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ELETRICIDADE BÁSICA CAP 01 CIRCUITOS EM CORRENTE CONTÍNUA CAP 02 CORRENTE ALTERNADA EM REGIME SENOIDAL PERMANENTE FEI 2S_2014 Sobre o Autor Prof. Dr. Devair Aparecido Arrabaça. Formação Acadêmica: Graduado pela Faculdade de Engenharia Industrial (FEI) com o título de: “Engenheiro Eletricista Modalidade Eletrônica” Concluído em 1976. Mestre em Engenharia Elétrica pela Faculdade de Engenharia Industrial, Título da Dissertação: “Aplicação dos Diagramas de Fasores no Estudo de Retificadores Industriais”, concluído em 1995. Doutor em Engenharia Elétrica na área de Sistemas de Potência, pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo (EPUSP), Título da Tese: “Formulação Matemática da característica CC de Retificadores Trifásicos de Múltiplos Pulsos”, concluído em 2004. Coautor dos livros: Conversores de Energia Elétrica CC/CC para Aplicações em Eletrônica de Potência. e Conversores de Energia Elétrica CA/CC Teoria, Prática e Simulação. Coordenador do Curso de Eletricidade Básica na FEI FEI_2S_201 4 1 FEI_2S_201 4 2 Sumário CAPÍTULO 01 – Circuitos em Corrente contínua 04 1. – Teoria de Circuitos Elétricos em Corrente Contínua. 04 1-1. Postulados, Convenções e Definições Básicas. 04 Bipolo Elétrico, Circuito Elétrico 04 Ramo, Nó, Laço, Malha, Gerador Ideal de Tensão Elétrica 05 Corrente Elétrica 06 Característica Elétrica de Bipolos, Potência Elétrica 07 Convenção Elétrica de Gerador 07 Convenção Elétrica de Receptor 08 Associação de Bipolos Elétricos 08 Associação Série de Bipolos Elétricos 09 Associação Paralela de Bipolos Elétricos 08 Balanço Geral das Potências Elétricas 08 1-2. Análise de Circuitos Elétricos e as Leis de Kirchhoff. 09 1º. Lei de Kirchhoff 10 2º. Lei de Kirchhoff 11 Característica Elétrica do Resistor 12 Característica Elétrica da Fonte Real de Tensão Contínua 12 1-3. Análise de Kirchhoff e Maxwell para Circuitos Elétricos. 17 Análise de Kirchhoff 17 Análise de Maxwell ou Análise de Malhas 19 Circuitos com Duas Malhas 20 Circuitos com três Malhas 22 1-4. Solução de Circuitos com Uma, Duas e Três Malhas. 23 Circuitos com Uma Malha 26 Circuitos com Duas Malhas 32 Circuitos com Três Malhas 35 1-5. Exercícios Propostos. 40 1-6. Desafios. 46 FEI_2S_201 4 3 CAPÍTULO 02 – Circuitos Monofásicos em Corrente Alternada 51 2. –Circuitos Elétricos em Corrente Alternada Senoidal. 51 2-1. Característica Elétrica do Bipolo Ativo ou Fonte. 51 2-2. Característica Elétrica dos Bipolos Passivos ou Receptores. 53 2-2.1 Característica Elétrica do Resistor em CA–Regime Senoidal. 54 2-2.2 Característica Elétrica do Indutor Ideal em CA–Regime Senoidal. 56 2-2.3 Característica Elétrica do Capacitor Ideal em CA–Regime Senoidal. 58 2-3. Circuito R,L,C Série em Corrente Alternada Senoidal. 60 2-4. Circuito R,L,C Paralelo Corrente Alternada Senoidal. 64 2-5. Fator de Potência em Regime Senoidal Monofásico. 67 2-5.1 Cálculo do Capacitor para Correção do Fator De Potência. 69 2-6. Solução de Exercícios com Uma ou Duas Malhas. 73 2-7. Exercícios Propostos. 83 2-8 Desafios. 89 ANEXO A 94 ANEXO B 100 FEI_2S_201 4 4 CAPÍTULO 01 Circuitos em Corrente Contínua Neste capítulo será estudado o comportamento dos circuitos elétricos com cargas puramente resistivas alimentadas por um ou mais geradores elétricos de tensão contínua. Serão introduzidos conceitos sobre: corrente elétrica, tensão elétrica, potência elétrica, característica de bipolos elétricos, as leis de Kirchhoff e análise de malhas. Para fixar os conceitos introduzidos serão apresentados exercícios resolvidos e exercícios propostos com respostas. Nesta obra não há a preocupação de apresentar informações detalhadas sobre a origem e o comportamento das grandezas elétricas envolvidas, a preocupação maior é a de ensinar o leitor a construir e resolver um sistema linear de equações, a partir do circuito elétrico fornecido, tendo como base os postulados, as convenções e as leis fundamentais da eletricidade. Espera-se que, após estudar a teoria apresentada e resolver os exercícios propostos nesse capítulo, o leitor tenha adquirido condições de analisar e dimensionar a maioria dos circuitos elétricos contendo resistores e fontes de tensão contínua. 1. – TEORIA DE CIRCUITOS ELÉTRICOS EM CORRENTE CONTÍNUA 1-1. POSTULADOS, CONVENÇÕES E DEFINIÇÕES BÁSICAS. Por questão de simplicidade de comunicação e de evitar redundâncias nos textos, ao citar os termos referentes à eletricidade, tais como; circuito(s) elétrico(s), bipolo(s) elétrico(s), corrente(s) elétrica(s), tens(ões) elétrica(s), gerador(es) elétrico(s), receptor(es) elétrico(s), potência(s) elétrica(s),....serão, dentro do possível, subtraídas as palavras elétrico(s) ou elétrica(s). Bipolo Elétrico: Qualquer componente elétrico com apenas dois terminais de acesso é denominado de bipolo elétrico. O bipolo é classificado como ativo quando ele gera potência (fontes ou geradores) e como passivo quando ele absorve potência (cargas ou receptores). Circuito Elétrico: Um circuito elétrico é formado pela associação de bipolos elétricos. No exemplo apresentado na figura 1.1 o circuito é formado pela associação de quatro bipolos, dos quais “B1” é um bipolo ativo (gerador ou fonte) e “B2”, “B3” e “B4” são bipolos passivos (receptores ou cargas). FEI_2S_201 4 5 FIG. - 1.1 Exemplo de Circuito Elétrico Ramo: Cada bipolo é considerado um ramo do circuito. O circuito desenhado na figura 1.1 possui quatro bipolos elétricos. Nó: O encontro de dois ou mais bipolos definem um nó no circuito. Para efeito de equacionamento das correntes no circuito, serão considerados apenas os nós devido ao encontro de três ou mais bipolos no circuito, o nó devido ao encontro de, apenas, dois bipolos é considerado degenerado, ou seja, nele a corrente que entra é a mesma que sai, não havendo necessidade de equacioná-lo. No circuito desenhado na figura 1.1 há três nós, o nó “1”, degenerado, e os nós “2” e “3”. Laço: Qualquer caminho fechado percorrido no circuito define um laço. O circuito elétrico desenhado na figura 1.1 possui três laços: “B1, B2 e B3”, “B3 e B4” e “B1, B2 e B4”. Malha: Qualquer laço que não possui bipolos elétricos no seu interior é definido como malha. No circuito elétrico desenhado na figura 1.1 existem apenas duas malhas: “B1, B2 e B3” e “B3 e B4”, observem que o caminho formado pelos bipolos “B1, B2 e B4” é laço porem não é malha, pois o bipolo elétrico “B3” está inserido no seu interior. Gerador Ideal de Tensão Elétrica: É um bipolo que mantém a tensão nos seus terminais qualquer que seja a corrente solicitada, os exemplos mais comuns são: a bateria elétrica do carro e as pilhas alcalinas. Na figura 1.1 o bipolo elétrico “B1” simboliza um gerador ideal de tensão. A tensão elétrica também é denominada de diferença de potencial elétrico “ddp”, sendo representadano circuito por uma flecha cuja seta sempre indica o potencial elétrico positivo do bipolo. A unidade básica da tensão elétrica é o Volt (V) e os seus derivados mais comuns estão indicados na tabela 1.1. FEI_2S_201 4 6 Tabela 1.1 Derivado MV kV mV V Valor V610 V310 V310 V 610 Nasceu na cidade de Como na Itália, estudou em colégio Jesuíta e em 1800 construiu um aparelho com discos alternados de prata e zinco, separado por discos de cartão embebidos em uma solução salina, empilhados uns sobre os outros, que ficou conhecido como a Pilha de Volta. A unidade de medida de tensão, Volt, no Sistema Internacional, leva o seu nome. Corrente Elétrica: é um movimento ordenado de cargas elétricas no interior de um condutor elétrico, provocado pela presença de uma diferença de potencial elétrico criada por um gerador de tensão elétrica e aplicada nos seus terminais. O sentido convencional da corrente elétrica em um circuito é sempre indo do potencial elétrico de tensão mais positivo em direção ao potencial elétrico de tensão mais negativo (movimento de cargas positivas). A unidade básica da corrente elétrica é o Ampère (A) e os seus derivados mais comuns estão indicados na tabela 1.2. Tabela 1.2 Derivado MA kA mA A Valor A610 A310 A310 A 610 Nascido em Lyon, dentre outros feitos pesquisou o magnetismo provocado por uma corrente elétrica dando origem a toda a teoria da eletrodinâmica. Foi professor de física, química e matemática em Paris, por volta de 1820 em Paris. Em sua homenagem, a unidade de medida de corrente elétrica, Ampere, no Sistema Internacional, leva o seu nome. FEI_2S_201 4 7 Característica Elétrica de Bipolos: Qualquer bipolo elétrico é caracterizado por uma função característica do tipo “V = f(I)”, onde a variável “V” é a tensão elétrica e a variável “I” é a corrente elétrica, aplicadas nos seus terminais. Por este motivo, analisar um circuito elétrico corresponde a determinar a tensão e a corrente elétrica em cada bipolo, ou ramo, deste circuito. Por exemplo, analisar o circuito elétrico desenhado na figura 1.1, corresponde a encontrar os valores das correntes “I1”, “I2”, “I3” e “I4” e das tensões “V1”, “V2”, “V3” e “V4”. Potência Elétrica: Em qualquer bipolo elétrico o produto da tensão pela corrente elétrica nos seus terminais define a sua potência elétrica "IVP" , que é fornecida (gerada) ou recebida (dissipada ou útil) pelo bipolo. Essa potência será sempre fornecida se o bipolo for um gerador ou uma fonte e recebida, dissipada ou útil se o bipolo for um receptor ou carga elétrica. A unidade básica da potência é o Watts (W) e os seus derivados mais comuns estão indicados na tabela 1.3. Tabela 1.3 Derivado MW kW mW W Valor W610 W310 W310 W 610 Nascido em Greenock Escócia, aperfeiçoou a máquina a vapor e definiu a grandeza horse power (HP) que equivaleria aproximadamente a capacidade de elevar a um metro de altura uma massa de cerca de 76 kg em um segundo, observando a capacidade com que um cavalo levantava peso. Em sua homenagem, a unidade de medida de potência, Watt, no Sistema Internacional, leva o seu nome. Convenção elétrica de Gerador: O bipolo será considerado um gerador elétrico se a corrente entrar pelo seu terminal de potencial elétrico negativo, (Corrente e tensão elétrica representadas com setas no mesmo sentido). Investigando o circuito elétrico desenhado na figura 1.1, se conclui que apenas o bipolo elétrico “B1” é um gerador ou fonte, pois nele as setas FEI_2S_201 4 8 representativas da corrente e da tensão são concordantes em sentido. Portanto, ao analisar um circuito elétrico e concluir que as setas que representam a tensão e a corrente elétrica em um determinado bipolo deste circuito são concordantes, este bipolo é caracterizado como um gerador elétrico e o valor desta potência gerada é igual ao produto da tensão pela corrente elétrica neste bipolo. Convenção elétrica de Receptor: O bipolo será receptor se a corrente entrar pelo seu terminal de potencial positivo, (Corrente e tensão representadas com setas discordantes em sentidos). Investigando o circuito elétrico desenhado na figura 1.1, se conclui que os bipolos “B2”, “B3” e “B4” são receptores ou cargas, pois neles as setas representativas das correntes e das tensões são discordantes em sentido. Portanto, ao analisar um circuito e concluir que as setas que representam a tensão e a corrente em um bipolo são discordantes, este bipolo é caracterizado como um receptor e o valor da potência recebida (dissipada ou utilizada) é igual ao produto da tensão pela corrente deste bipolo. Associação de Bipolos Elétricos: Um circuito elétrico é formado por bipolos associados em série, em paralelo ou associação mista. Associação Série de Bipolos Elétricos: Dois ou mais bipolos estão associados em série quando forem atravessados pela mesma corrente elétrica. Na associação série a tensão total aplicada na associação dos bipolos é dividida entre os bipolos, por isso esta associação é denominada de divisor de tensão. Analisando o circuito elétrico desenhado na figura 1.1, os bipolos B1 e B2 estão associados em série, pois são atravessados pela mesma corrente elétrica, “I1 = I2”. Associação Paralela de Bipolos Elétricos: Dois ou mais bipolos estão associados em paralelo quando estão submetidos à mesma tensão. Na associação paralela a corrente total que entra ou sai da associação se divide pelos bipolos, por isso esta associação é denominada de divisor de corrente. Analisando o circuito elétrico desenhado na figura 1.1, os bipolos “B3” e “B4” estão associados em paralelo, pois estão submetidos à mesma tensão, “V3 = V4”. Balanço Geral das Potências Elétricas: A potência total gerada (fornecida) é sempre igual à potência total recebida (dissipada ou útil) no FEI_2S_201 4 9 circuito, ou seja: uma vez analisado e selecionado quais são os bipolos geradores e quais são os bipolos receptores em um determinado circuito, o balanço das potências deve ser verificado. 1-2. ANÁLISE DE CIRCUITOS ELÉTRICOS E AS LEIS DE KIRCHHOFF. Nascido em Königsberg, Alemanha, formado em física, teve participação fundamental no entendimento e análise de circuitos elétricos, na teoria da ciência de espectroscopia e no desenvolvimento do estudo da emissão da radiação do corpo negro para aquecimento de objetos. Com base na teoria da conservação das cargas elétricas e da energia, em 1845 enunciou as duas leis básicas da eletricidade. Dimensionar um circuito elétrico corresponde a determinar o valor da potência em cada bipolo elétrico deste circuito e então selecionar, junto aos fabricantes, os bipolos de forma que suportem, com segurança, estes valores encontrados para as potências. No final da análise do circuito sempre é possível fazer o balanço das potências, isto é, verificar que o valor da potência total fornecida é igual ao valor da potência total recebida. Um circuito elétrico pode ser analisado praticamente em laboratório, através do uso dos instrumentos de medidas, ou então teoricamente através do seu equacionamento matemático fundamentado nas leis e postulados da eletricidade; em ambos os casos é preciso determinar o valor da tensão e o valor da corrente em cada bipolo, para finalmente determinar as potências envolvidas. No caso do estudo prático (laboratório), o circuito elétrico já está pronto com os seus bipolos interligados,então a análise é feita utilizando-se instrumentos de medidas adequados, que no caso se restringe ao uso do instrumento denominado de Multímetro, que permite realizar vários tipos de medidas elétricas, dentre elas podem-se ressaltar as seguintes: a) Medida de Tensão contínua: Nesta condição o Multímetro é denominado de Voltímetro e deve ser inserido em paralelo com o bipolo no qual se FEI_2S_201 4 10 deseja determinar a tensão aplicada. Na maioria das aplicações ele pode ser considerado ideal, ou seja, é um bipolo que não dissipa potência do circuito. (Se trata de um instrumento com resistência elétrica interna muito grande e, consequentemente, com corrente desprezível). b) Medida de Corrente Contínua: Nesta condição o Multímetro é denominado de Amperímetro e deve ser inserido em série com o bipolo no qual se deseja determinar a corrente. Na maioria das aplicações ele é considerado ideal, ou seja, é um bipolo que não dissipa potência no circuito. (Se trata de um instrumento com resistência elétrica interna muito pequena e, consequentemente, com tensão desprezível). No caso do estudo teórico, realiza-se o estudo aplicando-se os conceitos básicos das duas leis de Kirchhoff e da característica elétrica “V=f(I)” de bipolos, obtendo-se um sistema de equações que, uma vez resolvido, permite obter os valores da tensão e da corrente em cada bipolo do circuito e, então efetuar o balanço das potências dimensionando corretamente este circuito. É possível fazer a seguinte afirmativa: Aplicando-se as duas leis de Kirchhoff e conhecendo-se a característica elétrica dos bipolos que constituem o circuito, é possível analisar e dimensionar qualitativamente qualquer circuito elétrico, motivo pelo qual se apresenta o estudo a seguir. 1o. Lei de Kirchhoff: Em qualquer nó (encontro de três ou mais bipolos) do circuito a soma algébrica das correntes é sempre igual à zero. Para aplicar essa lei e obter as equações das correntes no circuito, adota-se um sentido arbitrário para representar a corrente em cada bipolo e considera- se que: a soma das correntes que entram em um nó é igual à soma das correntes que saem desse nó. De acordo com essa orientação, os nós (2 e 3) do circuito ilustrado na figura 1.1 fornecem as seguintes equações: Nó “2” -> I1= I2+I3 (01) Nó “3” -> I2+I3= I1 (02) Como é fácil de perceber a equação do nó “3” é a mesma que a equação do nó “2” e não precisa ser considerada, pois não trás informação nova para o sistema de equações. Desta observação conclui-se que: “Em um circuito com “n” nós, não degenerados, apenas “n-1” equações de “nós” interessam para o sistema final de equações.” O nó não considerado no equacionamento é adotado como nó de referência e a ele é atribuído o potencial zero ou terra. Como no FEI_2S_201 4 11 circuito da figura 1.1 existem dois “nós”, apenas uma única equação de nó é relevante para o sistema final de equações, que é a equação (01) ou a equação (02). 2o. Lei de Kirchhoff: Em qualquer laço (caminho fechado) do circuito a soma algébrica das tensões pertencentes a esse laço é sempre igual à zero. Existem alguns métodos para se aplicar corretamente essa lei e obter o sistema final de equações das tensões do circuito. Nessa obra será considerado o seguinte método: 1º. Caso não sejam fornecidos os sentidos para representação das correntes e tensões no circuito, adotar arbitrariamente estes sentidos. 2º. Seleciona-se um determinado laço, percorre-se esse laço no sentido horário somando-se algebricamente as tensões pelo caminho, atribuindo sinal positivo para as tensões cujas setas representativas discordam do sentido de percurso e sinal negativo para aquelas que concordam com o sentido de percurso. De acordo com essa orientação, os laços (L1, L2 e L3) do circuito ilustrado na figura 1.1 fornecem as seguintes equações: Laço=Malha (B1,B2 e B3) -> - V1 + V2 + V3 = 0 (03) Laço (B1, B2 e B4) -> - V1 + V2 + V4 = 0 (04) Laço=Malha (B3 e B4) -> - V3 + V4 = 0 (05) Analisando este sistema de equações se observa que a equação obtida no laço (B1, B2 e B4) é combinação linear das equações obtidas nos outros dois laços, ou seja, somando-se as equações obtidas nos laços (B1, B2 e B3) e (B3 e B4) obtém-se a equação do laço (B1, B2 e B4). Então se pode generalizar e afirmar que: “Em um circuito elétrico as equações de tensões que interessam para o sistema final são aquelas obtidas pela aplicação da 2º. lei de Kirchhoff aplicada apenas às malhas do circuito”. Por exemplo, no circuito ilustrado na figura 1.1 existem duas malhas e, portanto há duas e apenas duas equações de tensões que interessam para o sistema final de equações, que são as equações (03) e (05). Obs: Os circuitos, aqui considerados, serão constituídos por fontes reais de tensão contínua e por resistores elétricos associados em série, paralelo ou misto. Para representar as correntes e as tensões nesses circuitos, basta lembrar que nas fontes a corrente e a tensão concordam em sentidos e nos resistores a corrente e a tensão discordam em sentidos. FEI_2S_201 4 12 Característica Elétrica do Resistor: O resistor é sempre um bipolo elétrico receptor ou passivo, cuja equação característica V = f(I) é definida pela lei de Ohm, que estabelece a seguinte relação: IRV . Físico alemão nascido em Erlangen. No ano de 1827 publicou o seguinte enunciado: "A intensidade da corrente elétrica que percorre um condutor é diretamente proporcional à diferença de potencial e inversamente proporcional à resistência do circuito". Até hoje conhecido como a Lei de Ohm. Em sua homenagem a unidade de resistência elétrica, Ohm, do Sistema Internacional, tem seu nome. A tabela abaixo apresenta de forma resumida, as principais considerações atribuídas ao bipolo resistor elétrico: Bipolo Receptor Característica Potência Recebida Símbolo Resistência Unidade (Ohm - ) IRV 2 2 I R V IV P R Característica Elétrica da Fonte Real de Tensão Contínua: A fonte real de tensão contínua é um bipolo ativo que corresponde à associação série (mesma corrente) de uma fonte ideal de tensão com um resistor (perdas), conforme ilustra o desenho da figura 1.2, a tensão gerada “E” é denominada de “Força Eletromotriz” e a sua unidade é o Volts (V). FIG. - 1.2 – Fonte Real de Tensão Contínua A partir da segunda lei de Kirchhoff e da característica elétrica de bipolos, pode-se escrever as seguintes equações: VrEV (06) IrVr (07) FEI_2S_201 4 13 Combinando as equações (06) e (07), obtêm-se a equação característica elétrica da fonte real de tensão contínua, estabelecida equação (08) a seguir: IrEV (08) A equação (08) permite estabelecer as seguintes conclusões: a) Em uma fonte real de tensão, a tensão fornecida ou útil “E” é igual à tensão gerada “V” menos a tensão perdida internamente “Vr”. b) Multiplicando-se a equação (08) pela corrente “I” que atravessa a fonte, obtêm-se as expressões que representam as potências em fonte real de tensão, conforme ilustra a tabela 1.4. Tabela 1.4 Equação das Potências 2IrIEIV Potências envolvidas PdPgPu Potência útil IVPu Potência gerada IEPg Potência dissipada internamente IVrIrPd 2 A seguir são apresentados dois exemplos a título de fixação dos conceitos apresentados. 1º. Dado o circuito elétrico desenhado na figura1.3a, onde a tensão gerada pela fonte é igual a 60 Volts, responda as seguintes perguntas: a) Indicar no circuito os sentidos reais da corrente e das tensões. b) Qual o valor da potência dissipada no resistor de 10. c) Qual o valor da potência total gerada. FIG. - 1.3 a) Circuito fornecido. b) Circuito com indicações das correntes e das tensões. FEI_2S_201 4 14 Como no circuito da figura 1.3a há somente uma fonte e lembrando que na fonte a corrente e a tensão possuem mesmo sentido, é fácil verificar que o “real” sentido da corrente no circuito é o horário e como os resistores são sempre receptores, o sentido das tensões sobre eles é o oposto ao da corrente, resultando as representações indicadas no circuito desenhado na figura 1.3b. Para determinar os valores das correntes e das tensões aplicam-se as leis de Kirchhoff e a característica elétrica de bipolos, obtendo-se equações a seguir: Como há somente um laço no circuito, adotando-se o sentido horário de percurso obtém-se a seguinte equação das tensões: 0E4V3V2V1V (09) Como a tensão da fonte é igual a “60 Volts”, a equação característica de cada resistor é igual a “V=R.I” e que a corrente “I” é única no circuito, pode-se escrever a seguinte equação: 060I5I10I5I5 (10) Dando como resultado o valor para a corrente: 2,4A I (11) Como o sentido da corrente “I” foi “adotado corretamente” o resultado encontrado para a corrente foi positivo “+2,4A”, caso contrário esse resultado seria negativo, indicando que o sentido que foi “adotado” é contrário ao sentido real da corrente no circuito. Portanto, neste caso, a corrente percorre o circuito no sentido horário com módulo de valor igual a 4A. Em seguida se calcula a queda de tensão sobre cada bipolo do circuito, conforme a indicação feita no circuito desenhado na figura 1.4, obtendo-se as respostas procuradas. a) Indicação e valores das correntes e tensões no circuito. FIG. - 1.4 Circuito desenhado com as indicações dos sentidos e valores das tensões e das correntes. FEI_2S_201 4 15 b) Potência dissipada no resistor de 10 . I3VP10 4,224P10 W6,57P10 (11) c) Potência total gerada: 4,260PTg W144PTg (12) Observações: Como a potência total gerada ou fornecida (bipolos geradores ou fontes) é sempre igual à potência total recebida (bipolos receptores) é prudente verificar se o balanço confere: I4VI3VI2VI1VPTr 4,2124,2244,2124,212PTr W144PTr . (balanço de potências conferido) (13) Como os resistores são percorridos pela mesma corrente estão associados em série e podem ser substituídos por um único resistor igual à soma desses resistores, ou seja: 2551055 . Generalizando, pode-se afirmar que na associação série o resistor equivalente é igual à soma dos resistores individuais, ou que: sérieeq RR . No circuito existem 5 bipolos: 1 gerador e 4 receptores, sendo que a potência fornecida pelo gerador é, proporcionalmente, recebida, dissipada ou utilizada pelos resistores. 2º. Dado o circuito elétrico desenhado na figura 1.5a, onde as forças eletromotrizes são, respectivamente, iguais a 60V e 85V, responda as seguintes perguntas: a) Indicar no circuito os sentidos reais da corrente e das tensões. b) Qual o valor da e a natureza da potência no bipolo E1. c) Qual o valor da potência total gerada. FIG. - 1.5 a) Circuito Fornecido. b) Circuito com indicação dos sentidos adotados para a corrente e as tensões. FEI_2S_201 4 16 No circuito da figura 1.5a os resistores são bipolos receptores, porem os bipolos E1 e E2 podem funcionar como receptor ou gerador, então adotando “E1” como bipolo gerador a corrente pelo circuito terá sentido horário e consequentemente as tensões nos resistores terão sentidos opostos ao da corrente, como ilustra o circuito desenhado na figura 1.5b. Os sentidos das tensões nos supostos geradores (E1 e E2) sempre indicam o potencial positivo, independente do sentido da corrente no bipolo. De acordo com o circuito da figura 1.5b pode-se obter as seguintes equações: Laço=Malha: 01E2E4V3V2V1V (14) Característica: 02085I5I10I5I5 Solução: 25I25 Portanto: A0,1I (15) Como resultou um valor negativo para a corrente, o sentido “real” é o sentido oposto ao adotado, ou seja, sentido anti-horário e com o módulo de valor igual a “1A”. Conhecendo-se o valor e o sentido da corrente é possível obter as respostas procuradas: a) Indicação e valores das correntes e tensões no circuito. Resulta o circuito desenhado na figura 1.6, onde estão representados os valores e os sentidos das tensões e da corrente em cada bipolo. FIG. - 1.6 Circuito elétrico com as indicações dos sentidos e dos valores das tensões e da corrente. b) Potência dissipada no resistor de 10 . I3VP10 110P10 W10P10 (16) c) Potência total gerada: 185PTg W85PTg (17) FEI_2S_201 4 17 OBS: No circuito apenas o bipolo E2 é gerador, a princípio se imagina que há dois geradores, porem a corrente calculada entra pelo terminal positivo de “E1” caracterizando-o como receptor. Esta situação é possível quando se está energizando (carregando) a bateria do carro. Como a potência total gerada é sempre igual à potência total recebida é prudente verificar se o balanço confere: I1EI4VI3VI2VI1VPTr 160151101515PTr W85PTr . (balanço de potências conferido) (18) No circuito existem 6 bipolos elétricos: 1 gerador e 5 receptores, sendo que a potência total fornecida é igual a 85W dos quais, 25W são dissipados nos resistores e 60W são recebidos pelo bipolo E1. 1-3. ANÁLISES DE KIRCHHOFF E MAXWELL PARA CIRCUITOS ELÉTRICOS. a) ANÁLISE DE KIRCCHHOFF Em geral os circuitos elétricos podem ser analisados aplicando-se as duas leis básicas de Kirchhoff e o conceito de característica de bipolos. Assim sendo, considere o circuito desenhado na figura 1.7, onde uma fonte de tensão contínua fornece 110V a quatro resistores, 10kΩ, 2kΩ, 1kΩ e 1kΩ, de carga. FIG. - 1.7 Circuito com 5 bipolos. O sistema de equações que permite analisar este circuito pode ser obtido da seguinte maneira: 1º. Acrescentar os sentidos das correntes e das tensões em cada bipolo obedecendo as convenções de gerador e receptor, obtendo o circuito desenhado na figura 1.8. FEI_2S_201 4 18 FIG. - 1.8 Circuito com as indicações das correntes e das tensões. 2º. Aplicar as duas leis de Kirchhoff e obter o sistema de equações das correntes e das tensões do circuito, de acordo com o seguinte procedimento: - Selecione no circuito os nós não de referência, neste caso apenas o nó ”B”, e aplique a 1º. Lei de Kirchhoff obtendo a equação (19). Nó B: IcIbIa IcIaIb (19) - Selecione no circuito as malhas, neste caso as malhas “ABEF” e “BCDE” e aplique a 2º. Lei de Kirchhoff obtendo as equações (20) e (21). Malha ABEF: 2V1V110 1102V1V (20) Malha BCDE: 4V3V2V 02V4V3V (21) 3º. Utilize a equação característica “ IRV ” aplicada a cada resistor do circuito, obtendo as equações (22), (23), (24) e (25). Iak101V (22) Ibk22V (23) Ick13V (24) Ick14V (25)Substitua as equações características nas respectivas equações de malhas, obtendo as equações (26) e (27). 110Ibk2Iak10 (26) 0Ibk2Ick1Ick1 (27) 4º. Resolva o sistema final de equações, formado pelas equações (19), (26) e (27), que permite calcular as correntes do circuito e consequentemente dimensioná-lo. A seguir é feito os calculados dessas correntes. Substitua a equação (19) nas equações (26) e (27) e realize o tratamento matemático até obter o sistema matricial de equações (28). FEI_2S_201 4 19 110)IcIa(k2Iak10 0)IcIa(k2Ick1Ick1 0Ick4Iak2 110Ick2Iak12 Organizando esse sistema de equações em forma de matriz, resulta o seguinte sistema matricial de equações: 0 110 Ic Ia k4k2 k2k12 (28) A solução do sistema fornece os seguintes valores: mA 5Ic e mA 10Ia , que substituídos na equação (19) fornece o valor: mA 5Ib . Como todos os valores encontrados para as correntes são positivos, todas elas foram “chutadas” no sentido correto, então se calcula as potências em cada bipolo e em seguida se faz o balanço das potências. Resultam os seguintes valores: Potência total gerada 3 TG 1010110P mW 1100PTG Potência total dissipada 2222TR Ick1Ick1Ibk2Iak10P 233233233233TR 105101051010510210101010P mW 1100PTR (Balanço conferido). b) ANÁLISE DE MAXWELL OU ANÁLISE DE MALHAS Nascido em Edimburgo, Escócia, foi o físico que mais contribuiu para a física matemática, explicando os fenômenos físicos da época através de equações. Entre os anos de 1860 e 1865 elaborou a teoria do eletromagnetismo, ainda hoje ensinada como foi desenvolvida a mais de um século atrás. No estudo da eletricidade elaborou a análise de circuitos elétricos através das “Equações de Maxwell”. FEI_2S_201 4 20 O método enunciado por Maxwell é uma simplificação das leis de Kirchhoff, cujo procedimento é o de se fixar para cada uma das “m” malhas isoladas do circuito “m” correntes fictícias, todas circulando no mesmo sentido (será considerado o sentido horário) e em seguida montar um sistema matricial com “m” equações e “m” incógnitas, que resolvido permite determinar os valores e os sentidos corretos dessas correntes fictícias. Uma vez conhecido os valores das correntes fictícias das “m” malhas, por analogia é possível determinar o valor de cada corrente de ramo e então dimensionar os bipolos que constituem o circuito. Para mostrar praticidade da aplicação desse método serão considerados circuitos com duas ou três malhas e em seguida determinado os valores das correntes dos ramos destes circuitos a partir de um enunciado, passo a passo, para aplicação do método. Com isto espera-se que o leitor consiga estender o método para a solução de circuito com “m” malhas. Circuitos com duas malhas. Considere o circuito desenhado na figura 1.7, antes resolvido pela aplicação das Leis de Kirchhoff, a solução por Maxwell é assim obtida: 1º. Identificar todas as Malhas do circuito. (Malha “ ” e Malha “ ”) 2º. Adotar obrigatoriamente todas as correntes fictícias de malhas no sentido horário (correntes “ ” e “ ”). Resultando o circuito desenhado na figura 1.9. FIG. - 1.9 Circuito com as indicações das correntes de malhas. 3º. Obter um sistema matricial de duas equações a duas incógnitas com o formato indicado na equação (29): E E RR RR (29) FEI_2S_201 4 21 Onde os elementos em cada matriz são assim obtidos: “ R ” é um elemento sempre positivo e igual à soma dos resistores que pertencem a malha “ ”. No caso: R = 10k + 2k = 12k “ R ” é um elemento sempre positivo e igual à soma dos resistores que pertencem a malha " ". No caso: R = 1k + 1k + 2k = 4k “ R R ” são elementos sempre iguais entre si e negativos, com valor igual ao da resistência comum às malhas " ” e “ ". No caso: R R = 2K “ E ” é um elemento sempre igual à soma algébrica das forças eletromotrizes das fontes de tensões que pertencem à malha “ ”, sendo positivo se a corrente da malha sair pelo polo positivo da fonte e negativo caso contrário. No caso: E = + 110. “ E ” é um elemento sempre igual à soma algébrica das forças eletromotrizes das fontes de tensões que pertencem à malha " ", sendo positivo se a corrente da malha " " sair pelo polo positivo da fonte e negativo caso contrário. No caso: E = 0, pois não há gerador na malha " ". Resulta então o seguinte sistema matricial de equações apresentado em (30), que é o mesmo sistema obtido em (28), sem passar pelas equações de Kirchhoff. 0 110 Ic Ia K4K2 K2K12 (30) A solução do sistema fornece os módulos (valores) e os sentidos (sinais) das correntes fictícias de malha, ou seja: mA 10 e mA 5 , como os sinais são positivos os sentidos adotados estão corretos, caso contrário se inverteria o sentido. As correntes de ramos (Ia, Ib e Ic) são iguais à soma algébrica das correntes fictícias de malhas ( e ), obtendo as seguintes relações: IIa pois o ramo “a” pertence apenas à malha “ ” e o seu sentido no ramo coincide com o sentido na malha, obtendo: mA 10Ia FEI_2S_201 4 22 IIc pois o ramo “c” pertence apenas à malha “ ”e o seu sentido no ramo coincide com o sentido na malha, obtendo: mA 5Ic IIIb pois o ramo “b” pertence simultaneamente às malhas “ ” e “ ”, sendo que o sentido da corrente no ramo “b” concorda (sinal +) com o sentido da corrente da malha “ ” e discorda (sinal -) do sentido da corrente de malha “ ”, obtendo: mA 5Ib . Circuitos com três malhas. Dado um circuito elétrico qualquer contendo fontes de tensão contínua e resistores formando três malhas " e ," , pode-se, pela aplicação da análise de Maxwell, obter diretamente o sistema matricial de equações que permite determinar os valores das correntes dos ramos, seguindo os seguintes passos: 1° - Adotam-se as correntes fictícias “ e , ” nas respectivas malhas, todas orientadas no sentido horário. 2° - Montar diretamente do circuito um sistema matricial de equações 3X3 conforme indicação a seguir: E E E RRR RRR RRR Os elementos da matriz (3X3) de resistores e do vetor (3X1) das fontes são assim obtidos: “ R ” é um elemento sempre positivo e igual à soma dos resistores que pertencem a malha “ ”. “ R ” é um elemento sempre positivo e igual à soma dos resistores que pertencem a malha " ". “ R ”é um elemento sempre positivo e igual à soma dos resistores que pertencem a malha " " “ R R ” são elementos sempre negativos e iguais entre si eà resistência comum às malhas " ” e “ ". “ R R ” são elementos sempre negativos e iguais entre si e à resistência comum às malhas " ” e “ ". FEI_2S_201 4 23 “ R R ” são elementos sempre negativos e iguais entre si e à resistência comum às malhas " ” e “ ". “ E ” é um elemento sempre igual à soma algébrica das forças eletromotrizes das fontes de tensões que pertencem à malha “ ”, sendo positivo se a corrente fictícia da malha " " sair pelo polo positivo da fonte e negativo caso contrário. “ E ” é um elemento sempre igual à soma algébrica das forças eletromotrizes das fontes de tensões que pertencem à malha " ", sendo positivo se a corrente da malha " " sair pelo polo positivo da fonte e negativo caso contrário. “ E ” é um elemento sempre igual à soma algébrica das forças eletromotrizes das fontes de tensões que pertencem à malha “ ”, sendo positivo se a corrente fictícia da malha “ ” sair pelo polo positivo da fonte e negativo caso contrário. Exemplos de aplicação: a) Dado o circuito desenhado na figura 1.10 determine as correntes fictícias das malhas e desenhe o circuito com os sentidos e valores corretos das correntes dos ramos. FIG. - 1.10 Circuito com três malhas. 1628 288 820 )6104( 4 0 4 )442( 2 0 2 )28( 44 20 12 2040 4102 0210 Cuja solução fornece os seguintes valores fictícios: 2 e 1- 1, a partir dos quais se determinam as correntes de ramos, ou seja: FEI_2S_201 4 24 1A Ia Ia 2A Ib (-1)-1 Ib - Ib 1A- Ic Ic 2A Id Id 3A- Ie 2-(-1) Ie - Ie As correntes com resultados positivos foram “adotadas” no sentido correto e as correntes com resultados negativos foram “adotadas” no sentido inverso e, portanto o sentido correto é o oposto do sentido “adotado”. Desta forma, obtém-se o circuito da figura 1.11 com as indicações corretas das correntes dos ramos. Observe que o bipolo de “8V” funciona como receptor, pois a corrente entra pelo seu terminal de potencial positivo. FIG. - 1.11 Circuito com as indicações corretas das correntes nos ramos. b) Dado o circuito desenhado na figura 1.12 determine as correntes fictícias das malhas e desenhe o circuito com os sentidos e valores corretos das correntes dos ramos. FIG. - 1.12 Circuito com três malhas. FEI_2S_201 4 25 40 4020 2520 )1010( 0 10 0 )15105( 5 10 5 )1055( 40 20 45 20010 0305 10520 Cuja solução fornece os seguintes valores fictícios: 1 e 1- 2,- a partir dos quais se determinam as correntes de ramos, ou seja: A2Ia(-2)- Ia Ia (sentido correto) 1A- Ib (-1)-2- Ib - Ib (sentido invertido) 1A- Ic Ic (sentido invertido) 1A- Id Id (sentido invertido) 2A Ie(-1)-1 Ie - Ie (sentido correto) 3A If (-2)-1 If - If (sentido correto) Então resulta o circuito desenhado na figura 1.13 com as indicações corretas das correntes dos ramos. FIG. - 1.13 Circuito com as indicações corretas das correntes nos ramos. OBS: Verifique o balanço das potências. FEI_2S_201 4 26 1-4. SOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS COM UMA, DUAS E TRÊS MALHAS. A) Circuitos com uma malha. A–01 Dado o circuito elétrico desenhado na figura 1.14a, pede-se responder as seguintes perguntas: a) Desenhar o circuito com as indicações corretas dos sentidos e valores das correntes e tensões. b) Calcule o valor da potência dissipada no resistor de 10. c) Calcule o valor da potência total gerada. Solução: FIG. - 1.14 a) Circuito elétrico b) Indicação do sentido adotado para a corrente. Como há somente uma malha, obtém-se apenas uma equação matricial, ou seja: 40601015 4 A4II (sentido correto) a) Indicação e valores da corrente e das tensões no circuito. FIG. - 1.15 Circuito com as indicações de corrente e tensões. FEI_2S_201 4 27 b) Potência dissipada no resistor de 10 . IVP10 440P10 W160P10 c) Potência total gerada 440460PTg W400PTg OBS: Verifique o balanço das potências. A–02 Dado o circuito elétrico desenhado na figura 1.16a, sabe-se que o resistor de 15 dissipa 240W, pede-se determinar: a) O valor da força eletromotriz “E”. b) O valor da tensão ABV entre os pontos A e B. c) O valor da tensão CAV entre os pontos C e A. d) O valor da potência total recebida. FIG. - 1.16 a) Circuito elétrico b) Indicação do sentido adotado para a corrente. Solução: Equação obtida a partir da malha “ ” E608215 (31) Equação obtida a partir da potência 2R IRP 215240 (32) Combinando as equações (31) e (32) obtém-se as respostas indicadas em (33): 4 ou 4 (33) É necessário verificar se as duas respostas são possíveis: Para 4 E6048215 E=40V (resposta válida) Para 4 E6048215 E=-160V como “E” deve assumir um valor positivo, esta resposta deve ser descartada. Portanto as respostas procuradas estão calculadas a seguir: FEI_2S_201 4 28 a) Cálculo do valor da tensão BAAB VVV entre os pontos A e B. Separando o circuito em duas partes, conforme figura acima, e adotando o sentido horário para percurso do laço, obtêm-se os seguintes resultados: Circuito 1 06048415VAB V32VAB Circuito 2 0V4042 AB V32VAB Os resultados são iguais, mostrando que uma vez dividido o circuito em partes, no caso duas, o resultado independe da parte selecionada para análise, bastando equacionar uma delas para obter a resposta procurada. Escolher para análise a parte mais simples, que neste caso é o circuito 2. b) O valor da tensão ACCA VVV entre os pontos C e A. Adotando o sentido horário para analisar a parte selecionada, obtém-se o seguinte resultado: 041560VCA V0VCA OBS: Verifique que o resultado se mantém caso se faça a análise utilizando a outra parte do circuito. c) O valor da potência total dissipada. Os resistores são os bipolos receptores, portanto a potência total dissipada é obtida pela seguinte equação: 2Td 42815P W400PTd . A–03 No circuito desenhado na figura 1.17a o resistor de 10 dissipada 160W. Pede-se determinara polaridade e o valor da força eletromotriz “E” do bipolo ativo ideal ligado entre os pontos “A e B”. Sinalize a corrente e as tensões nos possíveis circuitos que satisfazem essa condição. FEI_2S_201 4 29 FIG. - 1.17 a) Circuito elétrico b) Indicação do sentido adotado para a corrente. Solução: Equação obtida a partir da malha “ ”: E40 1087 Equação obtida a partir da potência: 210 10P 210160 4 Para 4 E40 41087 E=+60V Para 4 E40 41087 E=-140V Resultam então os circuitos desenhados na figura 1.18 que satisfazem a condição imposta pelo exercício. Estão indicadas em cada circuito os valores e sentidos da corrente e tensões. FIG. - 1.18 Circuitos que satisfazem a condição do exercício A-03. Obs: Como a força eletromotriz “E” sempre é um valor positivo a polaridade o bipolo ativo ideal do circuito “B” possui polaridade invertida em relação ao do circuito “A”. Confira o balanço das potências. FEI_2S_201 4 30 A–04 Considere o circuito desenhado na figura 1.19 e calcule o valor do resistor “R” para que o mesmo dissipe 240W. FIG. - 1.19 a) Circuito elétrico b) Indicação do sentido adotado para a corrente. Solução: Equação obtida a partir da malha “ ”: 16060 64R (34) Equação obtida a partir da potência dissipada em “R”: 2R RP 2R240 R 240 2 (35) A equação (34) pode ser assim reescrita: 222 )100(10R (36) Combinando as equações (35) e (36) obtém-se os seguintes resultados apresentados em (37). 10000 R 240 10R 2 R1000024000R4800R240 2 024000R5200R240 2 0300R65R3 2 6 300346565 R 2 6 2565 R 15R ou 3 20 R (37) Como os resultados são positivos, ambos atendem a exigência do exercício. OBS: Verifique que substituindo “R” pelos valores encontrados a potência nele dissipada é igual a 240W. Confira o balanço das potências. FEI_2S_201 4 31 A–05 Considere o circuito desenhado na figura 1.19a, estudado no exercício anterior, e determine o valor da potência que o resistor “R” deve dissipar para que se tenha um valor único para “R”. Solução: Equação obtida a partir da malha “ ”: 16060 64R 10010R (38) Equação obtida a partir da potência dissipada em “R”: 2R RP 2 RPR (39) Substituindo a equação (39) na equação (38) obtém-se equação (40) a seguir: 10010 P 2 R 100 10P 2 2 R 100 10P 2 R 0P10010 R 2 0P1,010 R 2 6 P1,041010 R 2 (41) Então, para que a resposta da equação (41) seja única o seu discriminante “ ” deve ser nulo, obtendo-se o resultado apresentado na equação (42): 0P1,0410 R 2 100P4.0 R .W250PR (42) OBS: Como exercício, desenhe o circuito correspondente e indique o valor da corrente e das tensões nos bipolos. Verifique o balanço das potências. FEI_2S_201 4 32 B) Circuitos com duas malhas. B–01 Considere o circuito desenhado na figura 1.20a e responda as perguntas: a) Desenhe o circuito com os valores e as indicações das correntes e tensões em cada bipolo. b) O valor da potência dissipada no resistor de 10 . c) O valor da potência total gerada. FIG. - 1.20 a) Circuito elétrico b) Indicação do sentido adotado para a corrente. Solução: Equações das malhas: 4060 4060 200 025 A solução do sistema fornece os valores das correntes fictícias: 4 e 5 Obtendo-se os seguintes valores para as correntes de ramos: 1I A41I (sentido real concorda com o sentido adotado) 2I A52I (sentido real discorda do sentido adotado) 3I A93I (sentido real concorda com o sentido adotado) a) O circuito desenhado na figura 1.21 mostra a indicação das correntes e tensões reais nos bipolos: FIG. - 1.21 a) Circuito com as indicações das correntes e tensões. FEI_2S_201 4 33 b) Potência dissipada no resistor de 10. 210 1IRP 210 410P W160P10 c) Cálculo do valor da potência total gerada. Há três geradores no circuito, portanto a potência total gerada é obtida somando-se a potência em cada um deles: 560940460PTg W900PTg OBS: Verifique o balanço das potências. B–02 Determine o valor da resistência “R” indicada no circuito desenhado na figura 1.22a, para que a tensão sobre ela seja igual a 25V. Desenhe o circuito resultante com as indicações das correntes nos ramos. FIG. - 1.22 a) Circuito elétrico b) Indicação do sentido adotado para a corrente. Há dois casos a serem considerados: Chamando de “A” e “B” os terminais do resistor “R” a tensão sobre ele poderá ser: a) V25VAB b) V25VBA Equações das malhas: 4060 405010 15R(0 0 25 (43) 10015R (44) FEI_2S_201 4 34 Para a condição em que “ V25VAB ” obtém-se a equação: RVAB R25 R 25 (45) Combinando as equações (44) e (45) obtém-se o resultado apresentado na equação (46) a seguir: 100 R 25 15R R100375R25 3 R (46) Esta condição é impossível do ponto de vista de circuitos, pois não existe resistor com valor negativo. Para a condição em que “ V25VBA ” obtém-se a equação: RVAB R25 R 25 (47) Combinando as equações (44) e (47) obtém-se o resultado apresentado na equação (48) a seguir: 100 R 25 15R R100375R25 5 R (48) Portanto o único valor que satisfaz as condições impostas pelo enunciado do exercício é 5R . Resolvendo o sistema de equações apresentado em (43) obtém-se os valores: "4 " e "5 " . Obtendo-se os seguintes valores para as correntes de ramos: 1I A51I (sentido real discorda do sentido adotado) 2I A92I (sentido real concorda com o sentido adotado) 3I A43I (sentido real concorda com o sentido adotado) FIG. - 1.23 Circuito elétrico com as indicações das correntes. OBS: Como exercício, verifique o balanço das potências e determine a tensão CAV entre os pontos “C e A” do circuito. FEI_2S_201 4 35 C) Circuitos com três malhas. Charles Wheatstone (1802-1875) Físico e inventor inglês nascido em Gloucester. Foi um autodidata no campo da ciência, inventor do estereoscópio, do pêndulo eletromagnético, do telégrafo automático. A significante contribuição para o mundo da ciência da eletricidade foi imortalizar a “Ponte de Wheatstone”, circuito elétricoidealizado por Samuel Hunter Christie em 1833. Para exemplificar circuitos com três malhas foi, propositalmente, escolhido o circuito da “Ponte de Wheatstone”, cujo arranjo possui várias aplicações em eletricidade e dentre elas se destaca o uso para a leitura de valores de resistores elétricos. O circuito, apresentado na figura 1.24, é composto por uma fonte de tensão “E”, um galvanômetro “G” e um arranjo formado por quatro resistores, dos quais dois resistores “ 1R ” e “ 2R ” com valores fixos e conhecidos, um resistor “ 3R ” com valor ajustável e conhecido (década de resistores) e um resistor “ xR ” com valor desconhecido. FIG. - 1.24 – Circuito da Ponte de Wheatstone Para determinar o valor do resistor “ xR ” ajusta-se o valor do resistor “ 3R ” para que a corrente elétrica no galvanômetro “G” seja nula, condição em que a ponte está em equilíbrio, então analisando o circuito nestas condições determina-se a equação que fornece o valor do resistor “ xR ” em função dos demais resistores, conforme procedimento a seguir: FEI_2S_201 4 36 Se a ponte está em equilíbrio a indicação do galvanômetro e a diferença de potencial entre os pontos “B” e “D” é zero ou curto-circuito, então o circuito equivalente é o desenhado na figura 1.25. FIG. - 1.25 – Circuito equivalente da Ponte de Wheatstone em equilíbrio Soma das tensões no sentido horário do caminho ABD: 0VV ABAD ADAB VV (49) Soma das tensões no sentido horário do caminho BCD: 0VV BCDC DCBC VV (50) Dividindo a equação (49) pela equação (50) se obtém a equação (51). DC AD BC AB V V V V 2 2 1 1 IRx I2R I3R I1R 3R 1R 2R Rx (51) Portanto, com a ponte em equilíbrio, independentemente dos valores de “E”, “r” e “ gr ”, conhecendo-se os valores dos resistores “ 1R ”, “ 2R ” e “ 3R ” determina-se o valor do resistor “ xR ”. C-01 Determine o valor do resistor variável “ R ” no circuito da figura 1.26 para que a diferença de potencial entre os pontos “A” e “B” seja: a) Nula. b) 12V. FIG. - 1.26 FEI_2S_201 4 37 a) Para V0VAB a ponte está em equilíbrio, então a equação (51) fornece o valor do resistor “R”, ou seja: 5 5 2 R portanto 2R b) Para V12VAB a ponte não está equilibrada e o circuito equivalente é o da figura 1.27 com três malhas. FIG. - 1.27 Solução: 0 0 100 )R55( 5 5 5 )552( 2 5 2 )52( 100527 (52) 05122 (53) 0R1055 (54) A4,2 5 12 5 V I ABAB 4,2 4,2 (55) Substituindo a equação (55) na equação (52) e multiplicando o resultado por 2, obtém-se a equação (56) 10054,2227 4,1901414 (56) Substituindo a equação (55) na equação (53) e multiplicando o resultado por 7, obtém-se a equação (57) 054,212122 6,2014914 (57) FEI_2S_201 4 38 Somando-se as equações (56) e (57) obtém-se o valor da corrente "" . 6,2016,201)1449( A2,11 Substituindo o valor de "" na equação (55) obtém-se o valor de "" . 4,22,11 A8,8 Substituindo os valores de "" e "" na equação (53) obtém-se o valor de "" . 02,1158,8122 A8,24 A equação (54) fornece o valor do resistor “R”. 02,11R2,11108,858,245 56R2,11 5R C-02 Com as informações no circuito desenhado na figura 1.28, responda as perguntas: a) Qual o valor da força eletromotriz “E”? b) Qual o valor da tensão “ BAV ”? c) Qual o valor da potência total gerada? FIG. - 1.28 Solução: E70 705725 2542 8 )166( 6 0 6 )465( 4 0 4 )142( FEI_2S_201 4 39 E70 120 67 8 1360 6154 047 Resolvendo o sistema obtêm-se os valores: A5 A2 V4E Resultando as respostas: a) V4E b) 0524VBA V3 VBA c) 7010245784252513PTg W 1699PTg C-03 Considere o circuito desenhado na figura 1.29 e determine os seguintes valores: a) Da resistência “R” para que se tenha “ V20VAB ”. b) Da potência total gerada nas condições do item anterior. FIG. - 1.29 Solução: 0 100 50 )R20( 20 0 20 )201510( 10 0 10 )1030( FEI_2S_201 4 40 0 100 50 )20R(20 0 20 4510 0 1040 20AB I20V 20I 2020 1 0 100 50 1 )20R(20 0 20 4510 0 1040 Resolvendo o sistema obtêm-se os valores: 10R 3 2 5,0 Resultando as respostas a seguir: a) 10R a) 31005,050P geradaT W 325P geradaT 1-5. EXERCÍCIOS PROPOSTOS. 5.01 Considere o circuito desenhado na figura 1.30 e determine os seguintes valores: a) Das correntes Ia e Ib. b) Da tensão Va. c) A potência dissipada em cada resistor. d) A potência fornecida pela fonte de 50V. FIG. - 1.30 FEI_2S_201 4 41 5.02 Determine a potência total dissipada (recebida) no circuito desenhado na figura 1.31. FIG. - 1.31 5.03 Considere o circuito desenhado na figura 1.32 e responda as seguintes perguntas: a) Os valores das correntes de malhas. b) A tensão no resistor de 800 Ohms. c) A potência na fonte de 23 V. d) A potência total dissipada. FIG. - 1.32 FEI_2S_201 4 42 5.04 Considere o desenhado na figura 1.33 e determine o valor do resistor “R” para que a tensão sobre ele seja 3,69V. FIG. - 1.33 5.05 – Determine o valor da diferença de potencial entre os pontos “B e A” indicados no circuito desenhado na figura 1.34. FIG. - 1.34FEI_2S_201 4 43 5.06 – Calcule os valores da tensão entre os pontos “A e B” e da corrente “I” no circuito desenhado na figura 1.35. FIG. - 1.35 5.07 – Determine a indicação dos instrumentos ligados no circuito desenhado na figura 1.36. FIG. - 1.36 5.08 – Considere o circuito desenhado na figura 1.37 e determine o valor da corrente “I” indicada. FIG. - 1.37 FEI_2S_201 4 44 5.09 Determine a indicação dos instrumentos ligados no circuito desenhado na figura 1.38. FIG. - 1.38 5.10 Considere o circuito desenhado na figura 1.39 e determine o valor da corrente “I” indicada. FIG. - 1.39 5.11 Considere o circuito desenhado na figura 1.40 e determine o valor da tensão VAB. FIG. - 1.40 FEI_2S_201 4 45 5.12 O amperímetro do circuito desenhado na figura 1.41 indica “- 8mA”. Determine o valor da tensão sobre o resistor “R”. FIG. - 1.41 5.13 Determine o valor da potência total dissipada (fornecida) no circuito desenhado na figura 1.42. FIG. - 1.42 5.14 Considere o circuito desenhado na figura 1.43 e determine o valor da tensão “VAB”. FIG. - 1.43 FEI_2S_201 4 46 1-6. DESAFIOS 6.01 Considere o circuito desenhado na figura 1.44 e responda os itens a seguir: a) O valor da tensão E. b) O valor da corrente IX. b) O valor da tensão VBA. FIG. - 1.44 6.02 Considere o circuito desenhado na figura 1.45 e responda os itens abaixo: a) O valor da tensão “E” b) O valor da tensão “VBA”. c) A potência total gerada. FIG. - 1.45 FEI_2S_201 4 47 6.03 Considere o circuito desenhado na figura 1.46. Sabendo que a diferença de potencial “ ADV ” é igual a 40V, calcule os seguintes valores: a) Do resistor “R”. b) Da tensão “ DBV ”. c) Da potência total gerada. d) Da corrente “I”. FIG. - 1.46 6.04 Considere o circuito desenhado na figura 1.47 e responda as seguintes perguntas: a) O valor da tensão “ xV ”. b) O valor da tensão “ BAV ”. c) A corrente no “I”. d) Da potência total fornecida. FIG. - 1.47 FEI_2S_201 4 48 6.05 Considere o circuito desenhado na figura 1.48 e responda as seguintes perguntas: a) O valor da resistência “R” para que a tensão “VX” seja igual a “–116V”. b) O valor da corrente “IX”. c) A potência total gerada. FIG. - 1.48 6.06 Dado o circuito desenhado na figura 1.49, pede-se calcular os valores aproximados da: a) Tensão BAV . b) Corrente no bipolo de 50V. c) Potência total fornecida. FIG. - 1.49 FEI_2S_201 4 49 6.07 A corrente “IX“ indicada no circuito desenhado na figura 1.50 é igual a 2,68 A. Pede-se calcular os valores: a) Da força eletromotriz “E”. b) Da tensão BAV c) Da potência dissipada no resistor de “ 25 ”. d) Da potência total recebida. FIG. - 1.50 6.08 Considere o circuito desenhado na figura 1.51. Sabendo que a corrente “Ix” indicada é igual à zero, pede-se calcular os valores: a) Da força eletromotriz “E”. b) Da tensão “ ABV ”. c) Da potência dissipada no resistor de “ 25 ”. d) Da potência total gerada. FIG. - 1.51 FEI_2S_201 4 50 6.09 Na ponte de Wheatstone abaixo desenhada, “Rt” é um sensor de temperatura que obedece a equação: “ 900R2T t ”, com “T” expresso em graus Celsius e “Rt” em Ohms. Sabe-se que a ponte é dimensionada para funcionar com a máxima sensibilidade possível (ponte com 4 resistores iguais entre si) à uma temperatura de 100°C. Qual a indicação no detector (ideal de tensão) quando a temperatura subir para 110°C? FEI_2S_201 4 51 CAPÍTULO 02 Circuitos Monofásicos em Corrente Alternada Senoidal Neste capítulo será estudado o comportamento elétrico dos circuitos contendo fontes monofásicas em regime senoidal permanente alimentando cargas compostas por resistores, capacitores ideais e indutores ideais, associadas em série, paralelo ou misto. Usando os mesmos conceitos definidos e praticados em circuitos de corrente contínua para análise de circuitos elétricos, serão introduzidos os conceitos de potência ativa, potência reativa, potência aparente e correção do fator de potência. A ferramenta matemática usada para analisar circuitos em corrente alternada são os números complexos ou imaginários com o apoio dos diagramas vetoriais ou fasores. As características elétricas dos bipolos estudados serão apresentadas sem a preocupação de demonstração física e sem muito formalismo matemático, será apresentado apenas o necessário para que se possa analisar um circuito nesse regime, finalizando com exercícios resolvidos, propostos e desafios. 2. - CIRCUITOS ELÉTRICOS EM CORRENTE ALTERNADA SENOIDAL 2-1. CARACTERÍSTICA ELÉTRICA DO BIPOLO ATIVO OU FONTE. Nikolas Tesla (Никола Тесла) foi um engenheiro eletricista e físico, de Etnia Sérvia, radicado nos USA. Foi responsável pela invenção da corrente alternada senoidal (AC), da bobina de Tesla e dos circuitos trifásicos senoidais, utilizados na geração e distribuição de energia elétrica. Em 1956 a unidade de medida de densidade de fluxo magnético do sistema MKS foi denominada Tesla, em sua homenagem. A fonte de alimentação monofásica alternada disponibiliza à carga uma tensão do tipo senoidal, cuja função de tempo é expressa pela equação, )tw(senV)t(v p , onde: FEI_2S_201 4 52 “ pV ” é o valor máximo ou valor de pico da função expresso em Volts (V). “ ” é a frequência angular expressa em radianos por segundo (rad/s). “ ” é a fase inicial expresso em radianos (rad). “ t ” é o tempo expresso em segundos (s). Nessa expressão são válidas as seguintes igualdades: “ efp V2V ” em que “ efV ” é o valor eficaz da tensão (para maiores detalhes ver anexo “A”). “ f2w ” em que “f” é a frequência expressa em Hertz. Resultando a expressão geral escrita em (01) a seguir: )tf2(senV2)t(v ef (01) OBS: No Brasil a frequência da tensão residencial (e industrial) é padronizada em 60Hz ( rad 377w ) e os valores de “110V ou 220V” são valores eficazes de tensão. Por exemplo, a tensão de 110V disponível na rede elétrica doméstica é expressa pela função de tempo escrita em (02) e cujo gráfico correspondente está desenhado na figura 2.01. )t377( sen155)t(v (02) Fig. 2.01 Função senoidal É possível representar a função seno por um vetor girante (fasor) que colocado em um plano de fase (dois eixos perpendiculares) girando no sentido anti-horário com velocidade angular igual a “ ” e módulo (raio) igual ao valor de pico (ou eficaz), quando projetado no eixo vertical desse plano descreve no tempo a função seno. O resultado matemático dessa representação é um fasor definido por um módulo ( pV ) e uma fase ( ) assim concebido: FEI_2S_201 4 53 OBS: Para maiores detalhes e entendimentos consulte o anexo “A” apresentado no final do livro. Em seguida é apresentada a tabela 2.01 com algumas funções senoidais e os correspondentes fasores. Tabela2.01 Função no tempo Fasor correspondente )30t377( sen100)t(V )120t377( sen400)t(V )t400( sen2400)t(V Dessa forma, o bipolo elétrico fonte de tensão em circuitos de corrente alternada será representado pelo símbolo desenhado na figura 1.02, indicando a polaridade da tensão e da corrente fasoriais e a frequência de operação. Fig. 2.02 Símbolo do Gerador Senoidal 2-2. CARACTERÍSTICA ELÉTRICA DOS BIPOLOS RECEPTORES No estudo da característica dos bipolos dos receptores em corrente alternada, a fase inicial da tensão aplicada ao bipolo será considerada nula, “ ” e como foi citado anteriormente não existe a preocupação em demonstrar como foram obtidas as equações que correspondem as suas características e sim como utilizá-las para obter o sistema de equações que permita analisar e compreender o comportamento dos circuitos elétricos em corrente alternada. O termo “impedância” (grandeza fasorial, representado pela letra "Z" ) é utilizado para caracterizar o bipolo receptor em regime de corrente alternada e obtida pela equação fasorial " I V Z" . Neste estudo serão contemplados os FEI_2S_201 4 54 seguintes receptores: Resistor (impedância resistiva "Z" R ), indutor ideal (impedância indutiva "Z" L ) e o capacitor ideal (impedância capacitiva "Z" C ). 2-2.1 Característica Elétrica do Resistor em C.A. - Regime Senoidal. A constante associada ao resistor é um número real "R" e a sua característica elétrica é representada pela impedância resistiva “ ” (ver anexo B). A impedância resistiva "Z" R é obtida pela relação entre atenção e a corrente no resistor, então a corrente pode ser assim obtida: I V ZR Identificando o módulo e a fase encontra-se os valores procurados: R V I p p e 0I Conclusão: Em um resistor o módulo da corrente é igual a relação entre o módulo da tensão e o valor do resistor e a corrente está em fase com a tensão. No sistema CA em regime senoidal o bipolo resistor será representado conforme o desenho da figura 2.01. Fig. 2.03 a) Forma Temporal b) Forma Fasorial Exemplo: Considere o circuito desenhado na figura 2.04 e sabendo que a tensão no gerador é 110Vef/60Hz e o resistor é igual a 55 , responda: a) Desenhar em gráficos diferentes e sincronizados as formas de ondas da tensão e da corrente dentro de um período. b) Qual o valor eficaz da corrente? c) Qual a defasagem entre a corrente e a tensão. FEI_2S_201 4 55 Fig. 2.04 Circuito puramente resistivo )tw( senV)t(v p 2110Vp V 156Vp f2w 602w rad/s 377w )t377( sen156)t(v 0 e 55 156 I Ip A 84,2Ip A 2Ief )t377( sen84,2)t(i Como a fase inicial da corrente é igual a fase inicial da tensão ( 0 ) a defasagem é nula, conforme mostra o desenho na figura 2.05. Fig. 2.05 Formas de Ondas da Tensão e Corrente no Indutor FEI_2S_201 4 56 2-2.2 - Característica Elétrica do Indutor Ideal em C.A. - Regime Senoidal. A constante associada ao indutor é um número real representado por "LwX" L e a sua característica elétrica é representada pela impedância indutiva, denominado de reatância indutiva. A impedância indutiva é expressa pela equação fasorial “ ” (ver anexo B) e permite obter os seguintes resultados: I V ZL Identificando o módulo e a fase obtém-se o seguinte desenvolvimento: L p p X V I 900I 90I Conclusão: Em um indutor ideal a corrente que o atravessa está atrasada de 90° da tensão aplicada nos seus terminais e o módulo dessa corrente é igual à relação entre o módulo dessa tensão e o valor da sua reatância. Em regime senoidal permanente o bipolo indutor ideal será representado conforme o desenho da figura 2.06. Fig. 2.06 a) Forma Temporal b) Forma Fasorial Exemplo: Considere o circuito desenhado na figura 2.07 e sabendo que a tensão no gerador é 110Vef/60Hz e o indutor é igual a 146 mH, responda: a) Desenhar em gráficos diferentes e sincronizados as formas de ondas da tensão e da corrente dentro de um período. b) Qual o valor eficaz da corrente? c) Qual a defasagem entre a corrente e a tensão. FEI_2S_201 4 57 Fig. 2.07 Circuito puramente indutivo )tw( senV)t(v p 2110Vp V 156Vp f2w 602w rad/s 377w LwXL 146,0377XL 55XL )t377( sen156)t(v 55 156 Ip A 84,2Ip A 2Ief e 90I )90t377( sen84,2)t(i Resultam as formas de ondas desenhadas na figura 2.08. Observe que a corrente está 90° atrasa da tensão. Fig. 2.08 Formas de Ondas da Tensão e Corrente no Indutor Ideal FEI_2S_201 4 58 2-2.3 - Característica Elétrica do Capacitor Ideal em C.A. Regime Senoidal. A constante associada ao capacitor é um número real representado por " Cw 1 X" C e a sua característica elétrica é representada pela impedância capacitiva, denominada de reatância capacitiva. A impedância capacitiva é expressa pela equação fasorial “ ” (ver anexo B) e permite obter os seguintes resultados: I V ZC Identificando o módulo e a fase obtém-se o seguinte desenvolvimento: C p p X V I 900I 90I Conclusão: Em um capacitor ideal a corrente que o atravessa está adiantada de 90° da tensão aplicada nos seus terminais e o módulo dessa corrente é igual à relação entre o módulo dessa tensão e o valor da sua reatância. Em regime senoidal permanente o bipolo capacitor ideal será representado conforme o desenho da figura 2.09. Fig. 2.09 a) Forma Temporal b) Forma Fasorial Exemplo: Considere o circuito desenhado na figura 2.10 e sabendo que a tensão no gerador é 110Vef/60Hz e o capacitor é igual a 48uF, responda: a) Desenhar em gráficos diferentes e sincronizados as formas de ondas da tensão e da corrente dentro de um período. b) Qual o valor eficaz da corrente? FEI_2S_201 4 59 c) Qual a defasagem entre a corrente e a tensão. Fig. 2.10 Circuito puramente capacitivo )tw( senV)t(v p 2110Vp V 156Vp 602w rad/s 377w Cw 1 XC 48377 10 X 6 L 55XC )t377( sen156)t(v 55 156 Ip A 84,2Ip A 2Ief 90I )90t377( sen84,2)t(i Resultam as formas de ondas desenhadas na figura 2.11. Observe que a corrente está 90° adiantada da tensão. Fig. 2.11 Formas de Ondas da Tensão e Corrente no Capacitor Ideal FEI_2S_201 4 60 2-3. CIRCUITO R,L,C SÉRIE EM CORRENTE ALTERNADA SENOIDAL Considere o circuito R, L, C série desenhado na figura 2.12 com as seguintes condições: "XX" CL e a corrente com módulo igual a “I” e fase nula. Fig. 2.12 Circuito R,L,C série em C.A. Regime Senoidal. A soma das tensões na malha fornece a seguinte equação: CLR VVVV Com auxilio das equações características resulta a equação (03) a seguir: IXjIXjIRIZ CL )XX(jRZ CL (03) A impedância "Z" equivalente é um número complexo composto por uma parte real que corresponde à
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