Aula 02 Cálculo Vetorial 2011.2

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Aula 02 1
Integral Dupla
Seja uma função a duas variáveis dada pelo gráfico e R 
uma região do plano xy. 
y)f(x,z =
Vamos determinar o volume do 
sólido limitado superiormente 
pelo gráfico de f e pela região R 
fechada e limitada. 
Aula 02 2
Inicialmente, vamos fazer um cálculo aproximado deste volume. 
Para tanto, dividiremos a região R em retângulos e só consideraremos 
os retângulos completamente contidos em R
Aula 02 3
Para cada retângulo Rkvamos considerar qualquer ponto interno. 
Adotaremos neste caso o ponto médio ),( kk yx
kkk y.∆x∆A ∆=
área de variação∆A
y de variaçãoy
 xde variação∆x
k
k
k
−
−
−
∆
Aula 02 4
O volume do sólido será aproximado pelo somatório dos volumes de 
todos os prismas tendo como base um retângulo Rk e altura 
∑∑
==
∆∆=∆≅
n
k
kkkk
n
k
kkk yxyxfAyxfV
11
),(),(
),( kk yxf
Soma de Riemann 
Aula 02 5
Para diminuirmos o erro de aproximação devemos, aumentar a 
quantidade de retângulos. 
∑∑
=
+∞→
=
+∞→
∆∆=∆=
n
k
kkkk
n
k
kkk yxyxfAyxfV
1n1n
),(lim),(lim
O volume do sólido é o somatório quando n tende para infinito, desde 
que exista.
O limite, desde que exista, é denominado integral dupla de f sobre a 
região R.
R é denominada de região de integração.
Notação: ∫∫ ∫∫=
R R
dxdyyxfdAyxf ),(),(
Aula 02 6
Propriedades. 
∫∫ ∫∫=
R R
dAyxfkdAyxfka ),(),(.)
∫∫ ∫∫∫∫ ±=±
R RR
dAyxgdAyxfdAyxgyxfb ),(),()],(),([)
∫∫ ∫∫∫∫ +=
R RR
dAyxfdAyxfdAyxf
21
),(),(),(
c)Se região R é composta de duas sub-regiões R1 e R2que não têm 
pontos em comum, exceto possivelmente os pontos de suas 
fronteiras, então
Aula 02 7
Cálculo das integrais duplas. 
yxyxfa 2=),()
Exemplo. Calcule 
Onde, R é o retângulo definido por
∫∫
R
dxdyyxf ),(
10 e 31 ≤≤≤≤ yx
Aula 02 8
( )∫∫ +
R
dxdyyxb 2) Onde, R é o retângulo definido por
10 e 20 ≤≤≤≤ yx
Aula 02 9
∫∫
R
dxdyxc 2)
Aula 02 10
∫∫
R
xydxdyd )
Aula 02 11
∫∫
R
dxdyxe 2)
Aula 02 12
∫∫
R
xydxdyf ) Onde, R é a região limitada por
2
 e xyxy ==
Aula 02 13
Mudança de variáveis em integrais duplas 
∫ dxxx )cos(
2
Em funções de uma variável, muitas vezes fazemos uma mudança de 
variável.
Aula 02 14
As funções determinam uma mudança 
de variáveis ou mudança de coordenadas.
),(),( vuyyvuxx == e 
Aula 02 15
Considerando que as funções são 
contínuas, com derivadas contínuas nas regiões de integração, temos 
que.
),(),( vuyyvuxx == e 
∫∫∫∫ ∂
∂
=
* ),(
),(
)),(),,((),(
RR
dudv
vu
yx
vuyvuxfdxdyyxf
Aula 02 16
v
y
u
y
v
x
u
x
vu
yx
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
),(
),(
Onde é o determinante Jacobiano de x e y em 
relação a u e v.
),(
),(
vu
yx
∂
∂
Aula 02 17
Coordenadas Polares



=
=
)(
)cos(
θ
θ
rseny
rx
 
Mudança de coordenadas considerando as equações
r=
∂
∂
)(r,
y)(x,
 
θ
Aula 02 18
Exemplo. Calcule onde R é a região abaixo.∫∫ +
R
dxdyyx 22
Aula 02 19
Exemplo. Calcule onde R é a região indicada.∫∫
R
dxdyyxf ),(
)(),()
22 yxeyxfa +=
Aula 02 20
xyxfb =),()