31° Arquivo ComprimentoCurvas

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Comprimento de Curvas Planas 
 Arquimedes 
 Usou perímetros de polígonos inscritos a um círculo de forma 
 a aproximar o seu comprimento. 
 Seja C uma curva definida parametricamente por: 
 
 
 
 
 
 
 Comprimento de uma curva definida parametricamente 
bta
tgy
tfx






)(
)(
 Funções f e g apresentam derivadas contínuas 
 em [a, b] que não são simultaneamente nulas 
1 
Luciany Lopes
Realce
Comprimento de Curvas Planas 
 Curva C 
 Subdivide-se esta trajetória em n pedaços nos pontos: 
 
 A = P0, P1, P2 ..., Pn = B 
 
 que correspondem a uma partição do intervalo [a, b] composta pelos pontos: 
 
 a = t0 < t1 < t2 ...< tn = b 
 
 
 
 
 Exemplo: Suponha que a curva C seja a 
 trajetória de uma partícula que parte do 
 ponto A (f (a), g(a)), no instante t = a e 
 segue até o ponto B (f (b), g(b)). 
 Funções f e g – funções continuamente deriváveis. 
 
 Curva definida pelas funções – curva lisa. 
onde Pk = ( f (tk), g (tk) ) 
2 
Comprimento de Curvas Planas 
 Pontos Sucessivos 
 Se tk é pequeno, o comprimento Lk é aprox. igual ao do arco Pk-1 Pk 
 
 De acordo com o TVM, existem números em [ tk-1 , tk ] tais que: 
 
 
 
 
 
 
 Comprimento de um segmento de 
 reta representativo: 
   
2
1
2
1
22
)]()([)]()([  

kkkkk
kkk
tgtgtftfL
yxL
*** e kk tt








kkkkk
kkkkk
ttgtgtgy
ttftftfx
)()()(
)()()(
**
1
*
1
3 
Comprimento de Curvas Planas 
 Embora esta última soma não seja exatamente uma Soma de Riemann 
 
 ( são calculados em pontos diferentes), um teorema do Cálculo 
 
 Avançado garante que seu limite quando || P || 0 será a integral definida 
 
 dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
gf  e
 Pressupondo que a trajetória de A até B seja feita uma única vez, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
    k
n
k
kk
n
k
kk
n
k
k ttgtfyxL  
 1
2**2*
1
22
1
])([])([
dttgtfttgtf
b
a
k
n
k
kk
n
 


22
1
2**2* ])([])([])([])([lim
4 
Comprimento de Curvas Planas 
gf e
 Definição: Comprimento de uma Curva Paramétrica 
 
 Se uma curva C é definida parametricamente por x = f (t) e y = g(t), 
 
 a  t  b, onde são contínuas e não simultaneamente nulas em 
 
 [a, b] e C é percorrida exatamente uma vez, quando t avança de t = a 
 
 para t = b, então o comprimento de C é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
dttgtfL
b
a
 
22 ])([])([
 
OBS: Se x = f (t) e y = g (t), usando a Notação de Leibnitz, o comprimento 
 de arco é dado por: 
dt
dt
dy
dt
dx
L
b
a
 












22
5 
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Comprimento de Curvas Planas 
 Exemplo: Determine o comprimento do círculo de raio r definido 
 parametricamente por: 
Sol: Quando t varia de 0 a 2, o círculo é atravessado exatamente uma vez. 
 
 
 
 
 
20
)(sen
)cos(






t
try
trx
)(ce)(sencom
2
0
22
tosr
dt
dy
tr
dt
dx
dt
dt
dy
dt
dx
L 











 

2222
22
)](c)(sen[ rtostr
dt
dy
dt
dx












Como: 
tem-se que: 
rtrdtrL 

2
2
0
2
0
 
6 
 Exercício: Determine o comprimento das curvas parametrizadas: 
Comprimento de Curvas Planas - Exercícios 
Resp: L = 12 
 tttytx 0senecos
a. 
 
 
b. 
40
3
)12(
e
2
2/32


 t
t
y
t
x
Resp: L = 4 
7 
Comprimento de Curvas Planas 
 Comprimento de uma função y = f(x) 
 
 Dada uma função continuamente derivável y = f (x) com a  x  b, pode- 
 se considerar x = t como um parâmetro. O gráfico da função f será a 
 curva definida parametricamente por: 
 
 x = t; y = f (t) com a ≤ t ≤ b 
 
 que é um caso especial do que foi apresentado anteriormente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
)(e1 tf
dt
dy
dt
dx

.)(tf
dtdx
dtdy
dx
dy

Assim: 
 
2
2
2
22
)]([11)]([1 xf
dx
dy
tf
dt
dy
dt
dx


















Sabe-se ainda que: 
 
8 
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Comprimento de Curvas Planas 
 Definição: Comprimento de uma curva y = f (x) 
 
 Se f for uma função continuamente derivável no intervalo [a, b], então 
 
 o comprimento da curva y = f (x) de x = a até x = b será dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 






b
a
b
a
dxxfdx
dx
dy
L 2'
2
)]([11
 Exemplo: Determine o comprimento da curva abaixo de x = 0 a x = 3: 
2/32 )2(
3
1
 xy
 
b
a
b
a
b
a
dxxdxxxdxxxL 2/1222/12422 ])1[()21()2(1
Sol: 
2/122/12 )2()2()2(
2
3
3
1
 xxxx
dx
dy
123
3
27
3
)1(
3
0
3
2 








  Lx
x
dxxL
b
a
9 
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Comprimento de Curvas Planas - Exercícios 
Exercício: Determine o comprimento das curvas abaixo: 
 
Resp: L = 32/3 
 
a. 
 
 
 
b. 
91
3
2/1
2/3
 xx
x
y
441sec
0
4    xdtty
x
Resp: L = 2 
10 
Comprimento de Curvas Planas 
 Problemas com descontinuidades 
 
 Pode haver um ponto na curva onde dy/dx não exista, mas dx/dy exista. Neste caso, 
 
 o comprimento da curva pode ser obtido expressando x = g (y) e aplicando a 
 
 expressão a seguir 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 






d
c
d
c
dyygdy
dy
dx
L 2'
2
)]([11
• Fórmula para o comprimento de x = g (y) com c  y  d 
 
 Se g for continuamente derivável em [c, d], o comprimento da curva x = g (y) , 
 
 de y = c a y = d será: 
 
 
 
 
 
 
11 
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Comprimento de Curvas Planas 
 Exemplo: Determine o comprimento da curva abaixo de x = 0 a x = 2: 
    
1
0
1
0
2/1
1
0
22/1 )91(9131 dxydyydyyL
3/2
2







x
y
 Sol: 
3/13/1
2
3
1
2
1
23
2














x
x
dx
dy
Não é definida 
em x = 0. Assim: 
2/32/33/2 2
22
yx
x
y
x
y 






Derivando: 2/12/1 32
2
3
y
dy
dx
y
dy
dx







Novos limites de integração: 





12Para
00Para
yx
yx
A derivada dx/dy é 
contínua em [0,1] 





dydu
yu
9
:)91(Fazendo





101Para
10Para
uy
uy
12 
Comprimento de Curvas Planas 
 Finalmente: 
)110(
27
2
3
2
9
1
9
)91( 2/3
10
1
2/3
1
0
10
1
2/12/1    u
du
udyyL
)11010(
272
L
 Fórmula Diferencial Reduzida 
 
 A equação do comprimento de curva: 
 
 é muitas vezes escrita em termos de diferenciais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
dt
dt
dy
dt
dx
L
b
a
 












22
Pode-se dizer que: 
Analogamente: 
2
2
2
2
)(.)(. dxdt
dt
dx
dt
dt
dx












2
2
2
2
)(.)(. dydt
dt
dy
dt
dt
dy












 
22 )()( dydxL
13 
Comprimento de Curvas Planas 
 Para o cálculo da expressão: 
 Uma aproximação simplificada 
 da figura anterior é: 
 
22 )()( dydxL
 deve-se expressar dx e dy em termos de uma única variável e inserir os 
 limites adequados. 
(*) 
 Uma boa forma de se memorizar a equação (*) é escrever: 
22 )()( dydxds 
onde ds é a diferencial do comprimento de 
arco que pode ser integrado entre limites 
apropriados para obter o comprimento total 
de uma curva. 
 
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Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Comprimento de Curvas Planas 
 Assim: 
OBS: Um procedimento análogo é feito para o caso de termos x = g(y). 
 dsarcodeoCompriment
Se escrevemos e temos a curva y = f (x), a equação (*) pode ser 
reescrita como: 
dx
dx
dy
dx
dx
dy
dxdydxds
2
2
2
222 1)()()()( 












 dsL
Obtida 
anteriormente. 
15