ep8 metdet ii 2017 2 tutor

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Me´todos Determin´ısticos II
2o Semestre de 2017
Gabarito - Exerc´ıcios Programados 7
Questa˜o 1: Seja f(x) = x
2−3x+2
x−1 . Enta˜o f(x) e´ cont´ınua em x = 1? Justifique a sua resposta.
Soluc¸a˜o: f na˜o e´ cont´ınua, uma vez que f(1) na˜o esta definido, pois se calcularmos f(1) obtemos
uma indeterminac¸a˜o do tipo 10 . Pore´m, como o
lim
x→1
x2 − 3x+ 2
x− 1 = limx→1
(x− 1)(x− 2)
x− 1 = −11.
Segue que podemos tornar esta func¸a˜o cont´ınua basta definirmos f(1) = −1.
Questa˜o 2: Determine L para que a func¸a˜o dada seja continua no ponto mencionado. Justifique.
a) f(x) =
{
x3−8
x−2 se x 6= 2
L se x = 2
, em p = 2.
b) g(x) =
{ √
x−√3
x−3 se x 6= 3
L se x = 3
, em p = 3.
c) h(x) =
{ √
x−√5√
x+5−√10 se x 6= 5
L se x = 5
, em p = 5.
Soluc¸a˜o: Em todos os casos precisamos que os limites laterais existam e coincidam com o valor de f
no ponto em questa˜o. Enta˜o em todos basta calcular o limite quando x→ p.
a) lim
x→2
x3 − 8
x− 2 = limx→2
(x− 2)(x2 + 2x+ 4)
x− 2 = 12. Enta˜o para tornar f cont´ınua basta que L = 12;
b) lim
x→3
√
x−√3
x− 3 = limx→3
√
x−√3
x− 3
(√
x+
√
3√
x+
√
3
)
= lim
x→3
1√
x+
√
3
=
1
2
√
3
. Portanto, basta tomar
L = 1
2
√
3
para torna a func¸a˜o cont´ınua.
b)
lim
x→5
h(x) = lim
x→5
√
x−√5√
x+ 5−√10
(√
x+
√
5√
x+
√
5
)(√
x+ 5 +
√
10√
x+ 5 +
√
10
)
= lim
x→5
x− 5
x− 5
(√
x+ 5 +
√
10√
x+
√
5
)
=
2
√
10
2
√
5
=
√
2.
E, portanto, basta tomar L =
√
2.
Questa˜o 3: Para quais valores da constante c a func¸a˜o h(x) =
{
cx+ 1 se x ≤ 1
cx2 − 1 se x > 1 e´ cont´ınua
para todo nu´mero real.
1
Soluc¸a˜o: O u´nico lugar que pode haver um problema e´ no ponto x = 1, pois nos outros pontos, a
func¸a˜o e´ sempre um polinoˆmio que e´ sempre cont´ınua. Vamos analisar os limites laterais,
lim
x→1−
h(x) = lim
x→1−
cx+ 1 = c+ 1 e lim
x→1+
h(x) = lim
x→1+
cx2 − 1 = c− 1.
igualando os dois valores chegamos em c+1 = c−1⇒ 1 = −1 o que nos da´ um absurdo. Portanto, na˜o
existe nenhum valor para c real que torne esta func¸a˜o cont´ınua para todos os valores. Infelizmente errei
na hora de digitar o que eu queria digitar era, a seguinte func¸a˜o: h1(x) =
{
cx− 1 se x ≤ 1
cx2 − 1 se x > 1 A
qual no´s da´ um resultado surpreendente!
Questa˜o 4: Para cada uma das func¸o˜es a seguir, determine os intervalos nos quais f e´ cont´ınua
a) f(x) =
{
2x− 3 se x ≤ 1
x2 se x > 1.
b) g(x) =

1 + x2 se x ≤ 0
2− x se 0 < x ≤ 2
(x− 2)2 se x > 2
.
Soluc¸a˜o: Vamos calcular o limites laterais para os valores que as func¸o˜es poderiam ter problemas.
a)
lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
2x− 3 = −1 e lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
x2 = 1.
Logo f na˜o e´ cont´ınua em x = 1. Portanto, os pontos onde f e´ cont´ınua sa˜o todo x ∈ R− {1}.
b)
lim
x→0−
g(x) = lim
x→0−
1 + x2 = 1 e lim
x→0+
g(x) = lim
x→0+
2− x = 2
e
lim
x→2−
g(x) = lim
x→2−
2− x = 0 e lim
x→2+
g(x) = lim
x→2+
(x− 2)2 = 0.
Portanto, g e´ cont´ınua em todo o ponto exceto x = 0.
2