ep5 metdet ii 2017 2 tutor

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Me´todos Determin´ısticos II
2o Semestre de 2017
Gabarito dos Exerc´ıcios Programados 5
Questa˜o 1: Calcule os seguintes limites:
a) lim
x→+∞x
4 − 3x+ 2 d) lim
x→+∞
5− x
3 + 2x
b) lim
x→+∞
5x3 − 6x+ 1
6x3 + 2
e) lim
x→−∞
x4 − 2x+ 3
3x4 + 7x− 1
c) lim
x→+∞
x+ 1
x2 − 2 f) limx→+∞ cos(x)
Soluc¸a˜o: a) Este limite se trata como todo limite com x→ +∞ em polinoˆmios
lim
x→+∞x
4 − 3x+ 2 = lim
x→+∞x
4(1− 3
x3
+
2
x4
) =
(
lim
x→+∞x
4
)(
lim
x→+∞ 1−
3
x3
+
2
x4
)
= +∞ · 1 = +∞.
b) Como o grau do denominador e´ igual do o grau do numerador ja´ sabemos que o limite e´ finito,
fac¸a enta˜o
lim
x→+∞
5x3 − 6x+ 1
6x3 + 2
= lim
x→+∞
x3
x3
(
5− 6/x2 + 1/x2
6 + 2/x3
)
=
5
6
.
c) Como o grau do denominador e´ menor que o grau do numerador ja´ sabemos que o limite e´ zero,
fac¸amos as contas
lim
x→+∞
x+ 1
x2 − 2 = limx→+∞
x2
x2
(
1/x+ 1/x2
1− 2/x2
)
=
0
1
= 0.
d)
lim
x→+∞
5− x
3 + 2x
= lim
x→+∞
x
x
(
5/x− 1
3/x+ 2
)
=
−1
2
.
e)
lim
x→−∞
x4 − 2x+ 3
3x4 + 7x− 1 = limx→−∞
x4
x4
(
1− 2/x3 + 3/x4
3 + 7/x3 − 1/x4
)
=
1
3
.
f) Todos sabemos que a func¸a˜o cos(x) fica variando entre −1 e 1, quando x → +∞, enta˜o como
argumentar que esta func¸a˜o na˜o tem limite. A ide´ia e´ usar sequeˆncias, mas o que e´ uma sequ¨eˆncia?
Uma sequeˆncia e´ uma func¸a˜o f : N → R, que para cada nu´mero natural n tem imagem f(n) que
chamaremos de an, isto e´, f(n) = an.
Teorema: Seja g : R → R uma func¸a˜o, tal que lim
x→a g(x) = L, enta˜o se an
n→∞−→ a temos que
g(an)
n→∞−→ L.
Enta˜o se quisermos mostrar que o lim
x→ah(x) na˜o existe para uma certa func¸a˜o h(x) basta exibirmos
duas sequeˆncias diferentes (an), (bn) tais que, tanto an
n→∞−→ a e bn n→∞−→ a, mas h(an) n→∞−→ L1, e
h(bn)
n→∞−→ L2, com L1 6= L2.
1
Para a func¸a˜o cos(x) vamos considerar duas sequeˆncias que tendem ao infinito, sejam an =
(
4n−3
2
)
pi
e bn =
(
4n−1
2
)
pi. Agora e´ claro que an
n→∞−→ ∞ assim como bn n→∞−→ ∞, por outro lado
cos(an) = cos
((
4n− 3
2
)
pi
)
= 1, ∀n ∈ N, e cos(bn) = cos
((
4n− 1
2
)
pi
)
= −1, ∀n ∈ N
Portanto, cos(an)
n→∞−→ 1 e cos(bn) n→∞−→ −1 e, da´ı lim
x→+∞ cos(x) na˜o existe.
Questa˜o 2: Calcule tambe´m os seguintes limites
a) lim
x→+∞
[
2x−
√
x2 + 3
]
c) lim
x→+∞
x+
√
x+ 3
2x− 1
b) lim
x→+∞
√
x+ 1
x+ 3
d) lim
x→+∞
√
x+
√
x−√x− 1.
Soluc¸a˜o: a) Este limite e´ um t´ıpico caso de indeterminac¸a˜o do tipo +∞ − (+∞), pois tanto x
como
√
x2 + 3 va˜o para +∞ quando x→ +∞. Para vermos o que acontece multiplique e divida pelo
conjugado de 2x−√x2 + 3,
lim
x→+∞
[
2x−
√
x2 + 3
]
= lim
x→+∞
(
2x−
√
x2 + 3
)(2x+√x2 + 3
2x+
√
x2 + 3
)
= lim
x→+∞
4x2 − (x2 + 3)
2x+
√
x2 + 3
e da´ı
lim
x→+∞
3x2 − 3
2x+
√
x2 + 3
= lim
x→+∞
x2
x2
(
3− 3/x2
2/x+
√
1/x2 + 3/x4
)
= +∞.
b)
lim
x→+∞
√
x+ 1
x+ 3
= lim
x→+∞
x
x
(
1/
√
x+ 1/x
1 + 3/x
)
= 0.
c)
lim
x→+∞
x+
√
x+ 3
2x− 1 = limx→+∞
x
x
(
1 +
√
1/x+ 3/x2
2− 1/x
)
=
1
2
.
d) Vamos comec¸ar por multiplicar e dividir pelo conjugado, observe que para x ≥ 0 ele nunca se
anula.
lim
x→+∞
√
x+
√
x−√x− 1 = lim
x→+∞
(√
x+
√
x−√x− 1
)(√
x+
√
x+
√
x− 1√
x+
√
x+
√
x− 1
)
= lim
x→+∞
x+
√
x− (x− 1)√
x+
√
x+
√
x− 1
= lim
x→+∞
√
x√
x
 1 + 1/√x√
x+
√
x
x +
√
x−1
x

= lim
x→+∞
1 + 1/
√
x√
1 + 1/
√
x+
√
1− 1/x =
1
1 + 1
=
1
2
.
Questa˜o 3: Obtenha as ass´ıntotas horizontais e verticais das seguintes func¸o˜es
2
a) y =
x
x+ 4
c) y =
x3 + 1
x3 + x
b) y =
x
4
√
x4 + 1
d) f(x) =
x− 9√
4x2 + 3x+ 2
.
Soluc¸a˜o: a) Para determinar as ass´ıntotas verticais precisamos saber os poss´ıveis valores que podem
fazer esta func¸a˜o ir para mais ou menos infinito. Claramente so´ precisamos nos preocupar com
x+ 4 = 0, ou x = −4. Precisamos calcular lim
x→−4+
x
x+ 4
e lim
x→−4−
x
x+ 4
, mas
lim
x→−4−
x
x+ 4
= +∞ e lim
x→−4+
x
x+ 4
= −∞.
Vamos agora ver o que acontece com
lim
x→±∞
x
x+ 4
= lim
x→±∞
x
x
(
1
1 + 4/x
)
=
1
1
= 1.
Disto tudo conclu´ımos que y = 1 e´ a u´nica ass´ıntota horizontal de y = xx+4 e x = −4 e´ a u´nica
ass´ıntota vertical desta func¸a˜o.
b) Antes de mais nada veja que x4 + 1 = 0 na˜o tem soluc¸a˜o real. Portanto, esta func¸a˜o na˜o tem
nenhum candidato a ser ass´ıntota vertical. Por outro lado
lim
x→±∞
x
4
√
x4 + 1
= lim
x→±∞
x
x
(
1
4
√
1 + 1/x
)
= 1.
Portanto, esta func¸a˜o so´ admite uma ass´ıntota horizontal y = 1.
c) Precisamos determinar os x tais que x3 + x = 0. Mas veja que x3 + x = x(x2 + 1) = 0 se, e
somente se, x = 0.
lim
x→0−
x3 + 1
x3 + x
= −∞ e lim
x→0+
x3 + 1
x3 + x
= +∞.
lim
x→±∞
x3 + 1
x3 + x
= lim
x→±∞
x3
x3
(
1 + 1/x3
1 + 1/x2
)
= 1.
Portanto a ass´ıntota horizontal e´ y = 1 e a vertical e´ x = 0.
d) Precisamos encontrar as soluc¸o˜es de 4x2 + 3x+ 2 = 0, agora seu discriminante e´ ∆ = 9− 32 =
−23 < 0 e, portanto, a 4x2 + 3x+ 2 = 0 na˜o tem soluc¸a˜o nos reais. Por outro lado,
lim
x→±∞
x− 9√
4x2 + 3x+ 2
= lim
x→±∞
x
x
(
1− 9/x√
4 + 3/x+ 2/x2
)
=
1√
4
=
1
2
.
Portanto, a func¸a˜o f(x) na˜o admite ass´ıntota vertical e admite apenas uma ass´ıntota horizontal que
e´ y = 12 .
Questa˜o 4: Determine o domı´nio das seguintes func¸o˜es:
a) log2(x+ 1) c) ln(x
2 − 1)
b) ln x+1x−1 d) log3(|x|).
Soluc¸a˜o: a) temos que x+ 1 > 0⇔ x > −1, enta˜o basta supor que x > −1.
b)
x+ 1
x− 1 > 0⇔
{
x+ 1 e x− 1 > 0 ou
x+ 1 e x− 1 < 0
Portanto, x > 1 ou x < −1.
3
c) Precisamos que x2 − 1 > 0 ⇔ (x − 1)(x + 1) > 0, enta˜o basta que x < −1 e x > 1, podemos
expressar esta informac¸a˜o de uma forma mais reduzida da seguinte forma: |x| > 1.
d) Basta que |x| > 0, dizendo de outra forma, a func¸a˜o log3(|x|) esta definida para todo x ∈ R exceto
para x = 0.
Questa˜o 5: Calcule os seguintes limites:
a) lim
x→+∞ log3 x d) limx→0+
log 1
3
x
b) lim
x→+∞ [ln(2x+ 1)− ln(x+ 3)] e) limx→1 ln
x2 − 1
x− 1
c) lim
x→+∞
x3 + x2 − 2x+ 4
x2 + 3x+ 1
f) lim
x→−∞
3x2 + 2x+ 4
2x2 + x+ 3
.
Soluc¸a˜o: a) Como comentamos sabemos que lim
x→+∞ log3 x = +∞ assim como no item d) o limx→0+ log 13 x =
+∞.
b) Observe que
lim
x→+∞ [ln(2x+ 1)− ln(x+ 3)] = limx→+∞ ln
2x+ 1
x+ 3
= lim
x→+∞ ln
x
x
(
2 + 1/x
1 + 3/x
)
= ln
2
1
= ln 2.
c)
lim
x→+∞
x3 + x2 − 2x+ 4
x2 + 3x+ 1
= lim
x→+∞
x2
x2
(
x+ 1− 2/x+ 4/x2
1 + 3/x+ 1/x2
)
= +∞.
e) Ja´ o limite
lim
x→1
ln
x2 − 1
x− 1 = limx→1 ln
(x− 1)(x+ 1)
x− 1 = limx→1 lnx+ 1 = ln 2.
f) E o limite
lim
x→−∞
3x2 + 2x+ 4
2x2 + x+ 3
= lim
x→−∞
x2
x2
(
3 + 2/x+ 4/x2
2 + 1/x+ 3/x2
)
=
3
2
.
Questa˜o 6: Admita que voceˆ sabe que lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)x
= e. Enta˜o mostre as igualdades abaixo:
a) lim
x→−∞
(
1 +
1
x
)x
= e c) lim
x→0−
(1 + x)
1
x = e
b) lim
x→0+
(1 + x)
1
x = e d) lim
x→0
ex − 1
x
= 1.
Soluc¸a˜o: a) Vamos fazer a seguinte mudanc¸a de varia´vel, x = −(t+ 1), t > 0 e temos enta˜o(
1 +
1
x
)x
=
(
1− 1
t+ 1
)−(t+1)
=
((
t+ 1− 1
t+ 1
)−1)t+1
=
(
1 +
1
t
)t t+ 1
t
.
Como t→ +∞ quando x→ −∞ segue que
lim
x→−∞
(
1 +
1x
)x
= lim
t→+∞
(
1 +
1
t
)t t+ 1
t
= e · 1 = e.
b) Fazendo x = 1h temos que x→ 0+ ⇒ h→ +∞ e da´ı
lim
x→0+
(1 + x)
1
x = lim
h→+∞
(
1 +
1
h
)h
= e.
c) Semelhante ao item b)
4
d) Seja h = ex − 1 ou x = ln(h+ 1) e como
ex − 1
x
=
h
ln(h+ 1)
=
1
1
h
1
lnh+ 1
=
1
ln
(
(h+ 1)1/h
)
e x→ 0 temos h→ 0 e enta˜o
lim
x→0
ex − 1
x
= lim
h→0
1
ln
(
(h+ 1)1/h
) = 1
ln(e)
= 1.
Questa˜o 7: O custo me´dio por disco em reais que uma determinada empresa tem ao fabricar x CDs
de a´udio e´ dado pela func¸a˜o custo me´dio
C(x) = 0, 8 +
3000
x
Calcule lim
x→+∞C(x) e interprete o resultado obtido.
Soluc¸a˜o: Sabemos que lim
x→+∞C(x) = limx→+∞ 0, 8 +
3000
x
= 0, 8. Portanto, o custo de produc¸a˜o de
um CD tende a estabilizar em 80 centavos para grandes quantidades de CD’s produzidos.
5