivalentemente, 
 
cotg(α) 
Secante de α 
 
É definida como o recíproco (inverso) do co-seno de α: 
cos(α) x 
1 
 
h 
Co-secante de α 
 
É definida como o recíproco (inverso) do seno de α: 
1 
x 
 
h 
É importante observar que na definição sen(α) 
cateto oposto 
 
y 
es- 
hipotenusa h 
tamos dividindo um cateto pela hipotenusa. Como o cateto é sempre 
menor que a hipotenusa, o resultado dessa conta sempre será menor 
que 1. E com certeza será um número positivo, pois trata-se de uma 
divisão entre números positivos (medidas de comprimento). O mesmo 
ocorre na definição de co-seno. 
cos(α) 
sen(α) 
sec(α) = 
cossec(α) = 
sen(α) 
Cap tulo 3 
45 
3.4 ngulos Not veis 
 
 
Existem alguns ângulos agudos para os quais é possível determinar fa- 
cilmente os valores tomados pelas funções trigonométricas. Esses ângu- 
los, de 30°, 45° e 60°, são conhecidos como ângulos notáveis. 
 
Ângulo de 60° - Vamos considerar um triângulo eqüilátero (como o 
da Figura18), cujos lados têm comprimento AB + BC + CA = 1 . O 
ponto H é ponto médio do segmento BC, logo BH = CH = 1/2. E como 
cosα = CH/AC e AC = 1, chegamos a cos α = cos(60°) = CH = 1/2 . 
 
 
 
C lculo I 
Assim, temos as seguintes propriedades: 
 
 
 
Propriedades 
 
Qualquer que seja o ângulo agudo α de um triângulo retângulo 
sempre teremos: 
 
 
 
0 < sen (α) < 1 e 0 < cos (α) < 1 
 
 
 
Obs.: A função trigonométrica tangente sempre gera um valor 
positivo, mas não necessariamente entre 0 e 1. Pense nisso! 
 
 
 
 
Do teorema de Pitágoras, sabemos que x 2  y 2  h2 . Se dividirmos os 
x 2 y 2 
dois membros dessa expressão por h², chegamos a h2 
 
h2 
 1. Mas 
essa expressão é equivalente a [sen (α)]2+ [cos (α)]2 =1, que é o que cha- 
mamos de teorema fundamental da trigonometria. 
 
Obs.: Estamos trabalhando com ângulos de triângulos retângulos e, 
portanto, agudos; mas existem situações em que precisaremos trabalhar 
com ângulos obtusos. Pode-se mostrar que o teorema fundamental da 
trigonometria continua válido, qualquer que seja o ângulo α. 
Teorema fundamental da trigonometria 
 
Qualquer que seja o ângulo α, vale a relação [sen (α)]2+ [cos (α)]2 
=1 ou, simplesmente, sen2 (α)+ cos2 (α) =1. 
Introduç o Trigonometria 
46 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
Da aplicação do teorema fundamental da trigonometria, resulta que: 
sen2 (60°) = cos2 (60°) = 1 sen (60°) = 
3 
2 
Para encontrar a tangente de 60°, basta dividir o seno pelo co-seno, en- 
contrando tg (60°) = 3 . 
Ângulo de 30° - Observando a Figura 18, ainda é possível concluir que: 
Ângulo de 45° - Consideremos agora o triângulo retângulo isósceles, 
representado na figura 19, em que 
mesma medida, então 
. Como os lados NP e NM têm 
. 
Sabendo que sen(45º) = cos(45º), aplicamos a fórmula fundamental da 
trigonometria: 
Figura 18 - Triângulo eqüilátero de lado 1. 
Cap tulo 3 
47 
C lculo I 
Para finalizar, calculamos a tangente pela definição: 
. 
Obs.: Você reparou que, para deduzir os valores das razões trigonomé- 
tricas dos ângulos de 30°, 45° e 60°, utilizamos um triângulo eqüilátero 
de lado 1 e depois um triângulo isósceles de hipotenusa 1. Você pode ter 
se perguntado: É possível inventar medidas para os lados? Não estaría- 
mos particularizandoo problema? 
 
A resposta é, nesse caso, sim. Mesmo que tivéssemos utilizado variáveis 
em vez de números, chegaríamos ao mesmo resultado! Utilizamos nú- 
meros só para facilitar as contas. 
 
Invente outras medidas e você verá! Tudo tem a ver com semelhança de 
triângulos. 
 
 
Resumindo tudo o que foi feito, temos a Tabela 10: 
Vamos ver agora alguns exemplos de problemas que podem ser resolvi- 
dos com as razões trigonométricas no triângulo retângulo. 
Figura 19 - Triângulo retângulo isósceles. 
Tabela 10 – Razões trigonométricas básicas 
Introduç o Trigonometria 
Ângulo 30º 45º 60º 
Seno 1/2 2 / 2 3 / 2 
Co-seno 3 / 2 2 / 2 1/2 
Tangente 3 / 3 1 3 
48 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
Exemplo 1 
 
Uma telha de um galinheiro quebrou. Em dias chuvosos, uma gotei- 
ra produz no chão uma pequena poça de água, a 1,85 m de uma das 
paredes do galinheiro, conforme demonstra a figura. Considerando 
que a espessura da parede é 15 cm e que d é a distância entre o ponto 
mais alto do telhado e a telha quebrada (conforme figura 20), calcule 
o valor de d. 
Solução: 
 
Inicialmente, construímos um triângulo retângulo que tenha d como 
hipotenusa. Repare o triângulo em destaque na figura 21. 
Figura 20 – telhado do galinheiro 
Figura 21 – telhado do galinheiro com triângulo 
Cap tulo 3 
49 
C lculo I 
Segundo os dados do problema, o cateto adjacente ao ângulo de 45° 
mede 1,85m + 15 cm = 2 m. 
 
Como temos o cateto adjacente e queremos a hipotenusa, vamos utilizar 
a relação que envolve esses dois elementos: o co-seno. 
 
 
m 
 
 
 
Exemplo 2 
 
Para determinar a altura de um morro, um topógrafo adotou o seguinte 
procedimento: 
 
 
•Escolheu dois pontos, A e B, situados no mesmo plano vertical 
que passa por C; 
• Mediu a distância AB e encontrou 162 m; 
•Com auxílio de um teodolito, mediu os ângulos α, β e λ, e encon- 
trou, respectivamente, 60º, 90º e 30º. 
 
A Figura 22 ilustra o procedimento descrito. 
Qual a altura do morro (h), em metros, encontrada pelo topógrafo? 
 
 
Solução: 
 
Observe que o triângulo ABC é retângulo, com ângulos de 30°, 60° e 90°. 
Vamos encontrar a medida do lado BC utilizando a tangente de 30°: 
 
 
BC = 54 
Figura 22 – Morro 
Introduç o Trigonometria 
50 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
Agora que sabemos a medida do lado BC e também sabemos que α=60°, 
vamos utilizar o seno de 60° no triângulo BCD: 
Exemplo 3 
 
Um ônibus espacial em órbita terrestre descreve um trajeto tipicamente 
circular a uma altitude de cerca de 300km acima da superfície (observe 
Figura 23). Sabendo que o raio da Terra é 6380km, escreva a expressão 
para a distância do horizonte àquela altitude e calcule o seu valor. 
Figura 23 – ônibus espacial em órbita 
 
 
 
Solução: 
 
Vamos representar o raio da Terra por R e a altitude do ônibus espacial 
acima da superfície da Terra por h. Queremos determinar a distância d. 
O ângulo α é reto porque a reta a que pertence o segmento de compri- 
mento d é perpendicular ao raio da Terra (é tangente à superfície). 
 
 
Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: 
Substituindo pelos valores fornecidos, temos: 
 
km. 
Cap tulo 3 
51 
C lculo I 
ATIVIDADE 8 
 
A)Uma pessoa está distante 80m da base de um prédio e vê o 
ponto mais alto do prédio sob um ângulo de 60° em relação à ho- 
rizontal. Qual é a altura do prédio? 
 
B)Um avião levanta vôo a partir de um ponto B e sobe fazendo 
um ângulo constante de 30° com a horizontal. A que altura estará 
e qual distância terá percorrido quando passar pela vertical que 
tem origem em uma igreja situada a 2km do ponto de partida? 
 
C)Uma torre vertical de altura 12m é vista sob um ângulo de 30° 
por uma pessoa que se encontra a uma distância x da sua base e 
cujos olhos estão no mesmo plano horizontal dessa base. Deter- 
mine a distância x. 
 
D)Dois observadores, A e B, vêem um balão sob ângulos visuais 
de 30° e 45°, respectivamente. Sabendo que a distância entre A e B 
é de 200m, calcule a altura do balão. Obs.: A e B encontram-se do 
mesmo lado em relação ao balão. 
 
E)A partir de um ponto, observa-se o topo de um prédio sob um 
ângulo de 30°. Caminhando 23m em direção ao prédio, atingimos 
outro ponto, de onde se vê o topo do prédio segundo um ângulo 
de 60°. Desprezando a altura do observador, calcule, em metros, 
a altura do prédio. 
 
F)Queremos encostar uma escada de 8m de comprimento numa 
parede, de modo que forme um ângulo de 60° com o solo. A que 
distância da parede devemos apoiar a escada no solo? 
 
G)Um avião levanta vôo formando um ângulo de 30° com a ho- 
rizontal. Quando tiver percorrido meio quilômetro, a que altura 
estará do solo? 
 
H)Um observador situado num ponto A vê uma torre vertical 
CD sob um ângulo de 30° e, caminhando 40m em direção à torre, 
passa a vê-la sob 40°. Sabendo que a altura do observador é 1,70m, 
calcule a altura da torre e a distância entre ela e o observador. 
 
I) A cartografia data da Pré-história, quando era usada para deli- 
mitar territórios de caça e pesca. Na Babilônia, os mapas do mun- 
do eram impressos em madeira, num disco liso. Mas foram Eras- 
tosthenes de Cirene e Hiparco (século III a.C.) que construíram 
as bases da moderna Cartografia com a forma de um globo e um 
sistema de longitudes e latitudes. 
Introduç o Trigonometria 
52 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
Os mapas planos não seriam possíveis se os cartógrafos não usas- 
sem uma técnica matemática chamada projeção. Ela pode ser ilus- 
trada assim: pense numa esfera (globo) sendo aberta e achatada 
para a forma de um plano; partes da esfera original teriam que ser 
esticadas para podermos fazer isso, criando grandes deformações 
de área em um mapa mundial. 
 
Hoje, a cartografia é feita por meio de fotometria e de sensorea- 
mento remoto por satélite. Dependendo dos recursos tecnológi- 
cos empregados, os mapas chegam a ter precisão de até 1 metro. 
 
A cartografia é estudada no curso de Geografia. Mas há também o 
de Engenharia Cartográfica, em que o profissional planeja e orien- 
ta a execução de projetos de mapeamento, além de trabalhar na 
digitalização das imagens obtidas. 
 
Um mapa é feito em uma escala de 1 cm para cada 200 km. O 
município onde se encontra a capital de certo estado está re- 
presentado, nesse mapa, por um losango que tem um ângulo 
de 120° e cuja diagonal menor mede 0,2 cm. Determine a área 
(real) desse município. 
 
 
J) Um topógrafo e seu ajudante, equipados com trena e teodoli- 
to, querem determinar a altura de um morro. Para isso, eles posi- 
cionam o teodolito num ponto A , colocam a luneta do teodolito 
na posição horizontal e depois miram o alto do morro, obtendo, 
desse modo, um ângulo de 45°. Em seguida, aproximam-se do 
morro e posicionam o teodolito num ponto B. De A até a base 
do morro o terreno é plano e horizontal. No ponto B, repetem a 
operação realizada em A, obtendo um ângulo de 60°. Com a tre- 
na, medem a distância entre os pontos A e B: 102,2 metros. Com 
base nesses dados e na altura do teodolito, que é 1,5 m, calcule a 
altura do morro. 
Cap tulo 3 
53 
C lculo I 
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 . 
Introduç o Trigonometria 
54 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
Cap tulo 3 
55 
C lculo I 
Olá, pessoal! 
 
Neste capítulo, estudaremos as funções exponenciais e as logarít- 
micas, que desempenham papéis fundamentais na matemática e 
nas ciências envolvidas com ela, como física, química, engenharia, 
astronomia, economia, biologia e psicologia. Apresentam inúmeras 
aplicações no mundo real. Você vai gostar! 
 
 
 
Bons estudos! 
Para começar, é bom relembrar as operações que envolvem potências e 
suas propriedades. 
 
 
 
Potências 
 
 
Consideremos as expressões da forma a x . 
• S e x  n , com n inteiro positivo, então 
a n  a  a  a ...  a (n fatores); 
• Se x  0 , então a 0  1 ; 
• Se x  n , com n inteiro positivo, então a  ; 
a n 
n 1 
• Se q , em que p e q são inteiros e 
x  
p 
q  0 
p 
, então a q  a p q 
Propriedades das potências 
 
Se a e b forem números positivos e x e y números reais quaisquer, 
então: 
I) a x  y  a x  a y 
FUN Õ ES EXPONENCIAIS E 
LOGAR TMICAS 
56 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
Ao multiplicar duas potências de mesma base, conserva-se a base 
e somam-se os expoentes; 
II) a 
x y  
a 
a y 
x 
Ao dividir duas potências de mesma base, conserva-se a base e 
subtraem-se os expoentes; 
 
 
 
III) 
 
Ao calcular a potência de uma potência, repete-se a base e multi- 
plicam-se os expoentes; 
 
 
 
IV) 
 
Para calcular a potência de um produto, basta elevar cada fator 
ao expoente. 
Exemplo 1 
Escreva cada expressão na forma de uma única potência de 2. 
a) 
b) 
ATIVIDADE 9 
 
Simplifique cada expressão: 
 
 
 
a) 
b) 
Cap tulo 4 
57 
Funç es Exponenciais e Logar tmicas 
C lculo I 
c) 16 -0,5 + 81-0,25 
 
 
 
d) 
Função exponencial 
 
Denomina-se função exponencial de base a toda função real dada 
por f(x) = ax (com a ≠ 1 e a > 0), em que x pertence ao conjunto 
dos números reais. 
 
• Quando a > 1, temos uma função exponencial crescente; 
 
• Quando 0 < a < 1, temos uma função exponencial 
decrescente. 
 
Domínio de funções exponenciais 
 
O domínio das funções exponenciais é sempre o conjunto dos nú- 
meros reais. 
 
Imagem de funções exponenciais 
 
A imagem de uma função exponencial é o conjunto dos números 
reais positivos. 
4.1 Equaç es Exponenciais 
 
 
Uma equação em que a incógnita está no expoente é chamada de equa- 
ção exponencial. A maioria das equações exponenciais é resolvida sim- 
plesmente tornando as bases iguais e, em seguida, igualando-se seus 
expoentes. Algumas necessitam de uma análise mais aprofundada. Ve- 
jamos os exemplos: 
 
 
Exemplo 2 
 
 
Encontre o valor de x que satisfaça a equação 
 
 
x  1 
58 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
Exemplo 3 
 
 
 
Resolva a equação 
   x=1 ou x=9 
ATIVIDADE 10 
Resolva as equações exponenciais: 
a) 
 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
f) 
 
g) (0,1)2x – 1 = (0,01)4x + 3 
 
h) 2x + 4.2–x = 5 
 
 
 
 
 
4.2 Problemas que Envolvem Equaç es 
Exponenciais 
 
 
Exemplo 4 
 
A automedicação é considerada um risco, pois a utilização desnecessá- 
ria ou equivocada de um medicamento pode comprometer a saúde do 
usuário: substâncias ingeridas difundem-se pelos líquidos e tecidos do 
corpo, exercendo efeito maléfico. 
Depois de se administrar determinado medicamento a um grupo de 
indivíduos, verificou-se que a concentração (y) de certa substância em 
seus organismos alterava-se em função do tempo decorrido (t), de acor- 
0,5t 
do com a expressão y  y0  2 , em que y é a concentração inicial e t 
0 
é o tempo em horas. Calcule o tempo transcorrido até a concentração da 
substância tornar-se a quarta parte da concentração inicial. 
Cap tulo 4 
C lculo I 
concentração inicial, teremos 0 . Então, basta substituir 
4 
y  
1 
y 0 y  
1 
y 
4 
na equação y  y0  2 . Fazendo isso: 
0,5t 
0,5t y  y 0  2  
59 
Funç es Exponenciais e Logar tmicas 
 
 
Solução: 
 
 
Quando a concentração do medicamento se tornar a quarta parte da 
0,5t 
0 0 y  y  
2 
1 
4 
 0,5t 2  2 
1 
4 
2 0,5t  2   2   0,5t  t  4 
Portanto, o tempo transcorrido é de 4 horas. 
 
 
Exemplo 5 
 
O valor V de um instrumento cirúrgico decresce exponencialmente 
com o tempo t, de acordo com a expressão V = c . at, em que a e c são 
constantes reais. Se esse instrumento foi comprado por R$ 12.000,00 
e quatro anos após a compra seu valor for R$ 8.000,00, qual a melhor 
aproximação para o valor oito anos após a compra? 
 
 
a) R$ 2.660,00 
 
 
b) R$ 4.000,00 
 
 
c) R$ 5.330,00 
 
 
d) R$ 6.000,00 
 
 
e) R$ 6.660,00 
 
 
Solução: 
 
Quando t = 0, V = 12000 e quando t = 4, V = 8000. Substituindo os ter- 
mos da equação V = c.at por esses valores produzimos duas expressões: 
 
 
expressão I: 12000  c  a 0 
 
 
expressão II: 8000  c  a 4 
 
 
Queremos encontrar o valor de V  c.a8 . Para isso, vamos pensar 
no seguinte: 
 
Da expressão I, encontramos c = 12000. Substituindo c por esse valor na 
expressão II, encontramos o valor de a4: 
60 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
Para concluir a questão: temos o valor de a4, mas precisamos de a8. En- 
tão é só elevar a4 ao quadrado! 
3  9 
   4 a8  (a 4 )2   
2 
 
2 
 
Logo, o valor do instrumento cirúrgico oito anos após a sua compra é: 
 
 
 
V  c.a8  V  12000  
4 
 5333,3 
9 
 
 
 
A resposta é a letra C. 
ATIVIDADE 11 
 
A) Em uma comunidade de bactérias, há inicialmente 106 indiví- 
duos. Sabe-se que após t horas (ou fraçãode hora) haverá Q(t)= 
106 . 32t indivíduos. Para que a população seja o triplo da inicial, o 
tempo necessário, em minutos, é: 
 
a) 10 
 
b) 20 
 
c) 30 
 
d) 40 
 
e) 50 
 
 
 
B) Admita que a temperatura do café em uma xícara, passados t mi- 
nutos do instante em que foi servido, seja dada por T(t) = 25 + 25–t 
Celsius. Analise as afirmações abaixo e marque as verdadeiras: 
 
a)A temperatura será inferior a vinte e sete graus Celsius quando 
passados mais de quatro minutos. 
 
b)Entre t = 3 e t = 5, a temperatura diminuiu três graus Celsius. 
Cap tulo 4 
C lculo I 
c)A temperatura será igual ou superior a vinte e nove graus Cel- 
sius até o terceiro minuto. 
 
d)A temperatura nunca será igual ou inferior a vinte e cinco graus 
Celsius. 
 
 
 
C) Visando a atingir uma meta de produção, uma empresa usa a 
função f (t)  135 135.30,2t como parâmetro para estabelecer o 
número mínimo de peças a serem produzidas por seus funcioná- 
rios a cada dia t, a partir da data de sua admissão. Nessas condi- 
ções, espera-se que a produção mínima de 130 peças seja alcança- 
da por funcionários trabalhando, no máximo, há: 
 
a) 5 dias. 
 
b) 8 dias. 
 
c) 10 dias. 
 
d) 15 dias. 
 
e) 20 dias. 
 
 
 
D) A relação P  64000  (1  20,1t ) descreve o crescimento de uma 
população de microorganismos, sendo P o número de microorga- 
nismos t dias após o instante 0. O valor de P é superior a 63000 se, 
e somente se, t satisfizer à condição: 
 
a) 2 < t < 16 
 
b) t > 16 
 
c) t < 30 
 
d) t > 60 
 
e) 32 < t < 64 
4.3 Gr fico da Funç o Exponencial 
 
 
A Figura 24 apresenta gráficos de funções exponenciais. Uma observa- 
ção importante é que o gráfico de qualquer função exponencial sempre 
passa pelo ponto (0,1) . 
61 
Funç es Exponenciais e Logar tmicas 
62 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
Figura 24 – Funções exponenciais 
 
 
 
 
4.4 Funç es Inversas 
 
 
Definiremos primeiro a função um a um, pois necessitamos compreen- 
dê-la para o estudo das funções inversas. 
Função um a um 
 
Uma função f é chamada um a um se nunca assume o mesmo 
valor duas vezes. 
 
Isto é, 
 
f (x1 )  f (x2 ) , sempre que x1  x2 
 
Obs.: Uma função um a um costuma também ser chamada de 
função injetiva. 
Exemplo 6 
 
A função y = x³ é um a um (dois números diferentes não podem ter o 
mesmo cubo). 
 
 
Exemplo 7 
 
A função y = x² não é um a um. Basta observar que 2² = (-2)², mas 
2≠ -2 . 
 
 
Vejamos, agora, função inversa. 
a > 1 0 < a < 1 
Cap tulo 4 
C lculo I 
é definida por 
y de B. 
f 1 ( y)  x  y  f (x) , qualquer que seja o valor 
Pense numa função como uma máquina que transforma determi- 
nada matéria prima num produto final. A função inversa seria a 
máquina que faz o papel inverso: transforma o produto final em 
sua matéria de origem. 
 
Por exemplo, se uma função transforma um número no seu do- 
bro, a função inversa devolve ao número a sua metade. Se uma 
função dobra o número de entrada e depois soma 5, a função in- 
versa subtrai 5 e depois divide por 2. 
Exemplo 8 
 
 
Considere a função f dada por y = x², com domínio {0, 1, 2, ..., 8} e ima- 
gem {0, 1,4, 9,16, 25, 36, 49, 64 }. A função inversa de f é a função y  
com domínio {0, 1,4, 9,16, 25, 36, 49, 64 } e imagem {0, 1, 2, ..., 8}. 
x , 
Como encontrar a função inversa de uma função um a um 
Passo 1: Escreva y  f (x) . 
 
Passo 2: Resolva essa equação para x em termos de y, se possível. 
 
Passo 3: Para expressar f 1 como uma função de x, troque x por 
 
y. A equação resultante é y  f 1 (x) . 
Exemplo 9 
 
 
Encontre a função inversa de y  x
5  7 . 
 
 
Solução: 
 
 
Passo 1: De acordo com a técnica apresentada acima, escrevemos 
y  x5  7 . 
63 
Funç es Exponenciais e Logar tmicas 
Função inversa 
 
Seja f uma função um a um com domínio A e variação (imagem) 
B. Então sua função inversa f 1 tem domínio B e variação A e 
64 
Essa técnica de trocar x por y para chegar à função inversa nos dá uma 
idéia para obter o gráfico de y  f 
1 (x) a partir do gráfico de y  f (x) 
 
 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
Passo 2: Resolvemos essa equação isolando x: 
 
 
x5  y  7  x  5 y  7 
 
 
 
Passo 3:Trocamos x por y: 
 
 
y  5 x  7 
 
 
 
 
Portanto, a função inversa de f (x)  x
5  7 é f 
1 (x)  5 x  7 . 
Exemplo 10 
Para obter a inversa de 
nica apresentada: 
x 1 
y  f (x)  
3x  2 
, u tilizamos a téc- 
y  
3x  2 
x 1 
Trocamos x por y: 
 
 
x  
3 y  2 
y 1 
 
 
 
Isolamos y: 
 
 
 
 y  
 x  2 
x  3 
 
 
 
Portanto: 
 
 
 
f 1 (x)  
x  2 
x  3 
Cap tulo 4 
C lculo I 
o eixo x e a imagem do eixo y para o eixo x e transformamos todos os 
pontos da forma (a,b) em pontos da forma (b, a) . Obtemos, com isso, 
o seguinte gráfico: 
Assim, os gráficos de f e de f 1 ficam simétricos à reta y  x . 
65 
Funç es Exponenciais e Logar tmicas 
Figura 25 – Funções inversas 
 
Os gráficos da Figura 25 ilustram o domínio e a imagem de uma função 
y  f (x) . 
Ao trocarmos x por y, transferimos o domínio de do eixo y para f 
1 
Figura 26 – Troca de eixos 
66 
Exemplo 11 
 
 
Calcule log16 4 . 
 
 
Solução: 
Primeiramente representamos o logaritmo que queremos calcular por x. 
log 164=x 
 
 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
Veja a figura 27: 
Figura 27 – Uma função e sua inversa 
 
 
 
Concluímos, então, que, para obtermos o gráfico de f 1 a partir do grá- 
fico de f, basta refletir o gráfico de f em torno da reta y  x . 
 
 
 
4.5 Logaritmos 
 
 
 
Considere uma função exponencial a 
x  y (com a positivo e diferente 
de 1). O número a é a base da função exponencial, x é o expoente ou 
logaritmo e y é a potência ou logaritmando. 
 
 
Dizemos que x é o logaritmo de y na base a e escrevemos x  loga y , sig- 
nificando que x é o expoente a que se deve elevar o número a para encon- 
trar o resultado y. Temos a seguinte equivalência: 
x  log y  a x  y a 
Cap tulo 4 
C lculo I 
Depois, utilizamos a equivalência x  loga y   y . 
log 
16 
4 = x  16x = 4 
Dessa forma, basta resolver a equação exponencial 16x = 4, encon- 
trando 2 . 
x  
1 
Observações 
 
I) logb 1  0 
 
O logaritmo de 1 em qualquer base é igual a zero. 
 
II) logb b  1 
 
Se a base e o logaritmando são iguais, o logaritmo vale 1. 
III) logb  m b
m 
IV)b logb N  N 
 
V) logb N  logb P  N  P 
Propriedades dos logaritmos 
  
4.6 Equaç es Logar tmicas 
 
 
Geralmente, para resolver uma equação logarítmica, devemos transformá-la 
em uma equação exponencial, usando a equivalência x  loga y   y . a 
x 
É importante lembrar que y deve ser um número positivo! 
67 
Funç es Exponenciais e Logar tmicas 
a x 
I) O logaritmo de um produto é 
igual à soma dos logaritmos de 
seus fatores. 
 N  
II) logb  P 
  logb N  logb P 
O logaritmo de um quociente 
é igual à diferença entre o loga- 
ritmo do dividendo e o logarit- 
mo do divisor. 
III) log N p  p  log N 
b b 
O logaritmo de uma potência 
é o produto do expoente pelo 
logaritmo da base da potência. 
68 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
Exemplo 12 
 
Resolva a equação log2 (4x  8)  log2 (3x  9) . 
 
 
Solução: 
 
 
Como condição para a existênciados dois logaritmos, devemos ter 
 
4x  8  0 e 3x  9  0 . 
 
 
 
Daí concluímos que x >-2. Isso significa que qualquer solução da equa- 
ção logarítmica deve ser um número maior que -2. 
 
Como os logaritmos têm mesma base, podemos, simplesmente, igualar 
os logaritmandos: 
 
4x  8  3x  9 
 
 
Resolvendo a equação, encontramos: 
 
x  1 
Como 1 é um valor maior que -2, a solução da equação é {1}. 
 
 
 
4.7 Mudança de Base 
 
 
 
Muitas vezes temos o valor de logb N , mas queremos obter o valor de 
loga N . Para isso, usamos a relação: 
logb a 
N  
logb N 
a log 
Exemplo 13 
 
 
Dados log10 2 = 0,30103 e log10 100 = 2, calcule log2100. 
 
 
Solução: 
 6,6438 
log10 2 0,30103 
2 
log 100  
log10 100  2 
Cap tulo 4 
Observações: 
 
• Quando um logaritmo tem base 10, dizemos que ele é um lo- 
garitmo decimal. Ao representar um logaritmo decimal, cos- 
tumamos omitir a base 10. Veja: 
log10 x  log x 
 
 
 
C lculo I 
Dados logb 2  0,693, logb 3  1,099 e logb 7  1,946 , utilize as pro- 
priedades dos logaritmos para obter um valor aproximado das 
seguintes expressões: 
 
 
a) logb 6 
 
 
Solução: 
 
 
logb 6  logb (2.3)  logb 2  logb 3  0,693  1,099  1,792 (propriedade I) 
b) logb 27 
 
Solução: 
7 
69 
Funç es Exponenciais e Logar tmicas 
Isso significa que 26,6438  100 
 
 
Exemplo 14 
logb 
7 
27 
 logb 7  logb 27  logb 7  logb 3  logb 7  3logb 3  1,946  3.1,099  1,351 
3 
(propriedades I, II e III) 
 
 
 
4.8 O N mero e 
 
 
Dentre todas as escolhas possíveis para base dos logaritmos, a mais 
conveniente é o número e  2,718281... . Esse número é irracional 
transcendente e é conhecido como número de Eüler, em homenagem 
ao matemático suíço Leonhard Eüler, que o estudou. Também é cha- 
mado número de Napier, constante de Néper ou número neperiano, 
graças ao matemático John Napier, que fez a primeira referência a essa 
constante em 1618. 
 
 
No capítulo de limites, estudaremos mais detidamente esse número. 
70 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
• Quando um logaritmo tem base e, dizemos que ele é um loga- 
ritmo neperiano (ou natural). Ao representar um logaritmo 
natural, costumamos escrever ln(x) em vez de loge ( x ) . 
 
 
 
Função logarítmica 
Denomina-se função logarítmica de base b a função f real dada 
por f ( x )  logb x (com b ≠ 1, b > 0 e x > 0) 
Quando b > 1, temos uma função logarítmica crescente. 
Quando 0 < b < 1, temos uma função logarítmica decrescente. 
Domínio das funções logarítmicas 
O domínio das funções logarítmicas é o conjunto dos números 
reais positivos. 
 
Imagem das funções logarítmicas 
 
A imagem das funções logarítmicas é o conjunto de todos os nú- 
meros reais. 
Observação: A função logarítmica é a inversa da exponencial. 
 
 
Exemplo 15 
Resolva a equação . 
Solução: 
 
Repare que temos uma equação exponencial cuja base é o número e. 
Um artifício, nesse caso, é aplicar o logaritmo natural (base e) aos dois 
membros da equação. Veja: 
A partir daí, é só usar as propriedades dos logaritmos: 
 
 
(Repare que ln(e)  1) 
Se usarmos uma calculadora científica, encontraremos o valor x  0,8991 . 
Cap tulo 4 
C lculo I 
71 
Funç es Exponenciais e Logar tmicas 
 
 
Exemplo 16 
 
A altura média do tronco de certa espécie de árvore, que se destina à 
produção de madeira, evolui, desde que é plantada, segundo o modelo 
matemático h(t) = 1,5 + log3 (t+1), com h(t) em metros e t em anos. Se 
uma árvore dessa espécie for cortada quando seu tronco atingir 3,5 m de 
altura, o tempo (em anos) transcorrido do momento da plantação até o 
do corte terá sido de: 
 
 
a) 9 
b) 8 
c) 5 
d) 4 
e) 2 
 
 
 
Solução: 
 
 
Temos que encontrar o valor de t que faz com que h seja 3,5. Basta trocar 
h por 3,5 na equação dada e isolar t. 
 
 
t  8 
 
Portanto, a resposta é a letra B. 
 
 
Exemplo 17 
 
As populações A e B de duas cidades são determinadas, em milhares 
de habitantes, pelas funções: A(t) = log (2 + t)5 e B(t) = log (2t + 4)2, 
4 2 
nas quais a variável t representa o tempo em anos. Essas cidades terão o 
mesmo número de habitantes em quantos anos? 
 
 
a) 6 
b) 8 
c) 10 
d) 12 
e) 14 
 
 
 
Solução: 
 
Temos que descobrir o valor de t que faz com que A(t) = B(t). Para isso, 
vamos igualar as expressões das duas funções: 
log (2 + t)5 = log (2t + 4)2 
4 2 
72 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
Agora temos um problema a ser resolvido: um dos logaritmos tem 
base 4, enquanto o outro tem base 2! Vamos escrever os dois loga- 
ritmos na base 2 e depois utilizar normalmente as propriedades dos 
logaritmos e das potências. 
 
Assim, a resposta é a letra E. 
 
 
Exemplo 18 
 
 
Sendo log 2 = 0,301 e log 7 = 0,845, qual será o valor de log 28? 
 
 
Solução: 
 
 
Fatoramos o 28: 
Aplicamos o logaritmo do produto: log(22.7)  log(22 )  log 7 
Depois, o logaritmo da potência: log(22 )  log 7  2.log 2  log 7 
 
 
Por último, substituímos pelos valores dados: 2.log 2  log 7  2.0,301  0,845 = 
1,447 
ATIVIDADE 12 
 
A) Calcule A = x + y em que x e y são, respectivamente, as solu- 
ções das equações exponenciais 2 x  128 e 
 
B) Determine o valor dos logaritmos abaixo: 
. 
1 
a) log 
100 
b) log16 4 
c) loga a 
1 
d) log 0,01 
 
e) ln e-2 
Cap tulo 4 
C)Use as propriedades dos logaritmos para escrever log(5x3y) 
como uma soma de logaritmos. 
 
D) Sendo log 2 = 0,3; log 3 = 0,4 e log 5 = 0,7, calcule: 
 
a) log2 50 
 
b) log3 45 
 
c) log9 2 
 
d) log8 600 
 
e) log5 3 
 
f) log6 15 
 
E)Resolva a equação exponencial 7 x  7 x1  8x . 
 
F) Qual é o maior: log5 7 ou log83? Justifique. 
 
G)John Napier foi um matemático escocês que viveu entre 1550 
e 1617. Produziu vários estudos e inventou e construiu várias má- 
quinas destinadas à guerra. Napier arrependeu-se por tais estu- 
dos e construções, condenando-se por ter dado a seus patrícios 
o poder de destruição. Em 1614, publicou a primeira tabela de 
logaritmos, e passou a ser considerado um grande matemático. 
Essa descoberta revelou-se uma das mais importantes concepções 
matemáticas, porque simplificou de maneira considerável a com- 
putação aritmética. 
 
Os logaritmos facilitam a computação aritmética, valendo-se da 
propriedade de que: 
 
a)o logaritmo de um número N qualquer, em uma base b qual- 
quer, é igual a bn. 
 
b)o logaritmo da soma de dois números quaisquer, M e N, em 
uma base b qualquer, é igual ao produto dos logaritmos de M e de 
N na base b. 
 
c)o logaritmo do produto de dois números quaisquer, M e N, em 
uma base b qualquer, é igual à soma do logaritmo de M com o 
logaritmo de N, ambos na base b. 
 
d)o logaritmo do quociente de dois números quaisquer, M e N, 
em uma base b qualquer, é o quociente do logaritmo de M na base 
b, pelo logaritmo de N na base b. 
 
e)o logaritmo da diferença de dois números quaisquer, M e N, em 
uma base b qualquer, é igual ao quociente do logaritmo de M na 
base b pelo logaritmo de N na base b. 
 
 
 
C lculo I 
73 
Funç es Exponenciais e Logar tmicas 
74 
gia liberada pelo terremoto em quilowatt-hora e E0=7×10-3 kwh. 
 
 
 
a)Qual a energia liberada por um terremoto de intensidade 8 na 
escala Richter? 
 
b)Aumentando uma unidade na intensidade do terremoto, por 
quanto fica multiplicada a energialiberada? 
 
 
K) Se log 2 = a e log 3 = b, então o valor de x em 8x = 9 é: 
 
a) 2b/3a 
 
b) 2a/3b 
 
 
 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
H) Qual é a solução de 0,54x + 3 < 0,52x + 1? 
 
a) x > –1 
 
b) x < –1 
 
c) x > 1 
 
d) x < 1 
 
e) –1< x < 1 
 
I)O processo de resfriamento de um determinado corpo é descri- 
to por T(t) = TA + a.3bt, em que T(t) é a temperatura do corpo, em 
graus Celsius, no instante t, dado em minutos, TA é a temperatura 
ambiente, supostamente constante, e a e b são constantes. 
 
O referido corpo foi colocado em um congelador com tempera- 
tura de –18ºC. Um termômetro no corpo indicou que ele atingiu 
0ºC após 90 minutos e chegou a –16ºC após 270 minutos. 
 
Pode-se afirmar que o valor absoluto do produto de a e b é 
igual a: 
a) 5/9 
b) 3/5 
c) 9/5 
d) 
5/3 e) 
4/9 
 
 
 
J) A intensidade I de um terremoto, medida na escala Richter, é 
um número que varia de I=0 até I=8,9 para o maior terremoto co- nhecido. I é dado pela fórmula  3 
log 
E 
 , em que E é a ener- 
 0  
2  E  
I 
Cap tulo 4 
75 
Funç es Exponenciais e Logar tmicas 
C lculo I 
c) b/a 
 
d) a/b 
 
e) 3b/2a 
___________________________________________________ 
___________________________________________________ 
___________________________________________________ 
___________________________________________________ 
___________________________________________________ 
___________________________________________________ 
___________________________________________________ 
___________________________________________________ 
___________________________________________________ 
___________________________________________________ 
___________________________________________________ 
___________________________________________________ 
___________________________________________________ 
___________________________________________________ 
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___________________________________________________ 
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___________________________________________________ 
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___________________________________________________ 
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___________________________________________________ 
___________________________________________________ 
___________________________________________________ 
___________________________________________________ 
___________________________________________________ 
 . 
76 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
Cap tulo 4 
77 
C lculo I 
Olá, pessoal! 
 
Os quatro capítulos que estudamos até agora servirão de base para 
a compreensão dos conteúdos relacionados ao foco do nosso curso: 
Cálculo! 
 
Neste capítulo, estudaremos limites e continuidade. O conceito de 
limite é uma das idéias que distinguem o cálculo da álgebra e da 
trigonometria. Vamos aprender como definir e calcular limites de 
funções. As regras para os cálculos são simples, e a maioria dos li- 
mites de que precisamos pode ser obtida por substituição, análise 
gráfica, aproximação numérica, álgebra ou alguma combinação de 
todos esses processos. 
 
 
 
Todos vão gostar! 
5.1 Noç o Intuitiva de Limite 
 
 
Seja a função f(x) = 2x+1. Vamos atribuir a x valores que se aproximem 
de 1: à sua direita, valores maiores que 1 e, à sua esquerda, valores me- 
nores que 1, e calcular o valor correspondente de y: 
LIMITES E CONTINUIDADE 
Tabela 11 – Estudando a função f(x) = 2x+1 
x y = 2x + 1 x y = 2x + 1 
1,5 4 0,5 2 
1,3 3,6 0,7 2,4 
1,1 3,2 0,9 2,8 
1,05 3,1 0,95 2,9 
1,02 3,04 0,98 2,96 
1,01 3,02 0,99 2,98 
78 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
Observe que à medida que x se aproxima de 1, tanto à esquerda como à 
direita, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende a 1 (x →1), y tende 
a 3 (y →3). Dizemos, então, que o limite da função f(x) = 2x+1, quando x 
tende a 1 é igual a 3. Representamos isso da seguinte forma: 
 
lim(2x  1)  3 
x1 
 
 
Limite de uma função 
Escrevemos xa 
f (x)  L e dizemos “o limite de f(x), quando x lim 
tende a a, é igual a L”, se pudermos tornar os valores de f(x) tão 
próximos de L o quanto quisermos, bastando, para isso, tornar x 
suficientemente próximo de a, mas não igual a a. 
Exemplo 1 
Encontremos o valor de 
x1 x 2 1 . 
 
Solução: 
lim 
 x 1 
Queremos descobrir de qual valor a função se aproxima quando x se 
aproxima de 1. Ao tentar substituir o valor 1 na função, percebemos que 
ela não está definida em tal valor. Poderíamos fazer uma tabela de valo- 
res, como no exemplo introdutório, para tentar perceber algum padrão, 
mas vamos fazer diferente. 
 
 
Sabemos que x
2 1  (x  1)(x 1) . Com isso podemos simplificar 
nosso limite: 
x1 x 2 1 
= x1 (x 1)(x  1) 
lim 
 x 1 
lim 
 x 1 
Como x é diferente de 1 (pois x está se aproximando de 1), podemos 
cancelar as parcelas iguais no limite acima. 
x1 (x 1)(x  1) = x1 (x  1) 
x 1 1 
lim lim 
A última expressão encontrada é equivalente à anterior (para valores 
diferentes de 1) e, ao substituirmos o valor 1, encontramos 1  1 2 . 
 1 
 
1 
Cap tulo 5 
C lculo I 
x2 
C) 
x2 4x  3 
lim 
 x  5 
D) 
x4 3x 1 
lim 
2 x 1 
Propriedades dos limites 
 
 
1ª propriedade 
 
 
O limite de uma constante é a própria constante: 
lim K  K com K  R 
xa 
Exemplo: lim 7  7 x 2 
2ª propriedade 
 
O limite da soma ou diferença é igual à soma ou diferença dos limites, 
caso esses limites existam: 
 
 
limf (x)  g(x) lim f (x)  lim g(x) 
xa xa xa 
Exemplo: lim (3x 1) x2 = x2 
lim (3x)  lim (1)  6  1  7 
x2 
79 
Limites e Continuidade 
 
 
Portanto, 
2 
lim 
x 1 
 
1 
x1 x 2 1 
ATIVIDADE 13 
 
 
Calcule, intuitivamente, cada limite: 
A) lim(3x  4) 
x4 
B) lim (3x 1) 
80 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
3ª propriedade 
 
O limite do produto é o produto dos limites, caso esses 
limites existam: 
limf (x)  g(x) lim f (x)  lim g(x) 
xa xa xa 
 
Exemplo: lim(3x 2 )  lim(3.) lim(x 2 )  3.16 = 48 
x4 x4 x4 
 
 
4ª propriedade 
 
O limite do quociente é igual ao quociente dos limites, caso esses 
limites existam: 
xa g(x) lim g(x) 
xa 
lim f (x) f (x) 
lim  xa 
5ª propriedade 
 
O limite da potência de uma função f(x) é igual à potência do li- 
mite da função, caso esse exista: 
 
 
com n  N * 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
6ª propriedade 
 
O limite de uma constante vezes uma função é igual à constante 
vezes o limite da função, caso esse limite exista: 
limK. f (x) K  lim f (x) 
xa xa 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
7ª propriedade: 
 
O limite da raiz enésima de uma função é a raiz enésima do 
limite da função: 
lim n f (x)  n lim f (x) com n  N * e f (x)  0 se n for par xa xa 
Exemplo: lim x 
4  3x  6  lim(x 4  3x  6)x1 x1 
= 10 
Cap tulo 5 
C lculo I 
Calcule 
x 2 x2 
lim 
3x 4 x4 
. 
Solução: 
 
Estudando a função, vemos que seu domínio abrange todos os números 
reais, com exceção de , que anula o denominador e o numerador. Isso 
significa que a função é indefinida nesse ponto. Porém, podemos fatorar 
 
o numerador 3x
2 4x4 . Para isso, resolvemos a equação 3x
2 4x4  0 
, encontrando suas raízes: 
81 
Limites e Continuidade 
 
 
Em algumas funções, o limite não é tão evidente. Às vezes é necessária 
uma transformação na função para conseguirmos calcular o limite. 
 
 
Exemplo 2 
2 
Com as raízes encontradas, fatoramos o numerador utilizando a forma 
fatorada da função quadrática ( ): 
 
 
3x 2 4x4  (3x2)(x2) 
 
 
 
Simplificamos a fórmula da função f(x): 
f x 3x 4 x4  (3x2)( x2)  3x2 
x2 x2 
2 
E concluímos: 
lim 
3x 4 x4 
 lim 
(3x2)( x2) 
 lim 3x2  8 
x2 x2 x 2 x 2 
2 
x 2 
82 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
Exemplo 3 
Cálculo de x1 
8x1 
x3 . 
lim 
Solução: 
9 3 
2 lim x3 4 
x1 
lim 8x1 
x3 
8x1 
lim 
x1 
 x1   
Exemplo 4 
Cálculo de 
z1 z 2 1 
lim 
 z  4 z3 2 
. 
Solução: 
z 2 1 
lim 
 z  4 z3 2 
z1 
= 
= z1 (z 2 1) 
lim 
( z1)(z3) 
= 
= z1 (z1)(z1) = 
lim 
( z1)(z3) 
= z1 (z1)  2 
1 lim 
( z3) 
 
 2 
  
Exemplo 5 
Cálculo de x3 x3 
lim 
 x  5x6 2 
. 
Solução: 
x  3x  2 
 lim  limx  2  1 
x3 x3 
lim 
 x  5x6 
x3 x3 
2 
x3 
Cap tulo 5 
C lculo I 
Cálculo de lim . 
4  x  2 
x0 x 
Solução: 
4  x  2 
 lim 
 4  x  2 
 lim 
( 4  x  2)( 4  x  2) 
 lim 
 4  x  4 
 lim 
x0 x x( 4  x  2) x0 x( 4  x  2) x0 x0 x 
 
1 
4 4  x  2 lim 4  x  2 
x0 
1 1 
 lim 
x0 4  x  2) x0 x( 
 lim  
x 
Nesse caso, racionalizamos o numerador, multiplicando o numerador 
e o denominador por , que é a mesma expressão que tínhamos, só que 
com o sinal do meio trocado. Essa técnica é muito utilizada quando pre- 
cisamos calcular limites que envolvem soma ou subtração de radicais. 
 
 
Resumo 
 
Ao calcular um limite, podemos utilizar diferentes técnicas: 
 
•constru ir uma tabela para perceber de qual valor a função está 
se aproximando; 
 
•subst itu ir diretamente x pelo valor do qual ele está se aproxi- 
mando na função; 
 
•fazer uma simplificação na expressão da função. Por exemplo, fato- 
rar o numerador ou o denominador para cancelar termos comuns ou, 
quando a expressão envolver radicais, utilizar a técnica apresentada no 
último exemplo. Para auxiliar, relembramos algumas fórmulas utiliza- 
das para fatoração: 
 
 
I) Forma fatorada da função quadrática: 
Para fatorar uma expressão da forma 
ção do segundo grau 
, basta resolver a equa- 
, descobrindo suas raízes x’ e x” e 
depois aplicar na fórmula a(x  x
' )(x  x '' ) . 
 
 
Exemplo 7 
 
 
x 2  5x  6  (x  2)(x  3) 
83 
Limites e Continuidade 
 
 
Exemplo 6 
84 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
II) Diferença entre dois 
quadrados: 
 
 
Exemplo 8 
III) Diferença entre dois cubos: 
 
 
Exemplo 9 
IV) Soma de dois cubos: 
 
 
Exemplo 10 
ATIVIDADE 14 
 
Calcule cada limite. Para isso, analise cada caso e utilize a es- 
tratégia que julgar mais adequada (substituição direta, uso de 
tabela ou simplificação de expressão). Ao lado de alguns itens, 
segue uma sugestão. 
a) 
x3 (x  3)(x 1) 
lim 
( x  3)( x  4) 
b) lim 
x 1 
(x 1)(x2  3) 
x1 
c)  (forma fatorada no numerador e no 
 
x  6x  7x  2  
 2x2  5x  3  
1  2 lim
 
2 
denominador) 
Cap tulo 5 
Esse resultado pode ser visualizado se utilizarmos uma calculadora cien- 
tífica no modo radiano (rad). A tabela abaixo mostra alguns valores de x 
 
 
C lculo I 
d) 
x2 x3  8 
lim 
 x  2 
(diferença entre cubos) 
e) 
x2 x  22 
x2  x  2 
lim (forma fatorada no numerador) 
f)  
 
 5x  6  
 x2  2x  3  
 lim 
 
x2 x 
2 
g) (soma de cubos e diferença entre dois quadrados) 
h) (Multiplicação e divisão por x  4 ) 
i) lim 
2 
x2  4 
x2 x  
j) lim 
2 2 x  5x  7 
x2  x 
x1 
k) 
 
 
l) 
m) lim 
2 
x3  8 
x2 x  
n) 2 
x2 x  4 
lim 
 x 8 3 
o) 
x2 x2  2x  8 
lim 
 x  4 
5.2 Limite Trigonométrico Fundamental 
 
 
Se x é um arco em radianos e sen(x) é a medida do seno desse arco, en- 
tão, quando o arco x tender a zero, o limite da divisão do valor de seno 
de x pela medida do arco x será igual a 1. 
lim 
senx 
 1 
x0 x 
85 
Limites e Continuidade 
86 
Limites laterais 
 
Se x se aproxima de a com valores maiores que a, escrevemos: 
lim f (x) 
xa 
Esse limite é chamado limite lateral à direita de a. 
 
Se x se aproxima de a com valores menores que a, escrevemos: 
lim f (x) 
xa 
 
Esse limite é chamado limite lateral à esquerda de a. 
 
 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
(em radianos), e da razão sen(x) , conforme x se aproxima de zero. 
x 
Exemplo 11 
Calcule 
x0 x 
lim 
sen4 x 
. 
Solução: 
 
Repare que o arco no numerador é 4x, enquanto no denominador temos só 
x. Um artifício, nesse caso, é multiplicar tanto o numerador como o denomi- 
nador por 4 e depois utilizar as propriedades operatórias dos limites. 
 
 
 
lim 
sen4x 
 lim 
4.sen4x 
 lim 
4senu 
 4.lim 
senu 
 4.1  4 
x 4.x u u x0 u0 u0 x0 
Observe que fizemos acima uma mudança de variável, colocando 4x = 
u, de modo a cairmos num limite fundamental. Verifique também que, 
ao multiplicarmos numerador e denominador da função dada por 4, a 
expressão não se altera. 
 
 
 
5.3 Limites Laterais 
Tabela 12 – função sen(x) 
x 
Cap tulo 5 
x (em rad) sen(x) 
x 
0,1 0,998334166 
0,01 0,999983333 
0,001 0,999999833 
0,0001 0,999999998 
C lculo I 
Dada a função 
87 
Limites e Continuidade 
 
 
Exemplo 12 
, calcule: 
a) 
lim f (x) 
x 1 
b) 
lim f (x) 
x1 
c) 
lim f (x) 
x 2 
d) lim f (x) 
x 2 . 
Solução: 
 
A função é definida por duas sentenças. Costumamos dizer, então, que 
ela é uma função definida por partes. 
 
Para calcular os limites, devemos observar o valor para o qual x está 
tendendo, a fim de podermos utilizar a primeira ou a segunda senten- 
ça. Por exemplo, se x tende a 20, analisaremos a 1ª sentença, pois ela é 
referente a valores maiores que 2. Se x tende a zero, analisaremos a 2ª 
sentença, pois ela é referente a valores menores que 2. 
 
 
a) Se x tende a 1 à direita, teremos que analisar a 2ª sentença da função, 
definida para x<2. Ela tende a 2. Portanto, 
lim f (x) = 2. 
x 1 
b) Repetindo o raciocínio empregado no item a, chegamos a 
lim f (x) 
x1 = 2. 
c) Nesse caso, como x tende a 2 à direita, isso significa que x é maior 
que 2 e devemos, portanto, analisar a 1ª sentença. Ela se aproxima de 3. 
Portanto, 
lim f (x) = 3. 
x 2 
d) Nesse caso, como x tende a 2 à esquerda, isso significa que x é menor 
que 2 e devemos, portanto, analisar a 2ª sentença. Ela se aproxima tam- 
bém de 3. Portanto, lim f (x) = 3. x 2 
88 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
ATIVIDADE 15 
 
Dadas as funções: 
a) f (x)   
2.x, se x  1 
 x, se x  1 
Calcule:e 
b) 
 x  1, se x  2 
f (x)   
2.x  1, se x  2 
Calcule: lim f (x) , x1 
lim f (x) 
x 1 , x1 , x 2 
lim f (x) lim f (x) e x 2 
lim f (x) . 
c) f (x)   
 3x  1, se x  3 
 2x  1, se x  3 
Calcule: lim f (x) , x3 
lim f (x) lim f (x) 
x 3 , x 2 e x 2 
lim f (x) . 
d) f (x)   
 4x  3, se x  0 
 4x  1, se x  0 
Calcule: lim f (x) , x3 
lim f (x) 
x 3 , x0 
lim f (x) e x0 
lim f (x) . 
e) f (x)   
 2x  3, se x  1 
 5x  3, se x  1 
Calcule: lim f (x) , lim f (x) x2 x2 
, lim f (x) e lim f (x) 
x1 x1 . 
f) f (x)   
 x  5, se x  3 
 x  4, se x  3 
Calcule: lim f (x) , 
x3 
lim f (x) 
x 3 
, 
x 2 
lim f (x) e 
x 2 
lim f (x) . 
Condição para a existência de um limite 
lim f (x)  L  lim f (x)  L e lim f (x)  L 
xa xa xa 
O limite de uma função quando x tende a um valor a só existe se 
os limites laterais em a existirem e forem iguais. 
Cap tulo 5 
C lculo I 
A Tabela 13 apresenta os valores da função 
se aproximando de zero. 
x 2 , conforme x vai 
f (x)  
1 
Observe que a função não se aproxima de um valor real específico. Ela 
oferece valores cada vez maiores, à medida que x se aproxima de zero. 
Logo, não existe o limite. 
89 
Limites e Continuidade 
 
 
Observações.: 
 
• Se, ao calcularmos o limite de uma função à direita e à es- 
querda, e os resultados forem diferentes, dizemos que o li- 
mite não existe. 
• Mas, se os resultados forem iguais, dizemos que o limite existe 
e que seu valor é o encontrado nos dois limites laterais. 
 
 
5.4 Limites Infinitos 
 
 
Vamos iniciar essa etapa com um exemplo. 
 
 
Exemplo 13 
Calcule, se existir, 
x0 x 2 . 
 
Solução: 
lim 
1 
Tabela 13 – Valores da função f ( x )  
2 x 
1 
x f (x)  
1 
x 2 
 1 1 
 0,5 4 
 0,2 25 
 0,1 100 
 0,05 400 
 0,05 10000 
 0,001 1000000 
90 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
Para indicar o comportamento da função do exemplo, usamos a notação 
 
 
 
lim 
1 
  
x0 x 2 
Obs.: Escrever lim x 
  não significa considerar  como número. 
x0 2 
1 
Tampouco significa que o limite exista. É simplesmente uma maneira de 
expressar a não existência do limite. 
Limite  
 
Seja f uma função definida em ambos os lados de a, exceto possi- 
velmente em a. Então, 
 
lim f (x)   
xa 
significa que podemos fazer os valores de f(x) ficarem arbitraria- 
mente grandes (tão grandes quanto quisermos), bastando fazer x 
se aproximar de a. 
 
 
 
Limite   
 
Seja f uma função definida em ambos os lados de a, exceto possi- 
velmente em a. Então, 
 
lim f (x)    
xa 
 
 
significa que podemos fazer os valores de f(x) ficarem arbitrariamen- 
te grandes (negativamente), bastando fazer x se aproximar de a. 
5.5 Limites no Infinito 
 
 
Como fizemos no item anterior, comecemos com um exemplo. 
 
 
Exemplo 14 
Vamos analisar o comportamento da função 
lor de x fica grande. 
x 2  1 
quando o va- 
1 
f (x)  
x 
2 
Cap tulo 5 
Limite tendendo ao infinito 
 
Seja f uma função definida em algum intervalo ]a,[ . Então, 
 
lim f (x)  L 
x 
significa que podemos fazer os valores de f(x) ficarem arbitraria- 
mente próximos do de L (tão próximos quanto quisermos), bas- 
tando fazer x suficientemente grande. 
 
Limite tendendo a menos infinito 
 
Seja f uma função definida em algum intervalo ]  , a[ . Então, 
 
lim f (x)  L 
x 
significa que podemos fazer os valores de f(x) ficarem arbitraria- 
mente próximos do de L (tão próximos quanto quisermos), bas- 
tando fazer x suficientemente grande, só que negativamente. 
 
 
 
C lculo I 
A Tabela 14 apresenta os valores da função 
vai crescendo. 
x 2  1 
, conforme x 
Quanto maior o valor de x, mais próxima a função fica de 1. Isso signi- 
fica que podemos fazer a função tão próxima de 1 o quanto quisermos, 
bastando, para isso, tomar o valor de x suficientemente grande. 
 
 
Representamos isso da seguinte maneira: 
1 
 1 
x x 2  1 
lim 
x 
2 
Tabela 14 – Valores da função f (x)  x 1 
x2  1 
2 
91 
Limites e Continuidade 
 
 
Solução: 
1 
f (x)  
x 
2 
x 
x2 1 
f (x)  
x2  1 
 1 0 
 2 0,6 
 5 0,923077 
 10 0,980198 
 100 0,9998 
1000 0,999998 
92 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
Exemplo 15 
Calcule 2 . 
x 5x  4x  1 
 
Solução: 
 
2 
lim 
 3x  x  2 2 
A função 
5x 2  4x  1 
é chamada de função racional, pois é ra- f (x)  
 3x  x  2 
zão entre dois polinômios. 
Para calcular o limite no infinito de uma função racional, primeiro di- 
vidimos o numerador e o denominador da função pela maior potência 
de x, que aparece no denominador. 
 
No caso, vamos dividir por x² e aplicar, conjuntamente, as propriedades 
operatórias dos limites. Veja: 
lim 
 3x  x  2 
x 5x 2  4x  1 
 
3x 2  x  2 
2 
= lim (dividindo por x²) 
5x 2  4x  1 
x 2 
x 2 
x 
= lim 
x 2 
2 
x 4 1 
5   
3  
1 
 
2 
x 
x x 
lim 3  
= x 
 
x2  
1  lim 5  
x 
 
 
2  
 (4ª propriedade) 
 1 2  
 
4 
x 
x x 
= x x x x x 
x x x x x 2 
2 
lim 5  lim 
4 
 lim 
1 
lim 3  lim 
1 
 lim 
2 
(2ª propriedade) 
= 3  0  0  3 . 
5  0  0 5 
Cap tulo 5 
C lculo I 
3x2  2 
. 
Utilizando a mesma estratégia adotada no exemplo anterior, 
chegamos a 
3  (2 / x2 ) 
lim 
5x  8x  3 
 lim 
5  (8 / x)  (3 / x ) 5 
3x2  2 
2 2 
x x 
= 3 
A Figura 28 mostra o gráfico da função f (x)  
5x  8x  3 
3x2  2 
2 
. A reta hori- 
zontal 3 é uma assíntota horizontal do gráfico de f. 
y  
5 
5.6 O N mero de E ler 
 
 
Estudamos no capítulo 4 o número e. Vamos ver agora um limite que o 
define:   e em que 
x 
x 
 
x   
lim1  
1  e  2,71828... é o número de Eüler 
93 
Limites e Continuidade 
 
 
Exemplo 16 
Calcule 
x 
 
Solução: 
lim 
5x  8x  3 2 
Figura 28 – Assíntota horizontal 
94 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
Podemos visualizar esse limite, construindo uma tabela: 
Tabela 15 – O número e 
 
 
É possível demonstrar que quando x tende ao infinito o valor da função 
se aproxima do número irracional e, contudo nos limitaremos a uma 
análise mais intuitiva. 
 
 
Exemplo 17 
Calcule lim1  xx 
x0 
1 
Solução: 
 
Inicialmente, percebe-se uma semelhança considerável do limite que 
queremos calcular com o 2º limite fundamental. Temos, então, de algu- 
ma forma, que usar o limite fundamental. 
Vamos fazer uma troca de variável: 
1 
por u. Se fizermos essa troca, x se 
x 
1 
transforma em u e, no limite, em que tínhamos x  0 , passaremos a 
 
ter 1  0 , que é o mesmo que u   . Dessa forma: 
u 
lim1  xx = lim1   e 
x0 
1 
u  
u 
 1  
u 
 
O teorema a seguir se refere a uma função f cujos valores estão limitados 
entre os valores de outras duas funções, g e h. Se g e h tiverem o mesmo 
limite quando x  c , então f também terá esse limite. 
Teorema do Confronto 
 
Suponha que g(x)  f (x)  h(x) para qualquer x em um intervalo 
aberto que contenha c, exceto possivelmente em x = c. Suponha 
também que lim g(x)  lim h(x) L . Então, lim f (x)  L . xc xc xc 
Cap tulo 5 
x 1 2 5 10 50 100 200 300 500 1000 5000 
(1+1/x)x 2 2,25 2,48832 2,59374 2,69159 2,70481 2,71152 2,71377 2,71557 2,71692 2,71801 
C lculo I 
Figura 29 – Teorema do confronto 
 
 
 
5.7 Continuidade 
 
 
O limite de uma função quando x tende a a pode muitas vezes ser en- 
contrado simplesmente calculando-se o valor da função em a. Funções 
com essa propriedade são chamadas contínuas em a. Existem ainda 
funções que são contínuas em cada ponto do seu domínio, as quais são 
chamadas simplesmente contínuas. Vejamos: 
Função contínua 
Uma função f é contínua em um número a se lim f (x)  f (a) . xa 
Se uma função f não for contínua em a, dizemos que ela é descontínua 
em a ou que f tem uma descontinuidade em a. 
 
 
Vamos ver alguns tipos de descontinuidade. 
 
 
I) Descontinuidade removível 
 
A Figura 30 apresenta o gráfico de uma função que tem uma descon- 
tinuidade removível em x = 0. Há uma redefinição do valor f (0) , que 
passa de 1 para 2. Essa redefinição faz com que um ponto do gráfico de 
f seja removido. 
95 
Limites e Continuidade 
 
 
O teorema do confronto é também conhecido como teorema do sanduí- 
che ou teorema da espremedura. A Figura 29 mostra as funções f, g e h. 
96 
Figura 32 – Descontinuidade do tipo salto 
 
 
 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
Figura 30 – Descontinuidade removível 
 
 
II) Descontinuidade infinita 
 
 
A Figura 31 apresenta o gráfico de uma função que tem uma desconti- 
nuidade infinita em x = 0. O valor f (0) não é definido e lim x 
  . 
x0 2 
1 
Figura 31 – Descontinuidade infinita 
 
 
III) Descontinuidade do tipo salto 
 
A Figura 32 apresenta o gráfico de uma função que tem uma desconti- 
nuidade do tipo salto em x = 0. À esquerda de zero, a função tende a -1, 
enquanto à direita tende a 1. O gráfico de f dá um salto em x = 0. 
Cap tulo 5 
C lculo I 
A função 
x2  5 
f (x)  
 x  4 x  3 3 2 
é uma função racional. Como não existe 
número real que anule o denominador, ela é contínua em todos os nú- 
meros reais. 
 
 
Exemplo 19 
A função f (x)  
 x  x  2 
x 2  x 
2 
é contínua em   {0,1} . 
Exemplo 20 
Como f (x)  3  5x e g(x)  x  1 são funções contínuas, 
( f  g)(x)  6x  4 , ( f  g)(x)  4x  2 , ( f .g)(x)  5x 2  8x  3 e 
x  1 
 (x)  
3  5 
 g    
 f  x 
(x  1) são também contínuas. 
97 
Limites e Continuidade 
Teorema 
 
Se f e g forem funções contínuas em a e se c for uma constante, 
então as seguintes funções são contínuas, também em a: 
 
I) f  g 
 
II) f  g 
 
III)f .g 
 
 
f 
IV)g , se g(a)  0 
 
V) c. f 
Observações 
 
•Qualquer polinômio é contínuo em todo o seu domínio. 
 
•Qualquer função racional é contínua em seu domínio. 
Exemplo 18 
98 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
ATIVIDADE 16 
 
A) Dê um exemplo de uma função f definida em  que seja con- 
tínua em todos os pontos, exceto em -1, 0 e 1. 
B) A função f (x)   
 1, se x  1 
2x, se x  1 
é contínua em 1? Justifique. 
C) A função 
Justifique. 
 3x  1, se x  3 
f (x)   
 2x  1, se x  3 
é contínua em x = -3? 
D) A função 
Justifique. 
 4x  3, se x  0 
f (x)   
 4x  1, se x  0 
é contínua em x = 0? 
E) Calcule os limites: 
a) lim 
2  x 
x  x  3 
b) 
x2  3 
x  1 3x2 
lim 
c) 
12x2  5x 
x  3x2  x  2 
lim 
d) 
x2 
1 x2  x  x  2 
 2x 
lim  
 
  
e) lim 
2 
x  x 
f) 
x  5  3x 
4 
lim 
g) 
x   x2  2 x2  1 
lim  2x  
 x  
  
h) 
2x2  3x  1 lim 
x3  2x  1 x  
i) 
x3  3 
x  3x2 
lim 
j) 
1 x2 
lim 
x  x 
Cap tulo 5 
C lculo I 
99 
Limites e Continuidade 
___________________________________________________ 
___________________________________________________ 
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___________________________________________________ 
___________________________________________________ 
100 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
Cap tulo 5 
101 
C lculo I 
Olá, pessoal! 
 
No capítulo anterior, estudamos limites. Neste capítulo, eles serão 
utilizados para definir a derivada de uma função, que é um dos 
conceitos mais importantes do Cálculo. Com derivadas, medimos a 
taxa de variação de uma função. 
 
Obter derivadas calculando limites pode ser demorado e difícil. Por 
isso, desenvolveremos técnicas para obtê-las mais facilmente. 
 
Finalizaremos o capítulo estudando algumas aplicações das 
derivadas. 
 
 
 
Bons estudos! 
6.1 Tangentes 
 
 
Se uma curva C tiver uma equação y  f (x) e quisermos encontrar o 
coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto P(a, f (a) , basta 
considerarmos um ponto vizinho, Q(x, f (x) , em que x  a , e calcular- 
mos o coeficiente angular da reta secante PQ: 
Então, fazemos o ponto Q aproximar-se de P ao longo da curva C, obri- 
gando x a tender a a. Se o coeficiente se aproximar 
de algum número m, esse número m será, por definição, o coeficiente 
angular da reta tangente à curva no ponto a. 
 
 
A Figura 33 ilustra o coeficiente angular da secante PQ. 
DERIVADAS E SUAS APLICA Õ ES 
102 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
Figura 33 – Coeficiente angular da secante 
 
Já a Figura 34 ilustra o processo de fazer Q tender a P. 
Figura 34 – Secante tendendo à tangente 
 
 
Definição 
 
Coeficienteangular da reta tangente 
 
Dada uma curva C de equação y  f (x) , o coeficiente angular m 
da reta tangente à curva no ponto P(a, f (a) é dado por 
x  a 
m  lim 
 f ( x)  f (a) 
xa 
Definição alternativa 
 
Coeficiente angular da reta tangente 
 
Dada uma curva C de equação y  f (x) , o coeficiente angular m 
da reta tangente à curva no ponto P(a, f (a) é dado por 
 
m  lim 
 f (a  h)  f (a) 
h h0 
Cap tulo 6 
C lculo I 
Obs.: A expressão 
h 
m  lim 
 f (a  h)  f (a) 
h0 
é obtida da expressão 
x  a 
m  lim 
f (x)  f (a) 
pela substituição de x por a + h. 
xa 
Exemplo 1 
Para calcular o coeficiente angular da reta tangente à curva f (x)  x , no 
ponto (3,1), utilizamos a definição alternativa, com a = 3: 
3 
h 
m  lim 
 f (a  h)  f (a) 
h0 
= 
= lim 3  h = 
h h0 
1 
3 
= lim 
(3  h) h0 h 
 h 
= 
= 3 . 
 
1 
Exemplo 2 
Para calcular o coeficiente angular da reta tangente à curva f (x)  
no ponto (4,2), utilizamos a definição alternativa, com a = 4: 
x , 
h 
m  lim 
 f (a  h)  f (a) 
h0 
= 
lim 
( 4  h  2)( 4  h  2) 
 lim 
 4  h  4 
 
4  h  2) h( 4  h  2) h0 h( h0 
103 
Derivadas e suas Aplicaç es 
h 1 
 
1 
4 4  h  2) 4  h  2 
 lim 
h0 h0 h( 
 lim 
Definição 
 
A derivada de uma função f em um número a 
 
A derivada de uma função f em um número a, representada por f '(a) , é 
h 
f '(a)  lim 
 f (a  h)  f (a) 
h0 
, 
se o limite existir. 
104 
Exemplo 4 
 
A população de uma cidade t anos após sua fundação é dada por uma 
função P  f (t) . 
 
 
a) O que significa a derivada P'  f '(t) ? 
 
 
Solução: 
 
A derivada P'  f '(t) pode ser interpretada como a taxa de variação ins- 
tantânea da função P  f (t) , ou seja, a taxa instantânea (velocidade) 
segundo a qual a população está crescendo (ou decrescendo). 
 
 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
Exemplo 3 
 
 
 
Cálculo da derivada da função f (x)  
3 , em x  3 . 
x 
 
Solução: 
 
 
Vamos utilizar a definição alternativa com a = 3: 
h 
f '(3)  lim 
 f (a  h)  f (a) 
h0 
= 
= lim 3  h = 
h h0 
1 
3 
= lim 
(3  h) h0 h 
 h 
= 
= 3 . 
 
1 
Diferentes interpretações da derivada 
 
A derivada de uma função num ponto a pode ser interpretada de 
duas maneiras principais: 
 
I)como o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto a; 
 
II)como a taxa de variação instantânea de y  f (x) no 
ponto x  a . 
Cap tulo 6 
C lculo I 
6.2 A Derivada Como uma Funç o 
 
 
Até agora, consideramos a derivada de uma função f em um ponto a 
 
 
f '(a)  lim 
 f (a  h)  f (a) 
h h0 
Vamos mudar nosso ponto de vista, considerando o número a como 
uma variável x. Fazendo isso, estaremos determinando a função deri- 
vada, uma função que fornece os valores dos coeficientes angulares da 
curva y  f (x) em todos os pontos do seu domínio. 
A função derivada 
 
Dada uma função y  f (x) , define-se a função derivada f '(x) da 
seguinte forma: 
 
f '(x)  lim 
 f ( x  h)  f ( x) 
h h0 
105 
Derivadas e suas Aplicaç es 
 
 
b) Em termos práticos, o que significa dizer que f '(9)  100 ? 
 
 
Solução: 
 
Significa que, 9 anos após a fundação da cidade, sua população crescia a 
uma taxa de 100 pessoas por ano. 
ATIVIDADE 17 
 
A)Qual o coeficiente angular da reta tangente à curva representa- 
tiva da função y = f(x) = x2 + 5, no ponto x = 0? 
 
B)Determine a equação da reta tangente à curva representativa 
da função y = x3, no ponto x = 2. 
106 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
Exemplo 5 
 
 
Para calcular a derivada da função f (x)  x 
2  x , vamos utilizar a 
definição: 
h h 
f '(x)  lim 
 f ( x  h)  f ( x) 
lim 
( x  h)  ( x  h)  ( x  x) 
h0 
= 
h0 
2 2 
h 
x 2  2xh  h2  x  h  x 2  x 
lim 
h0 
lim 
= h0 h 
2xh  h2  h 
= lim 
h(2x  h  1) 
= lim(2x  h  1) 
h h0 
h0 = 2x  1 
Portanto, f '(x)  2x  1 
 
 
 
Exemplo 6 
Para calcular a derivada 
definição: 
da função f (x)  , 
x 
3 
vamos utilizar a 
h 
f '(x)  lim 
 f ( x  h)  f ( x) 
h0 
= 
h 
lim x  h x = 
h0 
 3 
 
3 
h 
lim 
 x( x  h) x( x  h) 
 3x 
 
3( x  h) 
h0 
= 
h0 hx(x  h) = h0 x(x  h) 
 3h  3 
lim lim 
=  x 2 . 
3 
f(x+h) f(x) 
Cap tulo 6 
107 
Derivadas e suas Aplicaç es 
 
 
6.3 Regras de Derivaç o 
 
 
Até este momento, estamos usando a definição para calcular as deriva- 
das de funções. Mas seria extremamente tedioso se sempre utilizásse- 
mos essa definição, devido à quantidade de contas necessárias. 
 
A partir de agora, serão apresentadas regras para encontrar deriva- 
das sem ter que usar diretamente a definição. Essas regras nos per- 
mitirão calcular as derivadas de polinômios e de funções racionais, 
algébricas, exponenciais, logarítmicas e tr igonométricas, de forma 
relativamente rápida. 
 
 
Obs.: Se y  f (x) , temos duas notações para a função derivada, as quais 
utilizaremos frequentemente: 
 
 
Notação de Newton: f '(x) (lê-se: f linha de x) 
 
 
dy df 
Notação de Leibniz: 
dx 
ou 
dx 
(lê-se: “dy dx” ou “df dx”) 
Regra do múltiplo constante 
 
Se c é uma constante e f uma função diferenciável, então 
 
 d 
(c  f (x))  c. 
d 
f (x) 
dx dx 
 
 
 
C lculo I 
Derivada de uma função constante 
A derivada de uma função constante é igual a zero. 
 
Se f tem o valor constante f(x) = c, então 
 
df 
 
d 
(c)  0 
dx dx 
 
 
Exemplo: 
 
Se f tem o valor constante f(x) = 8, então f ’(x) = 0. 
 
Regra da potência (versão geral) 
 
Se n é um número real qualquer, então 
 
d 
(x n )  n  x n1 
dx 
Exemplo: 
Se f (x)  x
5 
, então f ' (x)  5x4 
108 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
Exemplo: 
 
 
d 
(6x5 )  6. 
d 
(x5 )  6.5x 4  30x 4 
dx dx 
 
Regra da soma 
 
Se f e g são ambas diferenciáveis, então 
 
 
 d 
( f (x)  g(x))  
d 
f (x)  
d 
g(x) 
dx dx dx 
 
 
Exemplo: 
 
 
d 
(6x5  x3 )  30x 4  3x 2 
dx 
 
 
Regra da diferença 
 
Se f e g são ambas diferenciáveis, então 
 
 
 d 
( f (x)  g(x))  
d 
f (x)  
d 
g(x) 
dx dx dx 
 
 
Exemplo: 
 
 
d 
(6x5  9x7 )  30x 4  63x6 
dx 
 
Regra do produto 
 
Se f e g forem diferenciáveis, então 
f (x) 
d 
( f (x)  g(x))  f (x)  
d 
g(x)  g(x)  
d 
dx dx dx 
A derivada de um produto de duas funções é a primeira função 
vezes a derivada da segunda função mais a segunda função vezes 
a derivada da primeira função. 
 
Exemplo: 
 
Façamos o cálculo da derivada de y  9x 
2  (6x  2) . 
 
1ª solução (usando a regra do produto) 
 
 
 
d 
[9x 2  (6x  2)]  9x 2 .6  (6x  2).18x  54x 2  108x 2  36x  162x 2  36x 
dx 
Cap tulo 6 
109 
Derivadas e suas Aplicaç es 
C lculo I 
2ª solução (simplificando a expressão primeiro) 
 
 
 
d 
[9x 2  (6x  2)]  
d 
[54x3  18x 2 ]  
d 
54x3  
d 
18x 2  162x 2  36x 
dx dx dx dx 
 
 
 
Regra do quociente 
 
 
Se f e g forem diferenciáveis, então 
dx  g(x)  [g(x)]
2 
g(x)  f (x)  f (x)  g(x) 
dx dx d  f (x)  
d d 
   
A derivada de um quociente é odenominador vezes a derivada do nu- 
merador menos o numerador vezes a derivada do denominador, todos 
divididos pelo quadrado do denominador. 
 
 
Exemplo 
Cálculo da derivada da função 
x3  6 
x2  x  2 
y  . 
[x3  6]2 
3 2 2 3 
dx  x
3  6 
d  x 2  x  2  
(x  6)  (x  x  2)  (x  x  2)  (x  6) 
dx dx 
  
 
 
 d d 
= 
= 
[x3  6]2 
(x3  6)  (2x  1)  (x 2  x  2)  (3x 2 ) 
= 
[x3  6]2 
(2x 4  x3  12x  6)  (3x 4  3x3  6x 2 ) 
= 
[x3  6]2 
 x4  2x3  6x2  12x  6 
. 
Todas as regras apresentadas acima podem ser demonstradas utilizan- 
do-se a definição de derivada. Em nosso curso, apenas as utilizaremos, 
sem demonstrá-las. 
110 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
ATIVIDADE 18 
 
A)Determine a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos 
pontos indicados. 
 
a) f(x) = x² - 1; x = 1, x = 0. 
 
1 
b) f(x) = x(3x – 5 ); x = 2 
B)Encontre a equação da reta tangente à curva y = x² - 2x + 1 no 
ponto (-2,9). 
 
C)Usando a definição, determine a derivada das se- 
guintes fu nções: 
 
a) f(x) = 1 – 4x² 
b) f(x) = 
2x 1 
1 
D) Calcule, usando as regras de derivação, as derivadas das fun- 
ções a seguir: 
 
a) f(r) = π r² 
 
b) f(x) = 14 – ½ x –3 
 
c) f(x) = ( 3x5 – 1)( 2 – x4 ) 
 
d) f(x) = 7(ax² + bx + c ) 
e) f(t) = 
t  1 
3t²  5t  1 
f) f(s) = (s² - 1)(3s - 1)(5s² + 2s) 
g) f(t) = 
t  2 
2  t² 
h) f(x) = ½ x4 + 2/x6 
6.4 Derivadas de Ordem Superior 
 
 
Ao derivar-se uma função de uma variável independente, na maioria 
das vezes obtém-se, como resultado, uma nova função dessa variável. 
 
Mas se for possível derivarmos a função derivada, obteremos uma nova 
função, chamada segunda derivada ou derivada de segunda ordem. 
Representamos a segunda derivada de uma função y  f (x) com o 
Cap tulo 6 
E assim sucessivamente. 
 
 
Exemplo 7 
 
Usando as fórmulas de derivação, calcule as derivadas de 1a e 2a ordem 
da função f x x3 , no ponto x0  1 . 
 
 
C lculo I 
símbolo 
d x2 
. Assim, 
d 2 f x d  d f x 
 
 
  
d x d x  d x 
2 
Pode ser que a nova função possa ser derivada novamente. Aí 
d 2 f x 
d x2 
encontramos a terceira derivada ou derivada de terceira ordem. 
Representamos a terceira derivada de uma função y  f (x) com o sím- 
 
d 3 f x 
bolo . Assim, 
d x3 
d f x  d d  d f x  d d f x  
      
 
 
 d x  d x 
   
 d x  d x  d x 
   
2 
2 
3 
3 
d x 
Em geral, o símbolo 
função y  f (x) . 
d n f x 
d xn 
representa a derivada de ordem n de uma 
Obs.: Essas derivadas também podem ser denotadas como segue: 
I) 
d f x 
 f x 
d x , 
II) 
d 2 f x 
 f  x, 
d x 2 
III) 
d f x  
 f x 
d x 
 
3 
3 
, 
IV) 
111 
Derivadas e suas Aplicaç es 
d 2 f x 
d 4 f x 
 f x f   x, 
d x n4 
iv 4 
112 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
Solução: 
 
 
A derivada de 1ª ordem é f 'x 3x 2 . Aplicando-a em x0  1 , encon- 
tramos f '1 3(1)2  3 . A derivada de segunda ordem é a derivada 
da função f 'x 3x 2 , que é f "x 6x . Aplicando-a em x0  1 , en- 
contramos f "1 6.( 1)  6 . 
 
 
Exemplo 8 
 
 
A posição de uma partícula em movimento é dada pela equação 
s  f (t)  t 3  6t 2  9t , em que t é medido em segundos e s, em metros. 
 
 
a) Qual a velocidade da partícula no instante t? 
 
 
Solução: 
 
A função velocidade é a derivada da função posição. Isso porque a de- 
rivada pode ser interpretada como uma taxa de variação. A velocidade 
é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Portanto, basta 
derivar a função s  f (t)  t 3  6t 2  9t . Fazendo isso: 
 
 
s  f (t)  t 3  6t 2  9t  s'  f '(t)  v(t)  3t 2 12t  9 . 
 
 
b) Quando a partícula estará em repouso? 
 
 
Solução: 
 
A partícula está em repouso quando sua velocidade é zero. Devemos, 
então, ter s'  f '(t)  v(t)  3t 2 12t  9 = 0. Resolvendo a equação do 
segundo grau, chegamos a t= 1 ou t = 3. Assim, a partícula estará em 
repouso após 1 segundo e após 3 segundos. 
 
c) Qual a velocidade da partícula após 2 segundos? E após 4 segundos? 
 
 
Solução: 
 
 
Basta na função velocidade trocar t por 2 e depois por 4. 
 
 
v(2)  3.22 12.2  9  3m / s 
 
v(4)  3.42 12.4  9  9m / s 
Portanto, após 2 segundos, a partícula se move com velocidade de -3m/s; 
após 4 segundos, ela se move com velocidade de 9m/s. 
Cap tulo 6 
C lculo I 
B) Dadas as funções f(x) = x²+Ax 
que: 
e g(x) = Bx, determine A e B tais 
 
f' (x)  g' (x)  1  2 x 
 
f(x)  g(x)  x ² 
113 
Derivadas e suas Aplicaç es 
 
 
Exemplo 9 
 
 
Encontre as derivadas de todas ordens, relativas à função 
f x 3x3  2x2  5x  4 . 
 
 
Solução: 
 
 
f x 9x2  4x  5 
f  x 18x  4 
f  x 18 
f iv x f v x   0 
ATIVIDADE 19 
A) Calcule f ”(1) se: f(x) = (1+x)² - x 
C)Calcule as derivadas de 1ª, 2ª e 3ª ordens das seguintes funções: 
a) f(t) = t8 - 2t5 + 3t + 1 
b) y = (3x² - 4x)² 
 
D)Um balonista deixa cair, de um balão, um saco de areia, de uma 
altura de 160m acima do solo. Após t segundos, o saco de areia está a 
100 – 4,9t² do solo. 
 
a)Ache a velocidade do saco de areia em t=1 e em t=5 e faça o gráfico 
da função velocidade. 
 
 
b) Determine a velocidade do saco de areia quando ele atinge o solo. 
 
E)Usando as fórmulas de derivação, calcule as derivadas de 1a e 2a or- 
dem da função f x 2x3  3x2 , no ponto x0  1 . 
 
 
F) Seja f (x)  3x4  4x3  x  10 . 
114 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
a)Calcule f ’(x). 
 
b)Escreva a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto 
correspondente a x0 = 1. 
 
c)Lembrando que uma reta tem inclinação de 45° quando seu co- 
eficiente angular é igual a 1, ache, sobre o gráfico de f, os pontos, 
nos quais a reta tangente tenha inclinação de 45° . 
6.5 A Regra da Cadeia 
 
 
 
Suponha que você necessite calcular a derivada da função f (x)  x 2  1 
. As fórmulas que aprendemos até agora não permitem que calculemos 
tal derivada. Mas se representarmos x 2  1 por uma outra variável, u, 
por exemplo, perceberemos que a função f (x)  x 2  1 é composta de 
duas funções: y  u e u  x 2  1 . 
 
Impõe-se esta pergunta: será que há alguma relação entre as derivadas 
dx 
, 
dx 
e 
du 
? 
 
A resposta é sim e se resume numa regra chamada regra da cadeia. 
dy du dy 
A regra da cadeia 
Se y  f (u) e u  g(x) forem funções diferenciáveis, então 
dy 
 
dy 
 
du 
dx du dx 
 
 
Exemplo 10 
 
 
Calcule a derivada da função f (x)  x 2  32 . 
 
1ª solução: 
 
Uma das maneiras de fazer esse cálculo seria desenvolver a expressão e 
calcular a derivada do resultado obtido. Veja: 
 
f (x)  x 2  32  f (x)  x 4  6x 2  9  f '(x)  4x3  12x 
Cap tulo 6 
C lculo I 
• du 
= 
du 
u 
dy d 
( 2 )  2u 
• dx 
= 
dx 
x 
du d 
( 2  3)  2x 
• f '(x)  
dx 
 
du 
 
dx 
= 2u  2x 2u  2x = 4(x 
dy dy du 
 3)  x  f '(x)  4x 2  12x . 
3 
Você poderia pensar que utilizar a regra da cadeia foi mais difícil. Po- 
rém, em certos casos, é a única alternativa possível. 
 
 
Exemplo 11 
Para calculara derivada da função f (x)  x 2  1 , primeiramente va- 
mos escrever a função utilizando a forma de potência: 
f (x)  x 2  1  
1 
f (x)  (x 2  1) 2 . 
1 
Depois, chamamos x 2  1 de u e determinamos as funções y  u 2 e 
u  x 2  1 . 
 
 
Por último, utilizamos a regra da cadeia: 
• du = du 
(u 
dy  
1 
2 
1 
1 
2 
1 
2 )  u  u 
2 2 
1 1 d 
• dx 
= 
dx 
x 
du d 
( 2  1)  2x 
•
f '(x)  
dx 
 
du 
 
dx 
= 
2 
u 
dy dy du 
2x 
1  
2 
1 
= u 2  x = (x 2  1) 2  x = 
 
1 
 
1 
 x 
1 
(x 2  1) 2 
115 
Derivadas e suas Aplicaç es 
 
 
2ª solução: 
 
 
Uma outra forma seria utilizar a regra da cadeia com u  x 2  3 e y  u 
2 
: 
x 2  1 
f '(x)  
x 
116 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
Como vimos, a regra da cadeia é utilizada para derivar uma função que 
é função composta de outras funções, ou seja, uma função da forma 
y  f (g(x) . 
 
 
Uma maneira alternativa de calcular a derivada da função y  f (g(x) 
é seguir estes comandos: 
•calcule (derivada de f aplicada em g); f '(g(x) 
•calcule g '(x) (derivada da parte interna); 
 
 
•multiplique f '(g(x) por g '(x) . 
Exemplo 12 
Derive a função y  (x
3 1)100 . 
Solução: 
 
 
I) Vamos calcular f '(g(x) (derivada de f aplicada em g): 
f '(g(x) = 100(x
3 1)9 (regra da potência) 
II) Calculamos g '(x) (derivada da parte interna) 
 
 
g '(x) = 3x2 
 
 
III) Multiplicamos os resultados dos itens I e II: 
 
 
y'  100(x3 1)9 3x 2 = 300x
2 (x3 1)9 
 
 
 
A regra da potência combinada com a regra da cadeia 
 
Se n for qualquer número real e u  g(x) for diferenciável, então 
 
 
d g(x)n  n.g(x)n1.g '(x) 
dx 
Cap tulo 6 
C lculo I 
2 x 
f x 3   
    
3 2 
x x 
c) gx x2  2x  1 g x 
x2  2x  1 
x  1 
d) y  3 3x4  2x3 
33 (3x4  2x3 )2 
3 2 
dy 
 
12x  6x 
dx 
e) 
 
 
B) Calcule a derivada de cada função: 
a) f(t) = t8 - 2t5 + 3t + 1 b) g(t) = 
1 
 
1 
 1 
3t³ 2t² 
c) h(x)    3.  x  
 
 1   2  
 x²   x³ 
d) p(x)  
x²  3x  2 
2x²  x  1 
e) y = (2x² + x - 5)³ f) h(t)  2t³  t  1 
g) f(s) = (7s² + 6s - 1)³ h) g(s) = (4s² - 5s + 2)-1/3 
i) f(r) = (7r²+6r)7 (3r - 1)4 j) f(u)    
 2u²3  
 7u1  
3 
117 
Derivadas e suas Aplicaç es 
 
 
Exemplo 13 
Derive y  (x
50 1)10 
Solução: 
 
 
y'  10.(x50 1)9 .50x49  500x49 (x50 1)9 
ATIVIDADE 20 
 
A) Calcular as derivadas das expressões abaixo. Repare que na 
frente de cada item segue a resposta para você fazer e conferir. 
 
a) f x 2x  38 f x 162x  37 
b) f x  3 1  
  
3 
 x   
 3x  1 
  
 3x  2  
 
2 
118 
y  4x 2  6 
 
Para o caso de 8x
2  2 y  12 , dizemos que y é uma função implícita de 
 
x ou que f é definida implicitamente pela equação 8x2  2 y  12 . 
 
 
Se na equação 8x
2  2 y  12 substituirmos y por 4x2  6 , vamos obter 
 
8x 2  24x 2  6 12 
 
 
8x 2  8x 2  12  12 
 
12  12 
 
 
 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
k) h(u)  
u  1 
2u  1 
l) f(y) = (5y-2)6 (3y-1)³ 
m) g(y) = (y²-1)(3y-1)(5y³+2y) n) 
o) p(u)  3 
(5u  3) (5u  3) 
 
q) h(r) = (4r² - a)³ (a – 2r) 
2  1 
p) 
 
r) f(x) = 7 (ax²+bx+c)-1/3 
6.6 Diferenciaç o Impl cita 
 
 
 
Dada a equação y  4x2  6 , dizemos que y é uma função explícita de x 
e podemos escrever: 
 
 
y  f x onde f x 4x2  6 
 
 
A equação 8x2  2 y  12 define a mesma função f, pois, resolvendo a 
equação em ordem a y obtemos: 
 
 
8x 2  12  2 y 
2 
8x 2  12 
y  
Cap tulo 6 
C lculo I 
Temos duas funções: y  1  x
2 e y   1  x2 , que são definidas im- 
119 
Derivadas e suas Aplicaç es 
 
 
que é uma identidade, uma vez que é válida para qualquer x pertencente 
ao domínio de f. Essa é uma característica de qualquer função definida 
implicitamente por uma equação em x e y. 
 
 
Obs.: f é uma função implícita se, e só se, a substituição de y por f(x) 
levar a uma identidade. 
 
Uma equação pode definir implicitamente mais de uma função. 
Vejamos: 
x 2  y 2  1 
 
 
y   1  x 2 
plicitamente pela equação x2  y 2  1 . 
 
Dada uma equação definida em função de x e y, nem sempre é fácil 
determinar explicitamente o valor de y, como se pode ver na equação 
y 4  3y  4x3  5x  1 . 
 
 
Mas a questão que nos interessa aqui é que podemos calcular a derivada 
de uma função definida implicitamente sem precisar determinar o valor 
de y explicitamente. 
 
 
Para derivar implicitamente, utilizamos com freqüência a regra 
 
d y n  ny n1 d y. 
dx dx 
 
Exemplo 14 
 
 
Considere a equação y
4  3y  4x3  5x  1 , que define implicitamente y 
como função de x. Determine a sua derivada. 
 
 
Solução: 
 
Derivamos ambos os membros da expressão dada em relação a x e utili- 
zamos conjuntamente a regra da cadeia: 
120 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
d y 4  3y  4x3  d 5x  1 
dx dx 
 
 
4 y3 y  3y 12x 2  5 
 
y4 y3  3 5  12x2 
com 4 y3  3  0 
4 y3  3 
y  
5  12x 2 
Exemplo 15 
Determine o coeficiente angular da tangente 
y 4  3y  4x3  5x  1 em P(1,-2). 
ao gráfico de 
Solução: 
 
O coeficiente angular em P é o valor da derivada quando x=1 e y=-2. 
Como já temos a expressão que representa a derivada, basta substituir 
nela os dois valores: 
y  
5  12x 
 
4 y3  3 
2 
4 23  3 29 
y  
 5  12 
 
17 
ATIVIDADE 21 
 
 
 
A)Admitindo que cada uma das equações abaixo define implici- 
tamente uma função y = f(x) , determine y' . 
 
a) y 2  2xy  4  0 
b) ( x  y )
2  ( x  y )2  x4  y 4 
Cap tulo 6 
C lculo I 
a função dada implicitamente pela equação 
a) Mostre que 
1 
3[ f (x)] 2  1 . 
f '(x)  
121 
Derivadas e suas Aplicaç es 
B) Seja y = f(x) uma função dada implicitamente pela equação . 
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto 
onde y = 1. 
C) Dada a equação , determine: x
2  y2  9 
a) a derivada em relação a x. 
 
b) duas funções de x definidas pela equação. 
D) Seja y  f (x) 
y3  y  x . 
b) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto 
(10, f (10)) . 
6.7 Taxas Relacionadas 
 
 
Vamos, agora, estudar alguns tipos de problemas que envolvem taxas 
de variação de grandezas. São problemas nos quais se torna necessário 
determinar uma taxa específica, que não pode ser medida diretamente 
com base em uma que pode ser medida. Para fazer isso, escrevemos 
uma equação que relacione as variáveis envolvidas e a derivamos para 
obter uma equação que relacione a taxa procurada com a taxa conheci- 
da. Vamos ver os exemplos: 
 
 
Exemplo 16 
 
A que taxa o nível do líquido diminui dentro de um tanque cilíndrico 
vertical se bombearmos o líquido para fora a uma taxa de 3000 litros 
por minuto? 
 
 
Solução: 
 
Primeiramente, fazemos uma figura relativa ao problema (Figura 
35), identificando as variáveis. Devemos observar tudo o que varia 
com o tempo. 
122 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
Figura 35 – tanque cilíndrico 
 
 
Vamos representar o raio do cilindro porr, a altura do líquido por h e o 
volume do líquido por V. Com o passar do tempo, r permanece inalte- 
rado, mas h e V se modificam. Percebemos, então, que h e V são funções 
deriváveis do tempo t. 
 
Sabemos que o líquido é bombeado para fora a uma taxa de 3000 litros 
por minuto, ou seja, que a taxa de variação do volume em relação ao 
tempo é de “menos 3000 litros por minuto”. Representamos isso da se- 
guinte forma: 
 
 
 
dV 
 3000 
dt 
 
 
Queremos calcular a taxa de variação da altura do nível da água em re- 
lação ao tempo, ou seja, 
 
 
dh 
dt 
 
Como h e V se modificam com o passar do tempo t, precisamos de uma 
equação que relacione h, V e t. 
 
Essa equação é a do cálculo do volume de um cilindro circular reto (área 
da base vezes a altura vezes mil). Veja: 
 
 
V  1000pr 2 h 
Cap tulo 6 
C lculo I 
V  1000pr 2 h  
dV 
 
d 
[1000pr 2 h]  
dV 
 1000p 
d 
[r 2 h]   1000p r 
2 . 
dt dt dt dt 
 dt dt  
 dh  
 
dV 
Basta, então, substituir o valor 
dV 
 3000 na equação e isolar 
dh 
: 
dt dt 
    dt   
 3000  1000p r 2 . 
dh    
3 
 r 2 . 
dh   
dh 
  
dt  dt  p 
2 
3 
pr 
metros por 
minuto. 
Concluímos que o nível do líquido no tanque desce segundo a veloci- 
123 
Derivadas e suas Aplicaç es 
 
 
Agora que temos a equação, derivamos os dois membros em relação ao 
tempo t: 
dade de 2 metros por minuto. Ou seja, essa velocidade depende da 
r 
medida do raio do cilindro. 
3 
•Se r=1 metro, por exemplo, então 
dt 
95 cm / min . 
dh 
  
•Se r = 10 metros, por exemplo, então 
dt 
0,0095 cm / min . 
dh 
  
Esse resultado é completamente coerente, pois, com certeza, se o raio 
for grande, o nível do líquido diminuirá devagar e, se o raio for peque- 
no, o nível diminuirá rapidamente. 
 
 
 
Exemplo 17 
 
Uma viatura de polícia, vindo do norte e se aproximando de um cruza- 
mento em ângulo reto, está perseguindo um carro em alta velocidade, 
o qual no cruzamento toma a direção leste. Quando a viatura está a 0,6 
km ao norte do cruzamento, e o carro fugitivo, a 0,8 km a leste, o radar 
da polícia detecta que a distância entre a viatura e o fugitivo está aumen- 
tando a 20 km/h. Se a viatura está se deslocando a 60 km/h no instante 
dessa medida, qual é a velocidade do fugitivo? 
 
 
Solução: 
 
Como no exemplo anterior, fazemos uma figura relativa ao problema 
(Figura 36), identificando as variáveis. 
124 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
Vamos representar a distância entre a viatura e o cruzamento por y, a 
distância entre o carro dos fugitivos e o cruzamento por x e a distância 
entre os dois veículos por s. Com o passar do tempo, as três variáveis são 
alteradas, portanto x, y e s são funções deriváveis do tempo t. 
 
 
As taxas de variação presentes no problema são: 
I) 
dt 
 20 (a distância s entre os veículos aumenta a uma taxa de 20 
km/h) 
ds 
II) 
dt 
 60 (a distância y entre a viatura e o cruzamento diminui a 
uma taxa de 60 km/h) 
dy 
Queremos determinar a velocidade do carro dos fugitivos. Ou seja, que- 
remos descobrir dx . 
dt 
Precisamos de uma equação que relacione x, y e s. Como na figura te- 
mos um triângulo retângulo, aplicamos o teorema de Pitágoras: 
 
 
x 2  y 2  s 2 
 
 
Agora que temos a equação, derivamos os dois membros em relação ao 
tempo t: 
 y ) 
 
d 
(s 2 )  2x. 
dx 
 2 y. 
dy 
 2s. 
ds  x. 
dx 
 y. 
dy 
 s. 
ds d (x 2 2 
dt dt dt dt dt dt dt dt 
Figura 36 – perseguição policial 
Cap tulo 6 
ATIVIDADE 22 
 
 
A) Seja V o volume de um cilindro que tem altura h e raio r e su- 
ponha que h e r variem com o tempo. 
 
a)Como estão relacionadas dV/dt, dh/dt e dr/dt ? 
 
b)Em certo instante, a altura é de 6 cm e está crescendo a 1cm/s, 
enquanto o raio é de 10 cm e está decrescendo a 1 cm/s. Com que 
velocidade o volume está variando no instante em questão? O vo- 
lume está crescendo ou decrescendo? 
 
 
 
B) Uma escada de 8 m está encostada em uma parede. Se a extre- 
midade inferior da escada for afastada do pé da parede a uma 
 
 
 
C lculo I 
substituir os termos da equação 
dt 
pelos valores encontrados: x. 
dx 
 y. 
dy 
 s. 
ds 
dt dt 
x. 
dx 
 y. 
dy 
 s. 
ds  0,8. 
dx 
 0,6.(60)  1.20  
dt dt dt dt 
dx 
 
56 
 70 km/h 
dt 0,8 
Portanto, a velocidade do carro dos fugitivos é de 70 km/h. 
 
Abaixo seguem algumas diretrizes que podem auxiliar na resolução de 
problemas de taxas relacionadas. 
 
 
I)Faça uma figura, se isso for possível. 
 
II)Defina as variáveis. Primeiro t, pois as outras variáveis usualmente 
dependem de t. 
 
III)Escreva todos os fatos numéricos conhecidos sobre as variáveis e 
suas derivadas em relação a t. 
 
 
IV) Monte uma equação envolvendo as variáveis que dependem de t. 
 
V)Derive em relação a t ambos os membros da equação encontrada na 
etapa 4. 
 
VI)Substitua as incógnitas da equação da etapa 5 pelos valores conhe- 
cidos e descubra a quantidade desejada. 
125 
Derivadas e suas Aplicaç es 
ds dy 
Segundo o problema, temos y = 0,6, x = 0,8, s = 1, 
dt 
 20 e 
dt 
 60 . Basta 
126 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
velocidade constante de 2 m/s, com que velocidade a extremidade 
superior estará descendo no instante em que a inferior estiver a 
3 m da parede? 
 
C)A base x e a altura y de um retângulo estão variando com o 
tempo. Em um dado instante, x mede 3 cm e cresce a uma taxa 
de 2 cm/s, enquanto y mede 4 cm e decresce a uma taxa de 1cm/s. 
Determine, no instante em questão, a taxa de variação da área A 
do retângulo em relação ao tempo. 
 
D)Dois carros estão se encaminhando em direção a um cruza- 
mento, um seguindo para a direção leste a uma velocidade de 90 
km/h e o outro seguindo para a direção sul, a 60 km/h. Qual a 
velocidade com que eles se aproximam um do outro no instante 
em que o primeiro carro está a 0,2 km do cruzamento e o segun- 
do a 0,15 km? 
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Cap tulo 6 
127 
Derivadas e suas Aplicaç es 
C lculo I 
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128 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
Cap tulo 6 
129 
C lculo I 
Olá, turma! 
 
 
 
Vimos como a necessidade de calcular taxas de variação instantâ- 
neas levou os descobridores do Cálculo a uma investigação sobre os 
coeficientes angulares de retas tangentes e, por fim, às derivadas. 
Tudo o que estudamos até agora faz parte do que chamamos cálculo 
diferencial. 
 
Neste capítulo, o último do nosso curso, estudaremos noções de cál- 
culo integral. Aprenderemos a calcular integrais de funções simples 
e veremos que a integração é a operação inversa à da derivação. 
 
 
 
Bons estudos! 
7.1 C lculo de Primitivas 
Definição 
Primitiva (antiderivada) – Seja f uma função real definida no 
intervalo a,b. Chama-se primitiva (ou antiderivada) da função f 
em a,b a outra função F definida em a,b , tal que F (x)  f (x) 
, para qualquer x a,b . 
Pela definição apresentada acima, vimos que obter uma primitiva de 
uma função é encontrar uma nova função cuja derivada retorne à fun- 
ção dada. Veja os exemplos: 
 
 
Exemplo 1 
 
 
Encontre uma antiderivada da função f x 3x2  2x  5 . 
INTEGRAIS 
130 
Basta acrescentar qualquer constante à função F x x 4 que produzire- 
mos uma família de antiderivadas. 
 
Em geral, dizemos que se F x é uma antiderivada, qualquer função 
da forma F x C , em que C é um número real qualquer, também é 
uma antiderivada. 
 
 
 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
Solução: 
 
Temos que encontrar uma outra função F x cuja derivada F x seja 
f x. 
 
 
Se tomarmos F x x3  x2  5x  2 , temos F x 3x2  2x  5  f x. 
Isso significa que uma antiderivada da função 
função F x x3  x2  5x  2 . 
f x 3x2  2x  5 é a 
É importante observar que uma função não tem só uma antiderivada. 
Uma função tem infinitas antiderivadas, que diferem entre si por uma 
constante. Logo vamos analisar esse fato. 
 
 
O conjunto de todas as antiderivadas de uma função f é chamada de 
 
integral indefinida e é representada por 
. 
No símbolo 
de integração. 
, a função f é chamada integrando, e x é a variável 
Exemplo 2 
 
 
Encontremos antiderivadas da função f x 4x3 . 
 
 
Solução: 
 
Por tentativas, podemos descobrir facilmente que uma das antideri- 
vadas da função f x 4x3 é a função F x x 4 . Para conferir, basta 
derivar F x. 
 
 
Mas existem outras possibilidades: 
 
 
Gx x 4  1 
H x x 4  6 
Cap tulo 7 
131 
Integrais 
 
 
Exemplo 3 
 
A Tabela 16 apresenta algumas funções potência com suas respectivas 
integrais indefinidas. 
C lculo I 
Perceba que, ao derivar as funções da coluna da direita, chegamos às 
funções da coluna da esquerda. 
 
Com o raciocínio apresentado na Tabela 16 chegamos à nossa primeira 
fórmula para calcular antiderivadas: 
Exemplo 4 
Use a fórmula para encontrar uma antiderivada da 
Tabela 16 – Antiderivadas de funções potência 
Função Integral indefinida 
f (x) F (x) 
x x 2 
 C 
2 
x 2 x3 
 C 
3 
x3 x 4 
 C 
4 
x 4 x5 
 C 
5 
x5 x6 
 C 
6 
x n x n1 
 C 
n  1 
132 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
função f (x)  
x 
. 
 
 
Solução: 
1 
Primeiramente, vamos modificar a forma como é apresentada a função f: 
 
f (x)    x 2 
1 
x x 
1
2 
1 1 
Assim, escrevemos f na forma de função potência: 
 
 
 
1 
f (x)  x 2 
Agora é só usar a fórmula : 
Portanto, uma das antiderivadas da função 
1 
x 
f (x)  é a função 
F (x)  2 x . Experimente derivar F e você encontrará f. 
Propriedades da integral indefinida 
 
I) Multiplicação por constante 
II) Soma e diferença 
Cap tulo 7 
C lculo I 
= 
=   4  5  C = 
3 4 2 6 
x 2 x6 x3 x 4 
=   2x   C . 
3 4 
5x6 x3 x 4 
6 
2 
ATIVIDADE 23 
 
 
A) Utilizando a fórmula , encontre uma antide- 
rivada para cada função abaixo. Se julgar necessário, modifique a 
forma da função, como feito no exemplo 4. 
1) 
x3 
f (x)  
1 
2) f (x)  3 x 2 
 
3) f (x)  x3 x 2 
 
4) f x x 2  x3  5 
 
B) Determine uma função f que satisfaz a equação f "(x)  x  1 . 
 
C) Calcule as integrais indefinidas: 
 
1) 
 
2) 
 
 
3) 
133 
Integrais 
 
 
Exemplo 5 
 
 
 
Calcule 
 
 
Solução: 
 
 
Utilizando as propriedades da integral indefinida, temos: 
 
 
 
= 
= 
134 
Tecnologia em An lise e Desenvolvimento de Sistemas 
4) 
 
 
5) 
 
 
6) 
Cap tulo 7 
135 
C lculo I 
THOMAS, George B; FINNEY, Ross L.; WEIR, Maurice D.; GIORDA- 
NO, Frank R. Cálculo. São Paulo: Addisson Wesley, 2004. v. 1. 660 p. 
 
 
STEWART, J. Calculus. [s. l.]: Brooks/Cole Publ. Co., 1999.