Provas Cálculo 1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
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Nota
Cálculo I - 1a Avaliação - 15 de julho de 2017
Aluno(a):
Professor(a): Turma:
• NãO é PERMITIDO O USO DE CALCULADORA.
• JUSTIFIQUE TODAS AS SUAS RESPOSTAS.
1. (2 pontos) Mostre que a equação sen(x) = 1− x3 tem pelo menos uma raiz real.
SOLUÇÃO: definindo f (x) = sen(x)+ x3− 1, temos que os zeros de f (x) correspondem
às soluções da equação acima. Por outro lado, f (x) é uma função contínua, pois é a
soma de uma função trigonométrica sen(x) e da polinomial x3 − 1 ambas contínuas em
todo R e como:
• f (0) = sen(0) + 03 − 1 = −1 < 0
• f (pi) = sen(pi) + pi3 − 1 = pi3 − 1 > 0
Do Teorema do Valor Intermediário temos que existe c ∈ (0, 1) tal que f (c) = 0. Ou
seja, sen(c) + c3 − 1 = 0 e portanto, sen(c) = 1− c3 e c é uma solução da equação dada.
2. (2 pontos) Determine, caso existam, as assíntotas do gráfico da função f (x) =
16x− 64
|x− 4| .
SOLUÇÃO: Os possíveis pontos de assíntota vertical são soluções da equação |x− 4| = 0
isto é x0 = 0. Calculando os limites laterais temos:
Para o limite à esquerda, fazendo a mudança de variável x = 4− h2 temos que x → 4−
é equivalente a h→ 0 e evitamos a complicada análise de sinais.
L− = lim
x→4−
f (x)
= lim
h→0
f (4− h2)
= lim
h→0
16(4− h2)− 64
|4− h2 − 4|
= lim
h→0
−16h2
| − h2|
= lim
h→0
−16h2
h2
= lim
h→0
−16
= −16
Para o limite à direita, fazendo a mudança de variável x = 4 + h2 temos que x → 4+ é
equivalente a h→ 0 e novamente evitamos a complicada análise de sinais.
L+ = lim
x→4−
f (x)
= lim
h→0
f (4 + h2)
= lim
h→0
16(4 + h2)− 64
|4 + h2 − 4|
= lim
h→0
16h2
|h2|
= lim
h→0
16h2
h2
= lim
h→0
+16
= +16
Portanto, x = 4 não corresponde a uma assíntota vertical.
Por outro lado, para as assíntotas horizontais temos:
Fazendo x = −z2 temos x → −∞⇔ z→ +∞
H− = lim
x→−∞ f (x)
= lim
z→+∞ f (−z
2)
= lim
z→+∞
−16z2 − 64
| − z2 − 4|
= lim
z→+∞
−16z2 − 64
z2 + 4
= lim
z→+∞
−16− 64
z2
1 +
4
z2
=
−16− 64 lim
z→+∞
1
z2
1 + 4 lim
z→+∞
1
z2
= −16
e
H+ = lim
x→+∞ f (x)
= lim
x→+∞
16x− 64
|z− 4|
= lim
x→+∞
16x− 64
x− 4
= lim
x→+∞
−16− 64
x
1− 4
x
=
16− 64 lim
x→+∞
1
x
1− 4 lim
x→+∞
1
x
= +16
E temos duas assíntotas horizontais lim
x→−∞ f (x) = −16 e limx→+∞ f (x) = +16.
3. (2 pontos) Seja f (x) =
{
x2 + 1 , x ≥ 0
2x+ 1 , x < 0 .
a) (1 ponto) Mostre que f (x) é contínua em x0 = 0.
SOLUÇÃO: Para mostrar que f (x) é contínua em x0 = 0 temos que calcular o limite
à direita, o limite à esquerda e o valor da função em x0 = 0 caso sejam iguais a função
será contínua no citado ponto. A saber:
i. Valor da função em x0 = 0, f (x0) = f (0) = 1
ii. Limite à esquerda:
L− = lim
x→0−
f (x)
= lim
x→0
x<0
(2x+ 1)
= 2 · 0 + 1
= 1
iii. Limite à direita:
L+ = lim
x→0+
f (x)
= lim
x→0
x>0
(x2 + 1)
= 02 + 1
= 1
Como lim
x→0−
f (x) = lim
x→0+
f (x) = f (0) a função é contínua em x0 = 0.
b) Mostre que f (x) não é derivável em x0 = 0.
SOLUÇÃO: Para isto calcularemos a derivada à esquerda e a derivada à direita de
x0 = 0. A saber. Derivada à esquerda:
f ′(0−) def= lim
x→0−
f (x)− f (0)
x− 0
= lim
x→0
x<0
f (x)− f (0)
x− 0
= lim
x→0
x<0
2x+ 1− (2 · 0 + 1)
x− 0
= lim
x→0
x<0
2x
x
= 2
Derivada à direita:
f ′(0+) def= lim
x→0+
f (x)− f (0)
x− 0
= lim
x→0
x>0
f (x)− f (0)
x− 0
= lim
x→0
x>0
x2 + 1− (02 + 1)
x− 0
= lim
x→0
x<0
x2
x
= 0
Como f ′(0−) 6= f ′(0+) a temos que f (x) não é derivável em x0 = 0.
4. (2 pontos) Considere a função f (x) = x3 + 1. Determine, usando a definição a derivada
de f (x).
SOLUÇÃO: Da definição de derivada temos:
f ′(x) def= lim
h→0
f (x+ h)− f (x)
h
= lim
h→0
(x+ h)3 + 1− (x3 + 1)
h
= lim
h→0
(x+ h)3 + 1− x3 − 1
h
= lim
h→0
(x+ h)3 − x3
h
= lim
h→0
x3 + 3x2h+ 3xh2 + h3 − x3
h
= lim
h→0
3x2h+ 3xh2 + h3
h
= lim
h→0
(3x2 + 3xh+ h2)
= 3x2 + 3x · 0 + 02
= 3x2
5. Calcule, caso existam, os seguintes limites:
a) (1 ponto) L = lim
x→2
x2 − 5x+ 6
x2 − x− 2 .
SOLUÇÃO: Com alguma manipulação algébrica temos:
L = lim
x→2
x2 − 5x+ 6
x2 − x− 2
= lim
x→2
(x− 2)(x− 3)
(x− 2)(x+ 1)
= lim
x→2
x− 3
x+ 1
=
2− 3
2 + 1
= −1
3
b) (1 ponto) L = lim
x→1
√
x+ 3− 2
x− 1 .
SOLUÇÃO: Com alguma manipulação algébrica temos:
L = lim
x→1
√
x+ 3− 2
x− 1
√
x+ 3 + 2√
x+ 3 + 2
= lim
x→1
(
√
x+ 3)2 − 22
(x− 1)(√x+ 3 + 2)
= lim
x→1
x+ 3− 4
(x− 1)(√x+ 3 + 2)
= lim
x→1
x− 1
(x− 1)(√x+ 3 + 2)
= lim
x→1
1√
x+ 3 + 2
=
1√
1 + 3 + 2
=
1
4
BOA PROVA!